Question

¿Cuántos de los primeros $1000$ enteros positivos pueden expresarse en la forma $\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor6x\rfloor+\lfloor8x\rfloor,$ donde $x$ es un número real y $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z$ ?

How many of the first $1000$ positive integers can be expressed in the form $\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor6x\rfloor+\lfloor8x\rfloor,$ where $x$ is a real number, and $\lfloor z\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $z?$

Respuesta

Respuesta: 600

Conceptos:funciones piso y techo aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Sustituye $y=2x$ y separa $y$ en sus partes entera y fraccionaria

Substitute $y=2x$ and separate $y$ into its integer and fractional parts

Pista grande:

Determina los valores de $\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor$ para $0\leq r\lt1$

Determine the values of $\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor$ for $0\leq r\lt1$

Solución:

Sea $y=2x=m+r,$ donde $m$ es un entero y $0\leq r\lt1.$ La expresión es $10m+\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor.$ Al revisar los puntos de ruptura $r=\frac{1}{4},$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{2},$ $\frac{2}{3},$ $\frac{3}{4},$ se observa que la contribución de la parte fraccionaria toma exactamente los valores $0,$ $1,$ $2,$ $4,$ $5$ y $6.$ Así, se pueden obtener exactamente seis clases de residuos módulo $10.$ Entre los primeros $1000$ enteros positivos, esto da $100\cdot6=600.$

Let $y=2x=m+r,$ where $m$ is an integer and $0\leq r\lt1.$ The expression is $10m+\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor.$ Checking the breakpoints $r=\frac{1}{4},$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{2},$ $\frac{2}{3},$ $\frac{3}{4}$ shows that the fractional-part contribution takes exactly the values $0,$ $1,$ $2,$ $4,$ $5,$ and $6.$ Thus precisely six residue classes modulo $10$ are attainable. Among the first $1000$ positive integers, this gives $100\cdot6=600.$

1985 AIME Problema 10

Respuesta: 600

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años