Question

Halla la menor solución entera positiva de $\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}.$

Find the smallest positive integer solution to $\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}.$

Respuesta

Respuesta: 159

Conceptos:identidad trigonométrica aritmética modular ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Reconoce el lado derecho mediante la fórmula de adición de la tangente

Recognize the right-hand side using the tangent addition formula

Pista grande:

Resuelve la congruencia resultante módulo $180$

Solve the resulting congruence modulo $180$

Solución:

La fórmula de adición de la tangente da $\begin{gathered}\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\\=\tan(45^\circ+96^\circ)\\=\tan141^\circ.\end{gathered}$ Por lo tanto, $19x\equiv141\pmod {180}.$ Como $19^2=361\equiv1\pmod {180},$ al multiplicar por $19$ se obtiene $x\equiv19\cdot141\equiv159\pmod {180}.$ La menor solución positiva es $159.$

The tangent addition formula gives $\begin{gathered}\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\\=\tan(45^\circ+96^\circ)\\=\tan141^\circ.\end{gathered}$ Hence $19x\equiv141\pmod {180}.$ Since $19^2=361\equiv1\pmod {180},$ multiplying by $19$ gives $x\equiv19\cdot141\equiv159\pmod {180}.$ The smallest positive solution is $159.$

1996 AIME Problema 10

Respuesta: 159

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años