Question

Sea $P$ el producto de las raíces de $z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$ que tienen parte imaginaria positiva, y supón que $P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ),$ donde $r>0$ y $0\leq\theta<360.$ Halla $\theta.$

Let $P$ be the product of the roots of $z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$ that have positive imaginary part, and suppose that $P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ),$ where $r>0$ and $0\leq\theta<360.$ Find $\theta.$

Respuesta

Respuesta: 276

Conceptos:número complejo raíces de la unidad factorización

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Divide entre $z^3$ y define $w=z+z^{-1}$

Divide by $z^3$ and set $w=z+z^{-1}$

Pista grande:

Factoriza la cúbica resultante en $w$ e identifica cada valor como $2\cos\phi$

Factor the resulting cubic in $w$ and identify each value as $2\cos\phi$

Solución:

Ninguna raíz es cero. Al dividir entre $z^3$ y definir $w=z+z^{-1}$ se obtiene $\begin{aligned}w^3-2w+1&=0,\\{}(w-1)(w^2+w-1)&=0.\end{aligned}$ Sus tres raíces son $\begin{aligned}1&=2\cos60^\circ,\\\frac{\sqrt5-1}{2}&=2\cos72^\circ,\\-\frac{1+\sqrt5}{2}&=2\cos144^\circ.\end{aligned}$ Para cada valor $w=2\cos\phi,$ las raíces correspondientes de la ecuación original son $e^{i\phi}$ y $e^{-i\phi}.$ Por lo tanto, las raíces con parte imaginaria positiva tienen argumentos $60^\circ,$ $72^\circ,$ y $144^\circ.$ Su producto tiene argumento $60+72+144=276^\circ,$ así que $\theta=276.$

No root is zero. Dividing by $z^3$ and setting $w=z+z^{-1}$ gives $\begin{aligned}w^3-2w+1&=0,\\{}(w-1)(w^2+w-1)&=0.\end{aligned}$ Its three roots are $\begin{aligned}1&=2\cos60^\circ,\\\frac{\sqrt5-1}{2}&=2\cos72^\circ,\\-\frac{1+\sqrt5}{2}&=2\cos144^\circ.\end{aligned}$ For each value $w=2\cos\phi,$ the corresponding roots of the original equation are $e^{i\phi}$ and $e^{-i\phi}.$ Thus the roots with positive imaginary part have arguments $60^\circ,$ $72^\circ,$ and $144^\circ.$ Their product has argument $60+72+144=276^\circ,$ so $\theta=276.$

1996 AIME Problema 11

Respuesta: 276

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años