Question

Noventa y cuatro ladrillos, cada uno de dimensiones $4''\times10''\times19'',$ se apilan uno encima de otro para formar una torre de $94$ ladrillos de altura. Cada ladrillo puede orientarse para aportar $4'',$ $10'',$ o $19''$ a la altura total. ¿Cuántas alturas diferentes se pueden obtener usando los $94$ ladrillos?

Ninety-four bricks, each measuring $4''\times10''\times19'',$ are to be stacked one on top of another to form a tower $94$ bricks tall. Each brick can be oriented so it contributes $4'',$ $10'',$ or $19''$ to the total height of the tower. How many different tower heights can be achieved using all $94$ of the bricks?

Respuesta

Respuesta: 465

Conceptos:Ecuación diofántica paridad conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Comienza con todos los ladrillos aportando $4$ pulgadas y cuenta los incrementos posibles

Start with all bricks contributing $4$ inches and count possible increments

Pista grande:

Si $c$ ladrillos aportan $19$ pulgadas, los incrementos restantes forman un intervalo de paridad fija a medida que varía el número de ladrillos de $10$ pulgadas

If $c$ bricks contribute $19$ inches, the remaining increments form a parity interval as the number of $10$ -inch bricks varies

Solución:

Si $b$ ladrillos usan la altura $10$ y $c$ usan la altura $19,$ el total es $376+3(2b+5c),$ donde $b,c\geq0$ y $b+c\leq94.$ Para un $c$ fijo, el valor $v=2b+5c$ avanza de dos en dos desde $5c$ hasta $188+3c.$ Los intervalos con $c$ par cubren todos los valores pares de $v$ desde $0$ hasta $464,$ además de $470,$ y solo faltan $466$ y $468.$ Los intervalos con $c$ impar cubren todos los valores impares de $v$ desde $5$ hasta $461,$ además de $465$ y $467,$ y solo faltan $1,$ $3,$ $463,$ y $469.$ Por lo tanto, hay $471-6=465$ alturas distintas.

If $b$ bricks use height $10$ and $c$ use height $19,$ the total is $376+3(2b+5c),$ where $b,c\geq0$ and $b+c\leq94.$ For fixed $c,$ the value $v=2b+5c$ runs by twos from $5c$ to $188+3c.$ The even- $c$ intervals cover every even $v$ from $0$ through $464,$ as well as $470,$ missing only $466$ and $468.$ The odd- $c$ intervals cover every odd $v$ from $5$ through $461,$ as well as $465$ and $467,$ missing only $1,$ $3,$ $463,$ and $469.$ Thus there are $471-6=465$ distinct heights.

1994 AIME Problema 11

Respuesta: 465

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años