Question

Una elipse tiene focos en $(9,20)$ y $(49,55)$ en el plano $xy$ y es tangente al eje $x.$ ¿Cuál es la longitud de su eje mayor?

An ellipse has foci at $(9,20)$ and $(49,55)$ in the $xy$ -plane and is tangent to the $x$ -axis. What is the length of its major axis?

Respuesta

Respuesta: 85

Conceptos:elipse reflexión (geometría)fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

En el punto de tangencia, la suma constante de distancias es la mínima suma posible para un punto del eje $x$

At tangency, the constant sum of distances is the minimum such sum for a point on the $x$ -axis

Pista grande:

Refleja un foco respecto del eje $x$ para convertir el camino quebrado en un segmento recto

Reflect one focus across the $x$ -axis to turn the broken path into a straight segment

Solución:

Refleja $(49,55)$ respecto del eje $x$ para obtener $(49,-55).$ Para un punto $P$ del eje $x,$ la suma de sus distancias a los focos originales es igual a la longitud del camino quebrado desde $(9,20),$ pasando por $P,$ hasta $(49,-55).$ Su mínimo es la distancia en línea recta $\begin{aligned} &\sqrt{(49-9)^2+(-55-20)^2}\\ &\qquad{}=\sqrt{40^2+75^2}=85. \end{aligned}$ La tangencia significa que la suma constante de distancias de la elipse es igual a este mínimo. Esa suma es la longitud del eje mayor, así que la respuesta es $85.$

Reflect $(49,55)$ across the $x$ -axis to $(49,-55).$ For a point $P$ on the $x$ -axis, the sum of its distances to the original foci equals the length of a broken path from $(9,20)$ through $P$ to $(49,-55).$ Its minimum is the straight-line distance $\begin{aligned} &\sqrt{(49-9)^2+(-55-20)^2}\\ &\qquad{}=\sqrt{40^2+75^2}=85. \end{aligned}$ Tangency means that the ellipse’s constant distance sum equals this minimum. That sum is the major-axis length, so the answer is $85.$

1985 AIME Problema 11

Respuesta: 85

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años