Question

Un jardinero planta tres arces, cuatro robles y cinco abedules en una fila. Los planta en un orden aleatorio, y todos los órdenes son igualmente probables. Sea $\frac{m}{n}$ , en su mínima expresión, la probabilidad de que no haya dos abedules contiguos. Halla $m+n.$

A gardener plants three maple trees, four oak trees, and five birch trees in a row. He plants them in random order, each arrangement being equally likely. Let $\frac{m}{n}$ in lowest terms be the probability that no two birch trees are next to one another. Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 106

Conceptos:arreglos con restricciones combinaciones probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Elige primero las cinco posiciones ocupadas por los abedules

First choose the five positions occupied by birch trees

Pista grande:

Coloca primero los siete árboles que no son abedules y usa los ocho espacios que los rodean

Place the seven non-birch trees first and use the eight gaps around them

Solución:

Las cinco posiciones de los abedules forman un subconjunto de $5$ elementos elegido uniformemente entre las $12$ posiciones, así que hay $\binom{12}{5}$ posibilidades. Después de colocar los siete árboles que no son abedules, hay ocho espacios, incluidos los dos de los extremos. Elegir cinco espacios distintos da $\binom85$ ordenamientos sin abedules contiguos. Por lo tanto, $\frac{m}{n}=\frac{\binom85}{\binom{12}{5}} =\frac{56}{792}=\frac7{99},$ y $m+n=106.$

The five birch positions form a uniformly chosen $5$ -element subset of the $12$ positions, so there are $\binom{12}{5}$ possibilities. After the seven non-birch trees are placed, there are eight gaps, including the two end gaps. Choosing five distinct gaps gives $\binom85$ arrangements with no adjacent birches. Therefore $\frac{m}{n}=\frac{\binom85}{\binom{12}{5}} =\frac{56}{792}=\frac7{99},$ and $m+n=106.$

1984 AIME Problema 11

Respuesta: 106

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años