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2008 AIME II Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2008 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

En el triángulo ABC,ABC, AB=AC=100,AB = AC = 100, y BC=56.BC = 56. El círculo PP tiene radio 1616 y es tangente a AC‾\overline{AC} y BC‾.\overline{BC}. El círculo QQ es tangente externamente al círculo PP y es tangente a AB‾\overline{AB} y BC‾.\overline{BC}. Ningún punto del círculo QQ queda fuera de △ABC.\triangle ABC. El radio del círculo QQ puede expresarse en la forma m−nk,m - n\sqrt{k}, donde m,m, n,n, y kk son enteros positivos y kk es el producto de primos distintos. Halla m+nk.m + nk.
In triangle ABC,ABC, AB=AC=100,AB = AC = 100, and BC=56.BC = 56. Circle PP has radius 1616 and is tangent to AC‾\overline{AC} and BC‾.\overline{BC}. Circle QQ is externally tangent to circle PP and is tangent to AB‾\overline{AB} and BC‾.\overline{BC}. No point of circle QQ lies outside of △ABC.\triangle ABC. The radius of circle QQ can be expressed in the form m−nk,m - n\sqrt{k}, where m,m, n,n, and kk are positive integers and kk is the product of distinct primes. Find m+nk.m + nk.
Respuesta: 254
Conceptos:circunferencias tangentesgeometría analíticabisectrizidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2990
Pista pequeña:
Coloca B=(0,0),B = (0,0), C=(56,0),C = (56,0), A=(28,96);A = (28,96); ambos centros están en las bisectrices de los ángulos, y tan⁡B2=tan⁡C2=34\tan\frac{B}{2} = \tan\frac{C}{2} = \frac{3}{4}
Place B=(0,0),B = (0,0), C=(56,0),C = (56,0), A=(28,96);A = (28,96); both centers lie on angle bisectors, and tan⁡B2=tan⁡C2=34\tan\frac{B}{2} = \tan\frac{C}{2} = \frac{3}{4}
Pista grande:
Los centros son (56−643, 16)\left(56 - \frac{64}{3},\, 16\right) y (4q3, q);\left(\frac{4q}{3},\, q\right); iguala la distancia entre ellos a q+16q + 16
The centers are (56−643, 16)\left(56 - \frac{64}{3},\, 16\right) and (4q3, q);\left(\frac{4q}{3},\, q\right); set the distance between them equal to q+16q + 16
Solución:
Coloca B=(0,0)B = (0, 0) y C=(56,0);C = (56, 0); la altura desde AA tiene longitud 1002−282=96,\sqrt{100^2 - 28^2} = 96, así que A=(28,96).A = (28, 96). Entonces sin⁡B=2425,\sin B = \frac{24}{25}, cos⁡B=725,\cos B = \frac{7}{25}, y tan⁡B2=sin⁡B1+cos⁡B=34=tan⁡C2. \begin{aligned} \tan\frac{B}{2} &= \frac{\sin B}{1 + \cos B} \\ &= \frac{3}{4} = \tan\frac{C}{2}. \end{aligned} Un círculo de radio rr tangente a BC‾\overline{BC} y a un lado inclinado tiene su centro en la bisectriz que parte de ese vértice de la base, a altura rr y a distancia horizontal rtan⁡(C2)=4r3\frac{r}{\tan(\frac{C}{2})} = \frac{4r}{3} del vértice. Así P=(56−643, 16)P = \left(56 - \frac{64}{3},\, 16\right) y Q=(4q3, q),Q = \left(\frac{4q}{3},\, q\right), donde qq es el radio del círculo Q.Q.
La tangencia externa significa que PQ=q+16:PQ = q + 16: (104−4q3)2+(16−q)2=(16+q)2. \begin{aligned} &\left(\frac{104 - 4q}{3}\right)^2 + (16 - q)^2 \\ &= (16 + q)^2. \end{aligned} Como (16+q)2−(16−q)2=64q,(16 + q)^2 - (16 - q)^2 = 64q, esto se convierte en (104−4q)2=576q,(104 - 4q)^2 = 576q, es decir, (26−q)2=36q,(26 - q)^2 = 36q, que se simplifica a q2−88q+676=0,q^2 - 88q + 676 = 0, así que q=44±635.q = 44 \pm 6\sqrt{35}.
La raíz 44+635≈79.544 + 6\sqrt{35} \approx 79.5 haría que el círculo QQ se extienda fuera del triángulo, así que q=44−635.q = 44 - 6\sqrt{35}. Aquí m=44,m = 44, n=6,n = 6, y k=35=5⋅7,k = 35 = 5 \cdot 7, lo que da m+nk=44+210=254.m + nk = 44 + 210 = 254.
Place B=(0,0)B = (0, 0) and C=(56,0);C = (56, 0); the altitude from AA has length 1002−282=96,\sqrt{100^2 - 28^2} = 96, so A=(28,96).A = (28, 96). Then sin⁡B=2425,\sin B = \frac{24}{25}, cos⁡B=725,\cos B = \frac{7}{25}, and tan⁡B2=sin⁡B1+cos⁡B=34=tan⁡C2. \begin{aligned} \tan\frac{B}{2} &= \frac{\sin B}{1 + \cos B} \\ &= \frac{3}{4} = \tan\frac{C}{2}. \end{aligned} A circle of radius rr tangent to BC‾\overline{BC} and to a slanted side has its center on the bisector from that base vertex, at height rr and horizontal distance rtan⁡(C2)=4r3\frac{r}{\tan(\frac{C}{2})} = \frac{4r}{3} from the vertex. Thus P=(56−643, 16)P = \left(56 - \frac{64}{3},\, 16\right) and Q=(4q3, q),Q = \left(\frac{4q}{3},\, q\right), where qq is the radius of circle Q.Q.
External tangency means PQ=q+16:PQ = q + 16: (104−4q3)2+(16−q)2=(16+q)2. \begin{aligned} &\left(\frac{104 - 4q}{3}\right)^2 + (16 - q)^2 \\ &= (16 + q)^2. \end{aligned} Since (16+q)2−(16−q)2=64q,(16 + q)^2 - (16 - q)^2 = 64q, this becomes (104−4q)2=576q,(104 - 4q)^2 = 576q, i.e. (26−q)2=36q,(26 - q)^2 = 36q, which simplifies to q2−88q+676=0,q^2 - 88q + 676 = 0, so q=44±635.q = 44 \pm 6\sqrt{35}.
The root 44+635≈79.544 + 6\sqrt{35} \approx 79.5 would make circle QQ extend outside the triangle, so q=44−635.q = 44 - 6\sqrt{35}. Here m=44,m = 44, n=6,n = 6, and k=35=5⋅7,k = 35 = 5 \cdot 7, giving m+nk=44+210=254.m + nk = 44 + 210 = 254.
Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

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