Question

En el triángulo $ABC,$ $AB = AC = 100,$ y $BC = 56.$ El círculo $P$ tiene radio $16$ y es tangente a $\overline{AC}$ y $\overline{BC}.$ El círculo $Q$ es tangente externamente al círculo $P$ y es tangente a $\overline{AB}$ y $\overline{BC}.$ Ningún punto del círculo $Q$ queda fuera de $\triangle ABC.$ El radio del círculo $Q$ puede expresarse en la forma $m - n\sqrt{k},$ donde $m,$ $n,$ y $k$ son enteros positivos y $k$ es el producto de primos distintos. Halla $m + nk.$

In triangle $ABC,$ $AB = AC = 100,$ and $BC = 56.$ Circle $P$ has radius $16$ and is tangent to $\overline{AC}$ and $\overline{BC}.$ Circle $Q$ is externally tangent to circle $P$ and is tangent to $\overline{AB}$ and $\overline{BC}.$ No point of circle $Q$ lies outside of $\triangle ABC.$ The radius of circle $Q$ can be expressed in the form $m - n\sqrt{k},$ where $m,$ $n,$ and $k$ are positive integers and $k$ is the product of distinct primes. Find $m + nk.$

Respuesta

Solución:

Coloca $B = (0, 0)$ y $C = (56, 0);$ la altura desde $A$ tiene longitud $\sqrt{100^2 - 28^2} = 96,$ así que $A = (28, 96).$ Entonces $\sin B = \frac{24}{25},$ $\cos B = \frac{7}{25},$ y $\begin{aligned} \tan\frac{B}{2} &= \frac{\sin B}{1 + \cos B} \\ &= \frac{3}{4} = \tan\frac{C}{2}. \end{aligned}$ Un círculo de radio $r$ tangente a $\overline{BC}$ y a un lado inclinado tiene su centro en la bisectriz que parte de ese vértice de la base, a altura $r$ y a distancia horizontal $\frac{r}{\tan(C/2)} = \frac{4r}{3}$ del vértice. Así $P = \left(56 - \frac{64}{3},\, 16\right)$ y $Q = \left(\frac{4q}{3},\, q\right),$ donde $q$ es el radio del círculo $Q.$

La tangencia externa significa que $PQ = q + 16:$ $\begin{aligned} &\left(\frac{104 - 4q}{3}\right)^2 + (16 - q)^2 \\ &= (16 + q)^2. \end{aligned}$ Como $(16 + q)^2 - (16 - q)^2 = 64q,$ esto se convierte en $(104 - 4q)^2 = 576q,$ es decir, $(26 - q)^2 = 36q,$ que se simplifica a $q^2 - 88q + 676 = 0,$ así que $q = 44 \pm 6\sqrt{35}.$

La raíz $44 + 6\sqrt{35} \approx 79.5$ haría que el círculo $Q$ se extienda fuera del triángulo, así que $q = 44 - 6\sqrt{35}.$ Aquí $m = 44,$ $n = 6,$ y $k = 35 = 5 \cdot 7,$ lo que da $m + nk = 44 + 210 = 254.$

Place $B = (0, 0)$ and $C = (56, 0);$ the altitude from $A$ has length $\sqrt{100^2 - 28^2} = 96,$ so $A = (28, 96).$ Then $\sin B = \frac{24}{25},$ $\cos B = \frac{7}{25},$ and $\begin{aligned} \tan\frac{B}{2} &= \frac{\sin B}{1 + \cos B} \\ &= \frac{3}{4} = \tan\frac{C}{2}. \end{aligned}$ A circle of radius $r$ tangent to $\overline{BC}$ and to a slanted side has its center on the bisector from that base vertex, at height $r$ and horizontal distance $\frac{r}{\tan(C/2)} = \frac{4r}{3}$ from the vertex. Thus $P = \left(56 - \frac{64}{3},\, 16\right)$ and $Q = \left(\frac{4q}{3},\, q\right),$ where $q$ is the radius of circle $Q.$

External tangency means $PQ = q + 16:$ $\begin{aligned} &\left(\frac{104 - 4q}{3}\right)^2 + (16 - q)^2 \\ &= (16 + q)^2. \end{aligned}$ Since $(16 + q)^2 - (16 - q)^2 = 64q,$ this becomes $(104 - 4q)^2 = 576q,$ i.e. $(26 - q)^2 = 36q,$ which simplifies to $q^2 - 88q + 676 = 0,$ so $q = 44 \pm 6\sqrt{35}.$

The root $44 + 6\sqrt{35} \approx 79.5$ would make circle $Q$ extend outside the triangle, so $q = 44 - 6\sqrt{35}.$ Here $m = 44,$ $n = 6,$ and $k = 35 = 5 \cdot 7,$ giving $m + nk = 44 + 210 = 254.$

2008 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años