Question

La clase de kínder de la Sra. Math tiene $16$ estudiantes inscritos. El salón tiene una cantidad muy grande, $N,$ de bloques de juego que cumple las condiciones:

• Si en la clase están presentes $16,$ $15,$ o $14$ estudiantes, entonces en cada caso todos los bloques pueden repartirse en cantidades iguales a cada estudiante, y

• Existen tres enteros $0 \lt x \lt y \lt z \lt 14$ tales que cuando están presentes $x,$ $y,$ o $z$ estudiantes y los bloques se reparten en cantidades iguales a cada estudiante, sobran exactamente tres bloques.

Halla la suma de los divisores primos distintos del menor valor posible de $N$ que satisface las condiciones anteriores.

Ms. Math's kindergarten class has $16$ registered students. The classroom has a very large number, $N,$ of play blocks which satisfies the conditions:

• If $16,$ $15,$ or $14$ students are present in the class, then in each case all the blocks can be distributed in equal numbers to each student, and

• There are three integers $0 \lt x \lt y \lt z \lt 14$ such that when $x,$ $y,$ or $z$ students are present and the blocks are distributed in equal numbers to each student, there are exactly three blocks left over.

Find the sum of the distinct prime divisors of the least possible value of $N$ satisfying the above conditions.

Respuesta

Solución:

La divisibilidad por $16,$ $15,$ y $14$ significa que $N = 1680m$ donde $1680 = \operatorname{lcm}(14, 15, 16)$ $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7.$ Todo entero positivo menor que $14$ divide a $1680$ salvo $9,$ $11,$ y $13,$ y un divisor de $N$ deja residuo $0,$ no $3.$ Así que necesariamente $\{x, y, z\} = \{9, 11, 13\},$ y necesitamos $1680m \equiv 3$ módulo cada uno de $9,$ $11,$ $13.$

Como $1680 \equiv 6 \pmod 9,$ la primera congruencia es $6m \equiv 3 \pmod 9,$ es decir $m \equiv 2 \pmod 3.$ Como $1680 \equiv 8 \pmod{11},$ necesitamos $8m \equiv 3 \pmod{11},$ es decir $m \equiv 10 \pmod{11}.$ Como $1680 \equiv 3 \pmod{13},$ necesitamos $m \equiv 1 \pmod{13}.$ Por el teorema chino del residuo estos se combinan en $m \equiv 131 \pmod{429},$ así que el menor $m$ es $131.$

Entonces $N = 1680 \cdot 131$ $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 131,$ y como $131$ es primo, la suma de los divisores primos distintos es $2 + 3 + 5 + 7 + 131 = 148.$

Divisibility by $16,$ $15,$ and $14$ means $N = 1680m$ where $1680 = \operatorname{lcm}(14, 15, 16)$ $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7.$ Every positive integer less than $14$ divides $1680$ except $9,$ $11,$ and $13,$ and a divisor of $N$ leaves remainder $0,$ not $3.$ So necessarily $\{x, y, z\} = \{9, 11, 13\},$ and we need $1680m \equiv 3$ modulo each of $9,$ $11,$ $13.$

Since $1680 \equiv 6 \pmod 9,$ the first congruence is $6m \equiv 3 \pmod 9,$ i.e. $m \equiv 2 \pmod 3.$ Since $1680 \equiv 8 \pmod{11},$ we need $8m \equiv 3 \pmod{11},$ i.e. $m \equiv 10 \pmod{11}.$ Since $1680 \equiv 3 \pmod{13},$ we need $m \equiv 1 \pmod{13}.$ By the Chinese remainder theorem these combine to $m \equiv 131 \pmod{429},$ so the least $m$ is $131.$

Then $N = 1680 \cdot 131$ $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 131,$ and since $131$ is prime, the sum of the distinct prime divisors is $2 + 3 + 5 + 7 + 131 = 148.$

2013 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años