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2011 AIME II Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2011 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2011 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Sea MnM_n la matriz n×nn \times n con las entradas siguientes: para 1≤i≤n,1 \le i \le n, mi,i=10;m_{i,i} = 10; para 1≤i≤n−1,1 \le i \le n - 1, mi+1,i=mi,i+1=3;m_{i+1,i} = m_{i,i+1} = 3; todas las demás entradas de MnM_n son cero. Sea DnD_n el determinante de la matriz Mn.M_n. Entonces ∑n=1∞18Dn+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n + 1} puede representarse como pq,\frac{p}{q}, donde pp y qq son enteros positivos coprimos. Halla p+q.p + q.
Nota: el determinante de la matriz 1×11 \times 1 [a][a] es a,a, y el de la matriz 2×22 \times 2 [abcd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} es ad−bc;ad - bc; para n≥2,n \ge 2, si la primera fila o la primera columna de una matriz n×nn \times n es a1a_1 a2a_2 a3a_3 …\ldots an,a_n, su determinante es a1C1−a2C2a_1C_1 - a_2C_2 +a3C3−⋯+ a_3C_3 - \cdots +(−1)n+1anCn,+ (-1)^{n+1}a_nC_n, donde CiC_i es el determinante de la matriz (n−1)×(n−1)(n - 1) \times (n - 1) formada al eliminar la fila y la columna que contienen ai.a_i.
Let MnM_n be the n×nn \times n matrix with entries as follows: for 1≤i≤n,1 \le i \le n, mi,i=10;m_{i,i} = 10; for 1≤i≤n−1,1 \le i \le n - 1, mi+1,i=mi,i+1=3;m_{i+1,i} = m_{i,i+1} = 3; all other entries in MnM_n are zero. Let DnD_n be the determinant of matrix Mn.M_n. Then ∑n=1∞18Dn+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n + 1} can be represented as pq,\frac{p}{q}, where pp and qq are relatively prime positive integers. Find p+q.p + q.
Note: The determinant of the 1×11 \times 1 matrix [a][a] is a,a, and the determinant of the 2×22 \times 2 matrix [abcd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} is ad−bc;ad - bc; for n≥2,n \ge 2, the determinant of an n×nn \times n matrix with first row or first column a1a_1 a2a_2 a3a_3 …\ldots ana_n is equal to a1C1−a2C2a_1C_1 - a_2C_2 +a3C3−⋯+ a_3C_3 - \cdots +(−1)n+1anCn,+ (-1)^{n+1}a_nC_n, where CiC_i is the determinant of the (n−1)×(n−1)(n - 1) \times (n - 1) matrix formed by eliminating the row and column containing ai.a_i.
Respuesta: 73
Conceptos:determinanterecursiónsucesión geométrica
Nivel de dificultad: 2920
Pista pequeña:
La expansión por cofactores a lo largo de la primera fila da Dn=10Dn−1−9Dn−2D_n = 10D_{n-1} - 9D_{n-2}.
Cofactor expansion along the first row gives Dn=10Dn−1−9Dn−2D_n = 10D_{n-1} - 9D_{n-2}
Pista grande:
Resolver la recurrencia con D1=10,D_1 = 10, D2=91D_2 = 91 da 8Dn+1=9n+1,8D_n + 1 = 9^{n+1}, así que la serie es geométrica.
Solving the recurrence with D1=10,D_1 = 10, D2=91D_2 = 91 gives 8Dn+1=9n+1,8D_n + 1 = 9^{n+1}, so the series is geometric
Solución:
Al expandir DnD_n a lo largo de la primera fila se obtiene 10Dn−110 D_{n-1} menos 33 por un cofactor cuya primera columna es (3,0,…,0);(3, 0, \ldots, 0); expandir ese cofactor por su primera columna deja 3Dn−2.3 D_{n-2}. Por lo tanto Dn=10Dn−1−9Dn−2,D_n = 10 D_{n-1} - 9 D_{n-2}, con D1=10D_1 = 10 y D2=100−9=91.D_2 = 100 - 9 = 91.
La ecuación característica k2=10k−9k^2 = 10k - 9 tiene raíces 99 y 1,1, y ajustar los valores iniciales da Dn=9n+1−18.D_n = \frac{9^{n+1} - 1}{8}. Por lo tanto 8Dn+1=9n+1,8D_n + 1 = 9^{n+1}, y ∑n=1∞18Dn+1=∑n=1∞19n+1=1811−19=172. \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n + 1} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9^{n+1}} \\ &= \frac{\frac{1}{81}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{1}{72}. \end{aligned}
Así que pq=172\frac{p}{q} = \frac{1}{72} y p+q=73.p + q = 73.
Expanding DnD_n along the first row gives 10Dn−110 D_{n-1} minus 33 times a cofactor whose first column is (3,0,…,0);(3, 0, \ldots, 0); expanding that cofactor down its first column leaves 3Dn−2.3 D_{n-2}. Hence Dn=10Dn−1−9Dn−2,D_n = 10 D_{n-1} - 9 D_{n-2}, with D1=10D_1 = 10 and D2=100−9=91.D_2 = 100 - 9 = 91.
The characteristic equation k2=10k−9k^2 = 10k - 9 has roots 99 and 1,1, and fitting the initial values gives Dn=9n+1−18.D_n = \frac{9^{n+1} - 1}{8}. Therefore 8Dn+1=9n+1,8D_n + 1 = 9^{n+1}, and ∑n=1∞18Dn+1=∑n=1∞19n+1=1811−19=172. \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n + 1} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9^{n+1}} \\ &= \frac{\frac{1}{81}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{1}{72}. \end{aligned}
Thus pq=172\frac{p}{q} = \frac{1}{72} and p+q=73.p + q = 73.
Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

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