Question

Sea

\mathcal{R}

la región formada por el conjunto de puntos del plano coordenado que satisfacen a la vez

|8 - x| + y \le 10

y

3y - x \ge 15.

Cuando

\mathcal{R}

se hace girar alrededor de la recta cuya ecuación es

3y - x = 15,

el volumen del sólido resultante es

\frac{m\pi}{n\sqrt{p}},

donde

m,

n,

y

p

son enteros positivos,

m

y

n

son primos entre sí, y

p

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle

m + n + p.

Let

\mathcal{R}

be the region consisting of the set of points in the coordinate plane that satisfy both

|8 - x| + y \le 10

and

3y - x \ge 15.

When

\mathcal{R}

is revolved around the line whose equation is

3y - x = 15,

the volume of the resulting solid is

\frac{m\pi}{n\sqrt{p}},

where

m,

n,

and

p

are positive integers,

m

and

n

are relatively prime, and

p

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n + p.

Respuesta

Respuesta: 365

Conceptos:volumen cono geometría analítica

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

La región es un triángulo con un lado sobre el eje de revolución

3y - x = 15;

halle sus tres vértices

The region is a triangle with one side on the axis of revolution

3y - x = 15;

find its three vertices

Pista grande:

Al girar se obtienen dos conos que comparten una base: volumen total

\frac{1}{3}\pi\,d^2 \cdot AB,

donde

d

es la distancia del vértice fuera del eje a la recta

Revolving gives two cones sharing a base: total volume

\frac{1}{3}\pi\,d^2 \cdot AB,

where

d

is the distance from the off-axis vertex to the line

Solución:

La condición

|8 - x| + y \le 10

significa

y \le x + 2

para

x \le 8

y

y \le 18 - x

para

x \ge 8.

Al intersecar con el semiplano

3y - x \ge 15

queda el triángulo con vértices

A = \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)

y

B = \left(\frac{39}{4}, \frac{33}{4}\right)

sobre la recta

3y - x = 15,

y ápice

C = (8, 10).

El lado

AB

está sobre el eje de revolución, y el pie

D

de la perpendicular desde

C

a la recta, a saber

(8.7, 7.9),

está entre

A

y

B.

Así que el sólido está formado por dos conos que comparten una base de radio

CD

y cuyas alturas suman

AB,

y su volumen es

\frac{1}{3}\pi \cdot CD^2 \cdot AB.

Aquí

\begin{aligned} CD &= \frac{|3 \cdot 10 - 8 - 15|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}, \\ AB &= \sqrt{\left(\tfrac{21}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{4}\right)^2} \\ &= \frac{7\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}

El volumen es

\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{7\sqrt{10}}{4} = \frac{343\pi}{12\sqrt{10}},

así que

m + n + p = 343 + 12 + 10

= 365.

The condition

|8 - x| + y \le 10

means

y \le x + 2

for

x \le 8

and

y \le 18 - x

for

x \ge 8.

Intersecting with the half-plane

3y - x \ge 15

leaves the triangle with vertices

A = \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)

and

B = \left(\frac{39}{4}, \frac{33}{4}\right)

on the line

3y - x = 15,

and apex

C = (8, 10).

Side

AB

lies on the axis of revolution, and the foot

D

of the perpendicular from

C

to the line, namely

(8.7, 7.9),

lies between

A

and

B.

So the solid is two cones sharing a base of radius

CD

with heights summing to

AB,

and its volume is

\frac{1}{3}\pi \cdot CD^2 \cdot AB.

Here

\begin{aligned} CD &= \frac{|3 \cdot 10 - 8 - 15|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}, \\ AB &= \sqrt{\left(\tfrac{21}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{4}\right)^2} \\ &= \frac{7\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}

The volume is

\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{7\sqrt{10}}{4} = \frac{343\pi}{12\sqrt{10}},

so

m + n + p = 343 + 12 + 10

= 365.

2010 AIME I Problema 11

Respuesta: 365

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años