Question

Dos series geométricas infinitas, reales y distintas tienen cada una suma $1$ y tienen el mismo segundo término. El tercer término de una de las series es $\frac{1}{8},$ y el segundo término de ambas series puede escribirse en la forma $\frac{\sqrt{m} - n}{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos y $m$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $100m + 10n + p.$

Two distinct, real, infinite geometric series each have a sum of $1$ and have the same second term. The third term of one of the series is $\frac{1}{8},$ and the second term of both series can be written in the form $\frac{\sqrt{m} - n}{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $m$ is not divisible by the square of any prime. Find $100m + 10n + p.$

Respuesta

Solución:

Una serie geométrica con razón $r$ y suma $1$ tiene primer término $1 - r,$ así que su segundo término es $r(1 - r).$ Si las dos razones son $r$ y $s,$ entonces $r(1 - r) = s(1 - s)$ da $r - s = r^2 - s^2,$ y como las series son distintas, $r \ne s,$ forzando $s = 1 - r.$

Digamos que la serie con razón $r$ tiene tercer término $r^2(1 - r) = \frac{1}{8},$ es decir $8r^3 - 8r^2 + 1 = 0.$ Sustituyendo $t = 2r$ se obtiene $t^3 - 2t^2 + 1$ $= (t - 1)(t^2 - t - 1)$ $= 0.$ La raíz $t = 1$ hace $r = s = \frac{1}{2}$ (las series coincidirían), y $r = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ fuerza $s = 1 - r \gt 1,$ que diverge. Así que $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$

El segundo término común es $\begin{aligned} r(1 - r) &= \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{5} - 2}{16} \\ &= \frac{\sqrt{5} - 1}{8}, \end{aligned}$ así que $m = 5,$ $n = 1,$ $p = 8,$ y $100m + 10n + p = 518.$

A geometric series with ratio $r$ and sum $1$ has first term $1 - r,$ so its second term is $r(1 - r).$ If the two ratios are $r$ and $s,$ then $r(1 - r) = s(1 - s)$ gives $r - s = r^2 - s^2,$ and since the series are distinct, $r \ne s,$ forcing $s = 1 - r.$

Say the series with ratio $r$ has third term $r^2(1 - r) = \frac{1}{8},$ i.e. $8r^3 - 8r^2 + 1 = 0.$ Substituting $t = 2r$ gives $t^3 - 2t^2 + 1$ $= (t - 1)(t^2 - t - 1)$ $= 0.$ The root $t = 1$ makes $r = s = \frac{1}{2}$ (the series would coincide), and $r = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ forces $s = 1 - r \gt 1,$ which diverges. So $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$

The common second term is $\begin{aligned} r(1 - r) &= \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{5} - 2}{16} \\ &= \frac{\sqrt{5} - 1}{8}, \end{aligned}$ so $m = 5,$ $n = 1,$ $p = 8,$ and $100m + 10n + p = 518.$

2002 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años