Question

Dos series geométricas infinitas, reales y distintas tienen cada una suma

1

y tienen el mismo segundo término. El tercer término de una de las series es

\frac{1}{8},

y el segundo término de ambas series puede escribirse en la forma

\frac{\sqrt{m} - n}{p},

donde

m,

n,

y

p

son enteros positivos y

m

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

100m + 10n + p.

Two distinct, real, infinite geometric series each have a sum of

1

and have the same second term. The third term of one of the series is

\frac{1}{8},

and the second term of both series can be written in the form

\frac{\sqrt{m} - n}{p},

where

m,

n,

and

p

are positive integers and

m

is not divisible by the square of any prime. Find

100m + 10n + p.

Respuesta

Respuesta: 518

Conceptos:sucesión geométrica polinomio factorización

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Una serie geométrica con razón

r

y suma

1

tiene primer término

1 - r,

así que su segundo término es

r(1 - r)

A geometric series with ratio

r

and sum

1

has first term

1 - r,

so its second term is

r(1 - r)

Pista grande:

La igualdad de los segundos términos obliga a que las razones satisfagan

s = 1 - r;

entonces

r^2(1 - r) = \frac{1}{8}

se convierte en una ecuación cúbica que se factoriza tras sustituir

t = 2r

Equal second terms force the ratios to satisfy

s = 1 - r;

then

r^2(1 - r) = \frac{1}{8}

becomes a cubic that factors after substituting

t = 2r

Solución:

Una serie geométrica con razón

r

y suma

1

tiene primer término

1 - r,

así que su segundo término es

r(1 - r).

Si las dos razones son

r

y

s,

entonces

r(1 - r) = s(1 - s)

da

r - s = r^2 - s^2,

y como las series son distintas,

r \ne s,

lo que obliga a que

s = 1 - r.

Supongamos que la serie con razón

r

tiene tercer término

r^2(1 - r) = \frac{1}{8},

es decir,

8r^3 - 8r^2 + 1 = 0.

Sustituyendo

t = 2r

se obtiene

t^3 - 2t^2 + 1

= (t - 1)(t^2 - t - 1)

= 0.

La raíz

t = 1

hace

r = s = \frac{1}{2}

(las series coincidirían), mientras que

r = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}

obliga a que

s = 1 - r \gt 1,

por lo que la serie diverge. Por tanto,

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.

El segundo término común es

\begin{aligned} r(1 - r) &= \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{5} - 2}{16} \\ &= \frac{\sqrt{5} - 1}{8}, \end{aligned}

así que

m = 5,

n = 1,

p = 8,

y

100m + 10n + p = 518.

A geometric series with ratio

r

and sum

1

has first term

1 - r,

so its second term is

r(1 - r).

If the two ratios are

r

and

s,

then

r(1 - r) = s(1 - s)

gives

r - s = r^2 - s^2,

and since the series are distinct,

r \ne s,

forcing

s = 1 - r.

Say the series with ratio

r

has third term

r^2(1 - r) = \frac{1}{8},

i.e.

8r^3 - 8r^2 + 1 = 0.

Substituting

t = 2r

gives

t^3 - 2t^2 + 1

= (t - 1)(t^2 - t - 1)

= 0.

The root

t = 1

makes

r = s = \frac{1}{2}

(the series would coincide), and

r = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}

forces

s = 1 - r \gt 1,

which diverges. So

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.

The common second term is

\begin{aligned} r(1 - r) &= \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{5} - 2}{16} \\ &= \frac{\sqrt{5} - 1}{8}, \end{aligned}

so

m = 5,

n = 1,

p = 8,

and

100m + 10n + p = 518.

2002 AIME II Problema 11

Respuesta: 518

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años