Soluciones del 2002 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Se da que:

(1) $x$ y $y$ son ambos enteros entre $100$ y $999,$ inclusive;

(2) $y$ es el número formado al invertir el orden de las cifras de $x;$ y

(3) $z = |x - y|.$

¿Cuántos valores distintos de $z$ son posibles?

Given that

(1) $x$ and $y$ are both integers between $100$ and $999,$ inclusive;

(2) $y$ is the number formed by reversing the digits of $x;$ and

(3) $z = |x - y|.$

How many distinct values of $z$ are possible?

Respuesta

Conceptos:valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Escribe $x = 100h + 10t + u$ con cifras $h,$ $t,$ $u.$ Entonces $y = 100u + 10t + h,$ así que $z = |x - y| = 99\,|h - u|.$

Como $x$ y $y$ son ambos números de tres cifras, tanto $h$ como $u$ recorren de $1$ a $9,$ así que $|h - u|$ puede ser cualquiera de $0, 1, \ldots, 8.$ Cada elección da un múltiplo distinto de $99,$ por lo que hay $9$ valores distintos de $z.$

Write $x = 100h + 10t + u$ with digits $h,$ $t,$ $u.$ Then $y = 100u + 10t + h,$ so $z = |x - y| = 99\,|h - u|.$

Since both $x$ and $y$ are three-digit numbers, both $h$ and $u$ run from $1$ to $9,$ so $|h - u|$ can be any of $0, 1, \ldots, 8.$ Each choice gives a different multiple of $99,$ so there are $9$ distinct values of $z.$

2.

Tres de los vértices de un cubo son $P = (7, 12, 10),$ $Q = (8, 8, 1),$ y $R = (11, 3, 9).$ ¿Cuál es el área de la superficie del cubo?

Three of the vertices of a cube are $P = (7, 12, 10),$ $Q = (8, 8, 1),$ and $R = (11, 3, 9).$ What is the surface area of the cube?

Respuesta

Conceptos:geometría del cubo fórmula de la distancia área de superficie

Nivel de dificultad: 2020

Solución:

Calcula las distancias al cuadrado: $PQ^2 = 1^2 + 4^2 + 9^2 = 98,$ $QR^2 = 3^2 + 5^2 + 8^2 = 98,$ y $RP^2 = 4^2 + 9^2 + 1^2 = 98.$ Así que $P,$ $Q,$ y $R$ forman un triángulo equilátero de lado $\sqrt{98} = 7\sqrt{2}.$

Tres vértices de un cubo mutuamente equidistantes deben unirse mediante diagonales de cara, y una diagonal de cara de un cubo con arista $s$ tiene longitud $s\sqrt{2}.$ Por lo tanto $s = 7,$ y el área de la superficie es $6 \cdot 7^2 = 294.$

Compute the squared distances: $PQ^2 = 1^2 + 4^2 + 9^2 = 98,$ $QR^2 = 3^2 + 5^2 + 8^2 = 98,$ and $RP^2 = 4^2 + 9^2 + 1^2 = 98.$ So $P,$ $Q,$ and $R$ form an equilateral triangle with side $\sqrt{98} = 7\sqrt{2}.$

Three mutually equidistant vertices of a cube must be joined by face diagonals, and a face diagonal of a cube with edge $s$ has length $s\sqrt{2}.$ Thus $s = 7,$ and the surface area is $6 \cdot 7^2 = 294.$

3.

Se da que $\log_{6} a + \log_{6} b + \log_{6} c = 6,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos que forman una progresión geométrica creciente y $b - a$ es el cuadrado de un entero. Halla $a + b + c.$

It is given that $\log_{6} a + \log_{6} b + \log_{6} c = 6,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers that form an increasing geometric sequence and $b - a$ is the square of an integer. Find $a + b + c.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo sucesión geométrica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Sumar los logaritmos da $\log_6(abc) = 6,$ así que $abc = 6^6.$ En una progresión geométrica $ac = b^2,$ de donde $b^3 = 6^6,$ por lo que $b = 36$ y $ac = 36^2 = 1296.$

Como la progresión es creciente, $b - a$ es un cuadrado perfecto positivo, así que $a = 36 - k^2$ para algún $k = 1, \ldots, 5,$ lo que da los candidatos $35, 32, 27, 20, 11.$ Además $a$ debe dividir a $1296 = 2^4 \cdot 3^4,$ y de los candidatos solo $27$ lo hace, con $c = 1296/27 = 48.$

En efecto, $27, 36, 48$ es geométrica con razón $\frac{4}{3},$ y $a + b + c = 27 + 36 + 48 = 111.$

Adding the logs gives $\log_6(abc) = 6,$ so $abc = 6^6.$ In a geometric sequence $ac = b^2,$ hence $b^3 = 6^6,$ so $b = 36$ and $ac = 36^2 = 1296.$

Since the sequence is increasing, $b - a$ is a positive perfect square, so $a = 36 - k^2$ for some $k = 1, \ldots, 5,$ giving candidates $35, 32, 27, 20, 11.$ Also $a$ must divide $1296 = 2^4 \cdot 3^4,$ and of the candidates only $27$ does, with $c = 1296/27 = 48.$

Indeed $27, 36, 48$ is geometric with ratio $\frac{4}{3},$ and $a + b + c = 27 + 36 + 48 = 111.$

4.

Bloques de patio que son hexágonos regulares de $1$ unidad de lado se usan para delinear un jardín colocando los bloques lado con lado con $n$ en cada lado. El diagrama indica el camino de bloques alrededor del jardín cuando $n = 5.$

Si $n = 202,$ entonces el área del jardín encerrado por el camino, sin incluir el propio camino, es $m\left(\sqrt{3}/2\right)$ unidades cuadradas, donde $m$ es un entero positivo. Halla el residuo cuando $m$ se divide entre $1000.$

Patio blocks that are regular hexagons $1$ unit on a side are used to outline a garden by placing the blocks edge to edge with $n$ on each side. The diagram indicates the path of blocks around the garden when $n = 5.$

If $n = 202,$ then the area of the garden enclosed by the path, not including the path itself, is $m\left(\sqrt{3}/2\right)$ square units, where $m$ is a positive integer. Find the remainder when $m$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:polígono regular sumatoria descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2340

Solución:

El jardín encerrado por el camino es en sí mismo una disposición hexagonal de hexágonos unitarios con $n - 1$ en cada lado. Contando desde el centro hacia afuera en anillos de $6, 12, \ldots$ hexágonos, contiene $\begin{aligned} &1 + 6 + 12 + \cdots + 6(n-2) \\ &= 1 + 3(n-2)(n-1) \end{aligned}$ bloques, lo que para $n = 202$ es $1 + 3 \cdot 200 \cdot 201 = 120601.$

Cada hexágono unitario consta de $6$ triángulos equiláteros de lado $1,$ así que su área es $6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$ El área del jardín es por tanto $3 \cdot 120601 = 361803$ veces $\frac{\sqrt{3}}{2},$ de modo que $m = 361803,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $803.$

The garden enclosed by the path is itself a hexagonal arrangement of unit hexagons with $n - 1$ on each side. Counting from the center outward in rings of $6, 12, \ldots$ hexagons, it contains $\begin{aligned} &1 + 6 + 12 + \cdots + 6(n-2) \\ &= 1 + 3(n-2)(n-1) \end{aligned}$ blocks, which for $n = 202$ is $1 + 3 \cdot 200 \cdot 201 = 120601.$

Each unit hexagon consists of $6$ equilateral triangles of side $1,$ so its area is $6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$ The garden's area is therefore $3 \cdot 120601 = 361803$ times $\frac{\sqrt{3}}{2},$ so $m = 361803,$ and the remainder upon division by $1000$ is $803.$

5.

Halla la suma de todos los enteros positivos $a = 2^n 3^m,$ donde $n$ y $m$ son enteros no negativos, para los cuales $a^6$ no es un divisor de $6^a.$

Find the sum of all positive integers $a = 2^n 3^m,$ where $n$ and $m$ are non-negative integers, for which $a^6$ is not a divisor of $6^a.$

Respuesta

Conceptos:divisibilidad factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2430

Solución:

Con $a = 2^n 3^m,$ $\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}},$ que no es un entero exactamente cuando $6n \gt a$ o $6m \gt a.$

Si $m, n \ge 1,$ entonces $a \ge 3 \cdot 2^n \ge 6n$ (ya que $2^n \ge 2n$ ) y de modo similar $a \ge 2 \cdot 3^m \ge 6m,$ así que ningún $a$ de este tipo funciona. Si $m = 0,$ la condición es $2^n \lt 6n,$ que se cumple para $n = 1, 2, 3, 4,$ dando $a = 2, 4, 8, 16.$ Si $n = 0,$ la condición es $3^m \lt 6m,$ que se cumple para $m = 1, 2,$ dando $a = 3, 9.$ (Para $a = 1$ la condición no se cumple.)

La suma es $2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 = 42.$

With $a = 2^n 3^m,$ $\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}},$ which fails to be an integer exactly when $6n \gt a$ or $6m \gt a.$

If $m, n \ge 1,$ then $a \ge 3 \cdot 2^n \ge 6n$ (since $2^n \ge 2n$ ) and similarly $a \ge 2 \cdot 3^m \ge 6m,$ so no such $a$ works. If $m = 0,$ the condition is $2^n \lt 6n,$ which holds for $n = 1, 2, 3, 4,$ giving $a = 2, 4, 8, 16.$ If $n = 0,$ the condition is $3^m \lt 6m,$ which holds for $m = 1, 2,$ giving $a = 3, 9.$ (For $a = 1$ the condition fails.)

The sum is $2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 = 42.$

6.

Halla el entero más cercano a $1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4}.$

Find the integer that is closest to $1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4}.$

Respuesta

Conceptos:telescópica fracciones parciales estimación

Nivel de dificultad: 2340

Solución:

Como $\frac{1}{n^2 - 4} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}\right),$ la suma se telescopa: $\begin{aligned} &1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4} \\ &\tiny{}= 250\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9999} - \frac{1}{10000} - \frac{1}{10001} - \frac{1}{10002}\right). \end{aligned}$

La parte del frente es $250 \cdot \frac{25}{12} = 520.8\overline{3},$ y los cuatro términos de cola restan solo alrededor de $250 \cdot \frac{4}{10000} = 0.1.$ El valor es por tanto aproximadamente $520.73,$ así que el entero más cercano es $521.$

Since $\frac{1}{n^2 - 4} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}\right),$ the sum telescopes: $\begin{aligned} &1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4} \\ &\tiny{}= 250\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9999} - \frac{1}{10000} - \frac{1}{10001} - \frac{1}{10002}\right). \end{aligned}$

The front part is $250 \cdot \frac{25}{12} = 520.8\overline{3},$ and the four tail terms subtract only about $250 \cdot \frac{4}{10000} = 0.1.$ The value is therefore about $520.73,$ so the closest integer is $521.$

7.

Se sabe que, para todos los enteros positivos $k,$ $\begin{aligned} &1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 \\ &= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}. \end{aligned}$ Halla el menor entero positivo $k$ tal que $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2$ sea un múltiplo de $200.$

It is known that, for all positive integers $k,$ $\begin{aligned} &1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 \\ &= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}. \end{aligned}$ Find the smallest positive integer $k$ such that $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2$ is a multiple of $200.$

Respuesta

Conceptos:suma de los primeros n cuadrados Teorema chino del resto análisis por casos

Nivel de dificultad: 2500

Solución:

La suma es un múltiplo de $200$ exactamente cuando $k(k+1)(2k+1)$ es un múltiplo de $1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2.$ El factor $3$ siempre divide a $k(k+1)(2k+1)$ (si $k \equiv 1 \pmod 3,$ entonces $3 \mid 2k+1$ ), así que solo importan $2^4$ y $5^2.$

Como $2k+1$ es impar y $k,$ $k+1$ no pueden ser ambos pares, $16$ debe dividir a $k$ o $k+1,$ así que $k \equiv 0$ o $15 \pmod{16}.$ De modo similar $25$ debe dividir a uno de $k,$ $k+1,$ $2k+1,$ dando $k \equiv 0,$ $24,$ o $12 \pmod{25}.$ Combinando cada par de congruencias módulo $400,$ las menores soluciones positivas son $112,$ $175,$ $224,$ $287,$ $399,$ y $400.$

El menor es $k = 112:$ en efecto $112 \cdot 113 \cdot 225$ $= (16 \cdot 7) \cdot 113 \cdot (9 \cdot 25)$ es un múltiplo de $1200.$

The sum is a multiple of $200$ exactly when $k(k+1)(2k+1)$ is a multiple of $1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2.$ The factor $3$ always divides $k(k+1)(2k+1)$ (if $k \equiv 1 \pmod 3,$ then $3 \mid 2k+1$ ), so only $2^4$ and $5^2$ matter.

Since $2k+1$ is odd and $k,$ $k+1$ cannot both be even, $16$ must divide $k$ or $k+1,$ so $k \equiv 0$ or $15 \pmod{16}.$ Similarly $25$ must divide one of $k,$ $k+1,$ $2k+1,$ giving $k \equiv 0,$ $24,$ or $12 \pmod{25}.$ Combining each pair of congruences modulo $400,$ the smallest positive solutions are $112,$ $175,$ $224,$ $287,$ $399,$ and $400.$

The least is $k = 112:$ indeed $112 \cdot 113 \cdot 225$ $= (16 \cdot 7) \cdot 113 \cdot (9 \cdot 25)$ is a multiple of $1200.$

8.

Halla el menor entero positivo $k$ para el cual la ecuación $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = k$ no tiene soluciones enteras para $n.$ (La notación $\lfloor x \rfloor$ significa el mayor entero menor o igual que $x.$ )

Find the least positive integer $k$ for which the equation $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = k$ has no integer solutions for $n.$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ means the greatest integer less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

El valor $k$ se alcanza exactamente cuando algún entero $n$ satisface $k \le \frac{2002}{n} \lt k + 1,$ es decir, cuando el intervalo $\left(\frac{2002}{k+1}, \frac{2002}{k}\right]$ contiene un entero. Su longitud es $\frac{2002}{k(k+1)},$ que es al menos $1$ siempre que $k(k+1) \le 2002,$ así que todo $k \le 44$ se alcanza.

Para valores mayores de $k,$ comprueba directamente: $n = 44, 43, 42, 41, 40$ dan $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = 45, 46, 47, 48, 50.$ Como $\frac{2002}{41} \approx 48.8$ y $\frac{2002}{40} \gt 50,$ el valor $49$ nunca se alcanza, así que el menor $k$ de este tipo es $49.$

The value $k$ is attained exactly when some integer $n$ satisfies $k \le \frac{2002}{n} \lt k + 1,$ that is, when the interval $\left(\frac{2002}{k+1}, \frac{2002}{k}\right]$ contains an integer. Its length is $\frac{2002}{k(k+1)},$ which is at least $1$ whenever $k(k+1) \le 2002$ — so every $k \le 44$ is attained.

For larger $k,$ check directly: $n = 44, 43, 42, 41, 40$ give $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = 45, 46, 47, 48, 50.$ Since $\frac{2002}{41} \approx 48.8$ and $\frac{2002}{40} \gt 50,$ the value $49$ is never attained, so the least such $k$ is $49.$

9.

Sea $\mathcal{S}$ el conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}.$ Sea $n$ el número de conjuntos de dos subconjuntos disjuntos no vacíos de $\mathcal{S}.$ (Conjuntos disjuntos se definen como conjuntos que no tienen elementos en común.) Halla el residuo obtenido cuando $n$ se divide entre $1000.$

Let $\mathcal{S}$ be the set $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}.$ Let $n$ be the number of sets of two non-empty disjoint subsets of $\mathcal{S}.$ (Disjoint sets are defined as sets that have no common elements.) Find the remainder obtained when $n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:subconjuntos principio de multiplicación inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2500

Solución:

Primero cuenta los pares ordenados $(A, B)$ de subconjuntos disjuntos: cada uno de los $10$ elementos va en $A,$ en $B,$ o en ninguno, para $3^{10}$ pares. Entre estos, $2^{10}$ tienen $A$ vacío y $2^{10}$ tienen $B$ vacío, con el par $(\varnothing, \varnothing)$ contado en ambos, así que $3^{10} - 2 \cdot 2^{10} + 1 = 57002$ pares ordenados tienen ambos subconjuntos no vacíos.

Los subconjuntos disjuntos no vacíos nunca son iguales, así que cada conjunto $\{A, B\}$ se cuenta dos veces, dando $n = \frac{57002}{2} = 28501.$ El residuo módulo $1000$ es $501.$

Count ordered pairs $(A, B)$ of disjoint subsets first: each of the $10$ elements goes in $A,$ in $B,$ or in neither, for $3^{10}$ pairs. Among these, $2^{10}$ have $A$ empty and $2^{10}$ have $B$ empty, with the pair $(\varnothing, \varnothing)$ counted in both, so $3^{10} - 2 \cdot 2^{10} + 1 = 57002$ ordered pairs have both subsets non-empty.

Disjoint non-empty subsets are never equal, so each set $\{A, B\}$ is counted twice, giving $n = \frac{57002}{2} = 28501.$ The remainder mod $1000$ is $501.$

10.

Al calcular el seno de cierto ángulo, un profesor distraído no notó que su calculadora no estaba en el modo angular correcto. Tuvo suerte de obtener la respuesta correcta. Los dos menores valores reales positivos de $x$ para los cuales el seno de $x$ grados es el mismo que el seno de $x$ radianes son $\frac{m\pi}{n - \pi}$ y $\frac{p\pi}{q + \pi},$ donde $m,$ $n,$ $p,$ y $q$ son enteros positivos. Halla $m + n + p + q.$

While finding the sine of a certain angle, an absent-minded professor failed to notice that his calculator was not in the correct angular mode. He was lucky to get the right answer. The two least positive real values of $x$ for which the sine of $x$ degrees is the same as the sine of $x$ radians are $\frac{m\pi}{n - \pi}$ and $\frac{p\pi}{q + \pi},$ where $m,$ $n,$ $p,$ and $q$ are positive integers. Find $m + n + p + q.$

Respuesta

Conceptos:trigonometría conversión de unidades

Nivel de dificultad: 2760

Solución:

Un ángulo de $x$ grados es $\frac{\pi x}{180}$ radianes, así que necesitamos $\sin \frac{\pi x}{180} = \sin x.$ Dos ángulos tienen senos iguales exactamente cuando difieren en un múltiplo de $2\pi$ o suman $\pi$ más un múltiplo de $2\pi.$

El primer caso da $x - \frac{\pi x}{180} = 2\pi j,$ así que $x = \frac{360 j \pi}{180 - \pi},$ con menor valor positivo $\frac{360\pi}{180 - \pi} \approx 6.4.$ El segundo da $x + \frac{\pi x}{180} = (2k + 1)\pi,$ así que $x = \frac{180(2k+1)\pi}{180 + \pi},$ con menor valor positivo $\frac{180\pi}{180 + \pi} \approx 3.1.$ Estas son las dos soluciones más pequeñas.

Emparejando $\frac{m\pi}{n - \pi}$ y $\frac{p\pi}{q + \pi}$ se obtiene $m = 360,$ $n = 180,$ $p = 180,$ $q = 180,$ así que $m + n + p + q = 900.$

An angle of $x$ degrees is $\frac{\pi x}{180}$ radians, so we need $\sin \frac{\pi x}{180} = \sin x.$ Two angles have equal sines exactly when they differ by a multiple of $2\pi$ or sum to $\pi$ plus a multiple of $2\pi.$

The first case gives $x - \frac{\pi x}{180} = 2\pi j,$ so $x = \frac{360 j \pi}{180 - \pi},$ with least positive value $\frac{360\pi}{180 - \pi} \approx 6.4.$ The second gives $x + \frac{\pi x}{180} = (2k + 1)\pi,$ so $x = \frac{180(2k+1)\pi}{180 + \pi},$ with least positive value $\frac{180\pi}{180 + \pi} \approx 3.1.$ These are the two smallest solutions.

Matching $\frac{m\pi}{n - \pi}$ and $\frac{p\pi}{q + \pi}$ gives $m = 360,$ $n = 180,$ $p = 180,$ $q = 180,$ so $m + n + p + q = 900.$

11.

Dos series geométricas infinitas, reales y distintas tienen cada una suma $1$ y tienen el mismo segundo término. El tercer término de una de las series es $\frac{1}{8},$ y el segundo término de ambas series puede escribirse en la forma $\frac{\sqrt{m} - n}{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos y $m$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $100m + 10n + p.$

Two distinct, real, infinite geometric series each have a sum of $1$ and have the same second term. The third term of one of the series is $\frac{1}{8},$ and the second term of both series can be written in the form $\frac{\sqrt{m} - n}{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $m$ is not divisible by the square of any prime. Find $100m + 10n + p.$

Respuesta

Conceptos:sucesión geométrica polinomio factorización

Nivel de dificultad: 2760

Solución:

Una serie geométrica con razón $r$ y suma $1$ tiene primer término $1 - r,$ así que su segundo término es $r(1 - r).$ Si las dos razones son $r$ y $s,$ entonces $r(1 - r) = s(1 - s)$ da $r - s = r^2 - s^2,$ y como las series son distintas, $r \ne s,$ forzando $s = 1 - r.$

Digamos que la serie con razón $r$ tiene tercer término $r^2(1 - r) = \frac{1}{8},$ es decir $8r^3 - 8r^2 + 1 = 0.$ Sustituyendo $t = 2r$ se obtiene $t^3 - 2t^2 + 1$ $= (t - 1)(t^2 - t - 1)$ $= 0.$ La raíz $t = 1$ hace $r = s = \frac{1}{2}$ (las series coincidirían), y $r = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ fuerza $s = 1 - r \gt 1,$ que diverge. Así que $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$

El segundo término común es $\begin{aligned} r(1 - r) &= \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{5} - 2}{16} \\ &= \frac{\sqrt{5} - 1}{8}, \end{aligned}$ así que $m = 5,$ $n = 1,$ $p = 8,$ y $100m + 10n + p = 518.$

A geometric series with ratio $r$ and sum $1$ has first term $1 - r,$ so its second term is $r(1 - r).$ If the two ratios are $r$ and $s,$ then $r(1 - r) = s(1 - s)$ gives $r - s = r^2 - s^2,$ and since the series are distinct, $r \ne s,$ forcing $s = 1 - r.$

Say the series with ratio $r$ has third term $r^2(1 - r) = \frac{1}{8},$ i.e. $8r^3 - 8r^2 + 1 = 0.$ Substituting $t = 2r$ gives $t^3 - 2t^2 + 1$ $= (t - 1)(t^2 - t - 1)$ $= 0.$ The root $t = 1$ makes $r = s = \frac{1}{2}$ (the series would coincide), and $r = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ forces $s = 1 - r \gt 1,$ which diverges. So $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$

The common second term is $\begin{aligned} r(1 - r) &= \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{5} - 2}{16} \\ &= \frac{\sqrt{5} - 1}{8}, \end{aligned}$ so $m = 5,$ $n = 1,$ $p = 8,$ and $100m + 10n + p = 518.$

12.

Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad constante de $.4$ de encestar cualquier tiro dado, independiente de los tiros anteriores. Sea $a_n$ la razón de tiros encestados a tiros intentados tras $n$ tiros. La probabilidad de que $a_{10} = .4$ y $a_n \le .4$ para todo $n$ tal que $1 \le n \le 9$ se da como $p^a q^b r / \left(s^c\right),$ donde $p,$ $q,$ $r,$ y $s$ son primos, y $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos. Halla $(p + q + r + s)(a + b + c).$

A basketball player has a constant probability of $.4$ of making any given shot, independent of previous shots. Let $a_n$ be the ratio of shots made to shots attempted after $n$ shots. The probability that $a_{10} = .4$ and $a_n \le .4$ for all $n$ such that $1 \le n \le 9$ is given to be $p^a q^b r / \left(s^c\right),$ where $p,$ $q,$ $r,$ and $s$ are primes, and $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. Find $(p + q + r + s)(a + b + c).$

Respuesta

Conceptos:caminos reticulares conteo recursivo probabilidad binomial

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Registra el progreso del jugador como un camino a través de los puntos $(n, y),$ donde $y$ es el número de tiros encestados tras $n$ intentos. La condición $a_n \le .4$ limita $y$ a $\lfloor 0.4n \rfloor,$ que para $n = 1, \ldots, 9$ es $0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3,$ y $a_{10} = .4$ significa que el camino termina en $(10, 4).$

Cuenta los caminos permitidos sumando, en cada punto, los conteos de sus dos predecesores (un fallo mantiene $y,$ un acierto lo sube en $1$ ). Los conteos en las alturas máximas permitidas para $n = 3, \ldots, 9$ resultan ser $1, 2, 2, 5, 9, 9, 23,$ y el décimo tiro debe ser un acierto, así que $23$ secuencias de tiros cumplen. Cada una consta de $4$ aciertos y $6$ fallos, así que la probabilidad es $23 \left(\tfrac{2}{5}\right)^4 \left(\tfrac{3}{5}\right)^6 = \frac{2^4 \, 3^6 \cdot 23}{5^{10}}.$

Por lo tanto $\{p, q, r, s\} = \{2, 3, 23, 5\}$ y $(a, b, c) = (4, 6, 10),$ dando $(2 + 3 + 23 + 5)(4 + 6 + 10)$ $= 33 \cdot 20$ $= 660.$

Record the player's progress as a path through points $(n, y),$ where $y$ is the number of shots made after $n$ attempts. The condition $a_n \le .4$ caps $y$ at $\lfloor 0.4n \rfloor,$ which for $n = 1, \ldots, 9$ is $0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3,$ and $a_{10} = .4$ means the path ends at $(10, 4).$

Count the allowed paths by adding, at each point, the counts of its two predecessors (a miss keeps $y,$ a make raises it by $1$ ). The counts at the maximum allowed heights for $n = 3, \ldots, 9$ come out to $1, 2, 2, 5, 9, 9, 23,$ and the tenth shot must be a make, so $23$ shot sequences qualify. Each consists of $4$ makes and $6$ misses, so the probability is $23 \left(\tfrac{2}{5}\right)^4 \left(\tfrac{3}{5}\right)^6 = \frac{2^4 \, 3^6 \cdot 23}{5^{10}}.$

Thus $\{p, q, r, s\} = \{2, 3, 23, 5\}$ and $(a, b, c) = (4, 6, 10),$ giving $(2 + 3 + 23 + 5)(4 + 6 + 10)$ $= 33 \cdot 20$ $= 660.$

13.

En el triángulo $ABC,$ el punto $D$ está en $\overline{BC}$ con $CD = 2$ y $DB = 5,$ el punto $E$ está en $\overline{AC}$ con $CE = 1$ y $EA = 3,$ $AB = 8,$ y $\overline{AD}$ y $\overline{BE}$ se intersecan en $P.$ Los puntos $Q$ y $R$ están en $\overline{AB}$ de modo que $\overline{PQ}$ es paralela a $\overline{CA}$ y $\overline{PR}$ es paralela a $\overline{CB}.$ Se da que la razón del área del triángulo $PQR$ al área del triángulo $ABC$ es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In triangle $ABC,$ point $D$ is on $\overline{BC}$ with $CD = 2$ and $DB = 5,$ point $E$ is on $\overline{AC}$ with $CE = 1$ and $EA = 3,$ $AB = 8,$ and $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ intersect at $P.$ Points $Q$ and $R$ lie on $\overline{AB}$ so that $\overline{PQ}$ is parallel to $\overline{CA}$ and $\overline{PR}$ is parallel to $\overline{CB}.$ It is given that the ratio of the area of triangle $PQR$ to the area of triangle $ABC$ is $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:puntos de masa homotecia razón de áreas

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Asigna masas $5$ en $A,$ $6$ en $B,$ y $15$ en $C.$ Entonces $E$ equilibra $\overline{AC}$ ( $5 \cdot 3 = 15 \cdot 1$ ) y $D$ equilibra $\overline{BC}$ ( $6 \cdot 5 = 15 \cdot 2$ ), así que las cevianas $\overline{AD}$ y $\overline{BE}$ se encuentran en el centro de masa $P,$ de masa total $26.$ Extendiendo $\overline{CP}$ para que corte $\overline{AB}$ en $F,$ la masa en $F$ es $5 + 6 = 11,$ así que en el segmento $CF$ obtenemos $CP : PF = 11 : 15,$ es decir, $\frac{FP}{FC} = \frac{15}{26}.$

La homotecia centrada en $F$ con razón $\frac{15}{26}$ envía $C$ a $P$ y aplica la recta $AB$ sobre sí misma; lleva la recta $CA$ a la recta paralela por $P$ , que es la recta $PQ$ , y la recta $CB$ a la recta $PR.$ Por lo tanto aplica el triángulo $CAB$ sobre el triángulo $PQR,$ y $\frac{[PQR]}{[ABC]} = \left(\frac{15}{26}\right)^2 = \frac{225}{676}.$

Como $\gcd(225, 676) = 1,$ la respuesta es $m + n = 225 + 676 = 901.$

Assign masses $5$ at $A,$ $6$ at $B,$ and $15$ at $C.$ Then $E$ balances $\overline{AC}$ ( $5 \cdot 3 = 15 \cdot 1$ ) and $D$ balances $\overline{BC}$ ( $6 \cdot 5 = 15 \cdot 2$ ), so the cevians $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ meet at the center of mass $P,$ of total mass $26.$ Extending $\overline{CP}$ to meet $\overline{AB}$ at $F,$ the mass at $F$ is $5 + 6 = 11,$ so on segment $CF$ we get $CP : PF = 11 : 15,$ that is, $\frac{FP}{FC} = \frac{15}{26}.$

The homothety centered at $F$ with ratio $\frac{15}{26}$ sends $C$ to $P$ and maps line $AB$ to itself; it carries line $CA$ to the parallel line through $P$ — which is line $PQ$ — and line $CB$ to line $PR.$ Hence it maps triangle $CAB$ onto triangle $PQR,$ and $\frac{[PQR]}{[ABC]} = \left(\frac{15}{26}\right)^2 = \frac{225}{676}.$

Since $\gcd(225, 676) = 1,$ the answer is $m + n = 225 + 676 = 901.$

14.

El perímetro del triángulo $APM$ es $152,$ y el ángulo $PAM$ es un ángulo recto. Se traza un círculo de radio $19$ con centro $O$ en $\overline{AP}$ de modo que es tangente a $\overline{AM}$ y $\overline{PM}.$ Dado que $OP = m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

The perimeter of triangle $APM$ is $152,$ and angle $PAM$ is a right angle. A circle of radius $19$ with center $O$ on $\overline{AP}$ is drawn so that it is tangent to $\overline{AM}$ and $\overline{PM}.$ Given that $OP = m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:recta tangente semejanza perímetro

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Sea $T$ el punto donde el círculo toca $\overline{PM}.$ Como $\overline{AM} \perp \overline{AP}$ y $O$ está en $\overline{AP}$ a distancia $19$ de la recta $AM,$ el círculo es tangente a $\overline{AM}$ en $A$ mismo, así que las dos tangentes desde $M$ dan $MT = MA.$ Los triángulos rectángulos $POT$ y $PMA$ (ángulos rectos en $T$ y $A$ ) comparten el ángulo $P,$ así que son semejantes con razón $\frac{OT}{MA} = \frac{19}{MA}.$

El perímetro del triángulo pequeño es $PO + OT + TP$ $= (PA - 19) + 19 + TP$ $= PA + PT,$ y como $MT = MA,$ $\begin{aligned} PA + PT &= PA + PM - MT \\ &= 152 - 2\,MA. \end{aligned}$ Los perímetros de triángulos semejantes están en la razón de semejanza, así que $\frac{19}{MA} = \frac{152 - 2\,MA}{152},$ que se simplifica a $MA^2 - 76\,MA + 1444$ $= (MA - 38)^2$ $= 0.$ Por lo tanto $MA = 38.$

La razón de semejanza es entonces $\frac{19}{38} = \frac{1}{2},$ así que $PO = \frac{1}{2} PM.$ Del perímetro, $PA + PM = 152 - 38 = 114,$ y $PA = PO + 19,$ así que $\frac{1}{2} PM + 19 + PM = 114,$ dando $PM = \frac{190}{3}$ y $OP = \frac{95}{3}.$ Por lo tanto $m + n = 95 + 3 = 98.$

Let $T$ be the point where the circle touches $\overline{PM}.$ Since $\overline{AM} \perp \overline{AP}$ and $O$ lies on $\overline{AP}$ at distance $19$ from line $AM,$ the circle is tangent to $\overline{AM}$ at $A$ itself, so the two tangents from $M$ give $MT = MA.$ Right triangles $POT$ and $PMA$ (right angles at $T$ and $A$ ) share angle $P,$ so they are similar with ratio $\frac{OT}{MA} = \frac{19}{MA}.$

The small triangle's perimeter is $PO + OT + TP$ $= (PA - 19) + 19 + TP$ $= PA + PT,$ and since $MT = MA,$ $\begin{aligned} PA + PT &= PA + PM - MT \\ &= 152 - 2\,MA. \end{aligned}$ Perimeters of similar triangles are in the ratio of similarity, so $\frac{19}{MA} = \frac{152 - 2\,MA}{152},$ which simplifies to $MA^2 - 76\,MA + 1444$ $= (MA - 38)^2$ $= 0.$ Thus $MA = 38.$

The ratio of similarity is then $\frac{19}{38} = \frac{1}{2},$ so $PO = \frac{1}{2} PM.$ From the perimeter, $PA + PM = 152 - 38 = 114,$ and $PA = PO + 19,$ so $\frac{1}{2} PM + 19 + PM = 114,$ giving $PM = \frac{190}{3}$ and $OP = \frac{95}{3}.$ Hence $m + n = 95 + 3 = 98.$

15.

Los círculos $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ se intersecan en dos puntos, uno de los cuales es $(9, 6),$ y el producto de sus radios es $68.$ El eje $x$ y la recta $y = mx,$ donde $m \gt 0,$ son tangentes a ambos círculos. Se da que $m$ puede escribirse en la forma $a\sqrt{b}/c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, y $a$ y $c$ son primos entre sí. Halla $a + b + c.$

Circles $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2$ intersect at two points, one of which is $(9, 6),$ and the product of their radii is $68.$ The $x$ -axis and the line $y = mx,$ where $m \gt 0,$ are tangent to both circles. It is given that $m$ can be written in the form $a\sqrt{b}/c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, $b$ is not divisible by the square of any prime, and $a$ and $c$ are relatively prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Conceptos:recta tangente bisectriz identidad trigonométrica Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Ambos círculos son tangentes al eje $x$ y a $y = mx,$ así que ambos centros están en la bisectriz del ángulo del primer cuadrante entre esas rectas. Si la bisectriz forma un ángulo $\alpha$ con el eje $x$ , entonces $m = \tan 2\alpha,$ y cada centro tiene la forma $(x_i, \, x_i \tan\alpha)$ con radio $r_i = x_i \tan\alpha$ (su distancia al eje $x$ ).

Como $(9, 6)$ está en cada círculo, $(9 - x_i)^2 + (6 - x_i \tan\alpha)^2$ $= x_i^2 \tan^2\alpha,$ que se expande a $\begin{aligned} &x_i^2 - (18 + 12\tan\alpha)\,x_i + 117 \\ &= 0. \end{aligned}$ Tanto $x_1$ como $x_2$ satisfacen esta única cuadrática, así que por las fórmulas de Vieta $x_1 x_2 = 117.$ Entonces $r_1 r_2$ $= x_1 x_2 \tan^2\alpha$ $= 117 \tan^2\alpha$ $= 68,$ así que $\tan^2\alpha = \frac{68}{117}$ y $\tan\alpha = \frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{13}}.$

Finalmente, $\begin{aligned} m &= \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} \\ &= \frac{2\tan\alpha}{49/117} \\ &= \frac{234}{49} \cdot \frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{13}} \\ &= \frac{156\sqrt{17}}{49\sqrt{13}} \\ &= \frac{12\sqrt{221}}{49}, \end{aligned}$ así que $a + b + c$ $= 12 + 221 + 49$ $= 282.$

Both circles are tangent to the $x$ -axis and to $y = mx,$ so both centers lie on the bisector of the first-quadrant angle between those lines. If the bisector makes angle $\alpha$ with the $x$ -axis, then $m = \tan 2\alpha,$ and each center has the form $(x_i, \, x_i \tan\alpha)$ with radius $r_i = x_i \tan\alpha$ (its distance to the $x$ -axis).

Since $(9, 6)$ lies on each circle, $(9 - x_i)^2 + (6 - x_i \tan\alpha)^2$ $= x_i^2 \tan^2\alpha,$ which expands to $\begin{aligned} &x_i^2 - (18 + 12\tan\alpha)\,x_i + 117 \\ &= 0. \end{aligned}$ Both $x_1$ and $x_2$ satisfy this one quadratic, so by Vieta's formulas $x_1 x_2 = 117.$ Then $r_1 r_2$ $= x_1 x_2 \tan^2\alpha$ $= 117 \tan^2\alpha$ $= 68,$ so $\tan^2\alpha = \frac{68}{117}$ and $\tan\alpha = \frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{13}}.$

Finally, $\begin{aligned} m &= \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} \\ &= \frac{2\tan\alpha}{49/117} \\ &= \frac{234}{49} \cdot \frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{13}} \\ &= \frac{156\sqrt{17}}{49\sqrt{13}} \\ &= \frac{12\sqrt{221}}{49}, \end{aligned}$ so $a + b + c$ $= 12 + 221 + 49$ $= 282.$