Question

Un sólido con forma de cono circular recto mide $4$ pulgadas de altura y su base tiene un radio de $3$ pulgadas. Toda la superficie del cono, incluida su base, está pintada. Un plano paralelo a la base del cono divide el cono en dos sólidos, un sólido cónico más pequeño $\mathcal{C}$ y un sólido con forma de tronco $\mathcal{F},$ de modo que la razón entre las áreas de las superficies pintadas de $\mathcal{C}$ y $\mathcal{F}$ y la razón entre los volúmenes de $\mathcal{C}$ y $\mathcal{F}$ son ambas iguales a $k.$ Dado que $k = m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

A solid in the shape of a right circular cone is $4$ inches tall and its base has a $3$ -inch radius. The entire surface of the cone, including its base, is painted. A plane parallel to the base of the cone divides the cone into two solids, a smaller cone-shaped solid $\mathcal{C}$ and a frustum-shaped solid $\mathcal{F},$ in such a way that the ratio between the areas of the painted surfaces of $\mathcal{C}$ and $\mathcal{F}$ and the ratio between the volumes of $\mathcal{C}$ and $\mathcal{F}$ are both equal to $k.$ Given that $k = m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Solución:

El cono tiene radio $3,$ altura $4,$ y generatriz $5,$ así que su superficie pintada consta del área lateral $\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$ y el área de la base $9\pi,$ que suman $24\pi.$ Supón que el corte está a la razón de semejanza $t,$ de modo que $\mathcal{C}$ es un cono de radio $3t$ y generatriz $5t.$ Entonces la superficie pintada de $\mathcal{C}$ es solo su área lateral $15\pi t^2,$ y la superficie pintada de $\mathcal{F}$ es el resto, $24\pi - 15\pi t^2.$ Los volúmenes están en razón $t^3$ a $1 - t^3.$

Al igualar las dos razones, $\frac{15 t^2}{24 - 15 t^2} = \frac{t^3}{1 - t^3},$ así que $15 t^2 (1 - t^3) = t^3 (24 - 15 t^2),$ lo que se simplifica a $15 t^2 = 24 t^3,$ dando $t = \frac{5}{8}.$

Entonces $k = \frac{t^3}{1 - t^3} = \frac{125/512}{387/512} = \frac{125}{387},$ que está en su mínima expresión ya que $387 = 3^2 \cdot 43,$ así que $m + n = 125 + 387 = 512.$

The cone has radius $3,$ height $4,$ and slant height $5,$ so its painted surface consists of lateral area $\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$ and base area $9\pi,$ totaling $24\pi.$ Suppose the cut is at similarity ratio $t,$ so $\mathcal{C}$ is a cone with radius $3t$ and slant height $5t.$ Then $\mathcal{C}$ 's painted surface is only its lateral area $15\pi t^2,$ and $\mathcal{F}$ 's painted surface is the rest, $24\pi - 15\pi t^2.$ The volumes are in ratio $t^3$ to $1 - t^3.$

Setting the two ratios equal, $\frac{15 t^2}{24 - 15 t^2} = \frac{t^3}{1 - t^3},$ so $15 t^2 (1 - t^3) = t^3 (24 - 15 t^2),$ which simplifies to $15 t^2 = 24 t^3,$ giving $t = \frac{5}{8}.$

Then $k = \frac{t^3}{1 - t^3} = \frac{125/512}{387/512} = \frac{125}{387},$ which is in lowest terms since $387 = 3^2 \cdot 43,$ so $m + n = 125 + 387 = 512.$

2004 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años