Question

Un profesor dirigía una clase de cuatro estudiantes perfectamente lógicos. El profesor eligió un conjunto $S$ de cuatro enteros y dio a cada estudiante un número distinto de $S$ . Luego el profesor anunció a la clase que los números de $S$ eran cuatro enteros positivos consecutivos de dos dígitos, que algún número de $S$ era divisible por $6$ , y que un número distinto de $S$ era divisible por $7$ . El profesor preguntó entonces si alguno de los estudiantes podía deducir cuál es $S$ , pero al unísono, todos los estudiantes respondieron que no.

Sin embargo, al oír que los cuatro estudiantes respondieron que no, cada estudiante pudo determinar los elementos de $S$ . Halle la suma de todos los valores posibles del mayor elemento de $S$ .

A teacher was leading a class of four perfectly logical students. The teacher chose a set $S$ of four integers and gave a different number in $S$ to each student. Then the teacher announced to the class that the numbers in $S$ were four consecutive two-digit positive integers, that some number in $S$ was divisible by $6,$ and a different number in $S$ was divisible by $7.$ The teacher then asked if any of the students could deduce what $S$ is, but in unison, all of the students replied no.

However, upon hearing that all four students replied no, each student was able to determine the elements of $S.$ Find the sum of all possible values of the greatest element of $S.$

Respuesta

Solución:

Llamamos tramo a cualquier conjunto de cuatro enteros consecutivos de dos dígitos que contenga un múltiplo de $6$ y un múltiplo distinto de $7$ ; los tramos son exactamente los candidatos para $S$ permitidos por el anuncio. Un estudiante que tenga un número que esté en exactamente un tramo podría nombrar $S$ de inmediato, así que el "no" unánime revela que cada elemento de $S$ está en al menos dos tramos.

Un número pertenece a dos tramos distintos solo cuando tramos cercanos se solapan, lo que ocurre cuando un múltiplo de $6$ y un múltiplo de $7$ son enteros consecutivos, ambos de dos dígitos: los pares $(35, 36)$ , $(48, 49)$ , $(77, 78)$ , y $(90, 91)$ . Revisando cada agrupación, los tramos cuyos cuatro elementos son todos ambiguos son exactamente aquellos con un par de este tipo en las dos posiciones centrales: $\begin{aligned} &\{34, 35, 36, 37\}, \\ &\{47, 48, 49, 50\}, \\ &\{76, 77, 78, 79\}, \\ &\{89, 90, 91, 92\}. \end{aligned}$ Estos cuatro conjuntos son disjuntos dos a dos, así que tras las cuatro respuestas "no", el propio número de cada estudiante distingue uno de ellos, en consonancia con que todos deduzcan luego $S$ .

Los mayores elementos posibles son $37$ , $50$ , $79$ , y $92$ , con suma $258$ .

Call a run any set of four consecutive two-digit integers containing a multiple of $6$ and a different multiple of $7;$ the runs are exactly the candidates for $S$ allowed by the announcement. A student holding a number that lies in exactly one run could name $S$ immediately, so the unanimous "no" reveals that every element of $S$ lies in at least two runs.

A number belongs to two different runs only when nearby runs overlap, which happens when a multiple of $6$ and a multiple of $7$ are consecutive integers, both two-digit: the pairs $(35, 36),$ $(48, 49),$ $(77, 78),$ and $(90, 91).$ Checking each cluster, the runs all four of whose elements are ambiguous are exactly the ones with such a pair in the two middle positions: $\begin{aligned} &\{34, 35, 36, 37\}, \\ &\{47, 48, 49, 50\}, \\ &\{76, 77, 78, 79\}, \\ &\{89, 90, 91, 92\}. \end{aligned}$ These four sets are pairwise disjoint, so after the four "no" replies each student's own number singles out one of them, consistent with everyone then deducing $S.$

The possible greatest elements are $37,$ $50,$ $79,$ and $92,$ with sum $258.$

2021 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años