Question

Sea $P(x) = x^2 - 3x - 7,$ y sean $Q(x)$ y $R(x)$ dos polinomios cuadráticos también con coeficiente de $x^2$ igual a $1.$ David calcula cada una de las tres sumas $P + Q,$ $P + R,$ y $Q + R$ y se sorprende al descubrir que cada par de estas sumas tiene una raíz común, y estas tres raíces comunes son distintas. Si $Q(0) = 2,$ entonces $R(0) = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $P(x) = x^2 - 3x - 7,$ and let $Q(x)$ and $R(x)$ be two quadratic polynomials also with the coefficient of $x^2$ equal to $1.$ David computes each of the three sums $P + Q,$ $P + R,$ and $Q + R$ and is surprised to find that each pair of these sums has a common root, and these three common roots are distinct. If $Q(0) = 2,$ then $R(0) = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $a$ la raíz común de $P+Q$ y $P+R,$ sea $b$ la de $P+Q$ y $Q+R,$ y sea $c$ la de $P+R$ y $Q+R.$ Cada suma es cuadrática con coeficiente principal $2,$ así que $P+Q = 2(x-a)(x-b),$ $P+R = 2(x-a)(x-c),$ y $Q+R = 2(x-b)(x-c).$ Escriba $Q = x^2 + qx + 2$ y $R = x^2 + rx + s.$ Por las fórmulas de Vieta, las sumas de raíces son $a + b = \frac{3-q}{2},$ $a + c = \frac{3-r}{2},$ y $b + c = -\frac{q+r}{2},$ así que $\begin{aligned} 2a &= (a+b) + (a+c) - (b+c) \\ &= \frac{3-q}{2} + \frac{3-r}{2} \\ &\quad {}+ \frac{q+r}{2} = 3, \end{aligned}$ lo que da $a = \frac{3}{2}.$

El término constante de $P + Q$ es $-7 + 2 = -5,$ así que $2ab = -5$ y $b = -\frac{5}{3}.$ Además $2ac = P(0) + R(0) = s - 7$ y $2bc = Q(0) + R(0) = s + 2.$ Restando, $2c(b - a) = 9,$ de donde $c = \frac{9}{2\left(-\frac{5}{3} - \frac{3}{2}\right)} = -\frac{27}{19}.$

Entonces $s = 2bc - 2$ $= 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{27}{19}\right) - 2$ $= \frac{90}{19} - \frac{38}{19} = \frac{52}{19},$ así que $R(0) = \frac{52}{19}$ y $m + n = 52 + 19 = 71.$

Let $a$ be the common root of $P+Q$ and $P+R,$ let $b$ be that of $P+Q$ and $Q+R,$ and let $c$ be that of $P+R$ and $Q+R.$ Each sum is quadratic with leading coefficient $2,$ so $P+Q = 2(x-a)(x-b),$ $P+R = 2(x-a)(x-c),$ and $Q+R = 2(x-b)(x-c).$ Write $Q = x^2 + qx + 2$ and $R = x^2 + rx + s.$ By Vieta's formulas, the root sums are $a + b = \frac{3-q}{2},$ $a + c = \frac{3-r}{2},$ and $b + c = -\frac{q+r}{2},$ so $\begin{aligned} 2a &= (a+b) + (a+c) - (b+c) \\ &= \frac{3-q}{2} + \frac{3-r}{2} \\ &\quad {}+ \frac{q+r}{2} = 3, \end{aligned}$ giving $a = \frac{3}{2}.$

The constant term of $P + Q$ is $-7 + 2 = -5,$ so $2ab = -5$ and $b = -\frac{5}{3}.$ Also $2ac = P(0) + R(0) = s - 7$ and $2bc = Q(0) + R(0) = s + 2.$ Subtracting, $2c(b - a) = 9,$ so $c = \frac{9}{2\left(-\frac{5}{3} - \frac{3}{2}\right)} = -\frac{27}{19}.$

Then $s = 2bc - 2$ $= 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{27}{19}\right) - 2$ $= \frac{90}{19} - \frac{38}{19} = \frac{52}{19},$ so $R(0) = \frac{52}{19}$ and $m + n = 52 + 19 = 71.$

2020 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años