Question

El triángulo $ABC$ tiene lados $AB = 7,$ $BC = 8,$ y $CA = 9.$ El círculo $\omega_1$ pasa por $B$ y es tangente a la recta $AC$ en $A.$ El círculo $\omega_2$ pasa por $C$ y es tangente a la recta $AB$ en $A.$ Sea $K$ la intersección de los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ distinta de $A.$ Entonces $AK = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 7,$ $BC = 8,$ and $CA = 9.$ Circle $\omega_1$ passes through $B$ and is tangent to line $AC$ at $A.$ Circle $\omega_2$ passes through $C$ and is tangent to line $AB$ at $A.$ Let $K$ be the intersection of circles $\omega_1$ and $\omega_2$ not equal to $A.$ Then $AK = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Por el ángulo tangente-cuerda en $\omega_1$ (tangente $AC,$ cuerda $AK$ ), $\angle KAC = \angle KBA,$ y en $\omega_2$ (tangente $AB,$ cuerda $AK$ ), $\angle KAB = \angle KCA.$ Escriba $u = \angle KAC$ y $v = \angle KAB,$ de modo que $u + v = \angle A.$ Los triángulos $KAB$ y $KCA$ tienen entonces $\angle KAB = v = \angle KCA$ y $\angle KBA = u = \angle KAC,$ así que $\triangle KAB \sim \triangle KCA.$ Con $t = AK$ esto da $\frac{KB}{t} = \frac{t}{KC} = \frac{AB}{CA} = \frac{7}{9},$ por lo que $KB = \frac{7t}{9}$ y $KC = \frac{9t}{7}.$ Además $\angle AKB = \angle AKC$ $= 180^\circ - u - v$ $= 180^\circ - \angle A,$ así que $\angle BKC = 360^\circ - 2(180^\circ - \angle A)$ $= 2\angle A.$

Por la ley de cosenos en $ABC,$ $\cos A = \frac{49 + 81 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{11}{21},$ así que $\cos 2A = 2\left(\frac{11}{21}\right)^2 - 1 = -\frac{199}{441}.$ La ley de cosenos en el triángulo $BKC$ da $\begin{aligned} 64 &= \frac{49t^2}{81} + \frac{81t^2}{49} - 2t^2\cos 2A \\ &= t^2 \cdot \frac{2401 + 6561 + 3582}{3969} \\ &= \frac{12544\,t^2}{3969}, \end{aligned}$ por lo que $t^2 = \frac{64 \cdot 3969}{12544} = \frac{3969}{196}$ y $t = \frac{63}{14} = \frac{9}{2}.$

Por lo tanto $AK = \frac{9}{2}$ y $m + n = 9 + 2 = 11.$

By the tangent-chord angle in $\omega_1$ (tangent $AC,$ chord $AK$ ), $\angle KAC = \angle KBA,$ and in $\omega_2$ (tangent $AB,$ chord $AK$ ), $\angle KAB = \angle KCA.$ Write $u = \angle KAC$ and $v = \angle KAB,$ so $u + v = \angle A.$ Triangles $KAB$ and $KCA$ then have $\angle KAB = v = \angle KCA$ and $\angle KBA = u = \angle KAC,$ so $\triangle KAB \sim \triangle KCA.$ With $t = AK$ this gives $\frac{KB}{t} = \frac{t}{KC} = \frac{AB}{CA} = \frac{7}{9},$ so $KB = \frac{7t}{9}$ and $KC = \frac{9t}{7}.$ Also $\angle AKB = \angle AKC$ $= 180^\circ - u - v$ $= 180^\circ - \angle A,$ so $\angle BKC = 360^\circ - 2(180^\circ - \angle A)$ $= 2\angle A.$

From the law of cosines in $ABC,$ $\cos A = \frac{49 + 81 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{11}{21},$ so $\cos 2A = 2\left(\frac{11}{21}\right)^2 - 1 = -\frac{199}{441}.$ The law of cosines in triangle $BKC$ gives $\begin{aligned} 64 &= \frac{49t^2}{81} + \frac{81t^2}{49} - 2t^2\cos 2A \\ &= t^2 \cdot \frac{2401 + 6561 + 3582}{3969} \\ &= \frac{12544\,t^2}{3969}, \end{aligned}$ so $t^2 = \frac{64 \cdot 3969}{12544} = \frac{3969}{196}$ and $t = \frac{63}{14} = \frac{9}{2}.$

Hence $AK = \frac{9}{2}$ and $m + n = 9 + 2 = 11.$

2019 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años