Soluciones del 2019 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Dos puntos distintos,

C

y

D,

están en el mismo lado de la recta

AB

de modo que

\triangle ABC

y

\triangle BAD

son congruentes, con

AB = 9,

BC = AD = 10,

y

CA = DB = 17.

La intersección de estas dos regiones triangulares tiene área

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

Two different points,

C

and

D,

lie on the same side of line

AB

so that

\triangle ABC

and

\triangle BAD

are congruent with

AB = 9,

BC = AD = 10,

and

CA = DB = 17.

The intersection of these two triangular regions has area

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:geometría analítica congruencia (geometría)área del triángulo

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Coloque

A = (0, 0)

y

B = (9, 0)

y encuentre

C

y

D;

los dos triángulos son imágenes especulares respecto a la mediatriz de

\overline{AB}

Place

A = (0, 0)

and

B = (9, 0)

and find

C

and

D;

the two triangles are mirror images across the perpendicular bisector of

\overline{AB}

Pista grande:

El solapamiento es el triángulo de base

\overline{AB}

cuyo vértice es el punto donde se cruzan los segmentos

\overline{AC}

y

\overline{BD}

The overlap is the triangle with base

\overline{AB}

whose apex is the point where segments

\overline{AC}

and

\overline{BD}

cross

Solución:

Coloque

A = (0, 0)

y

B = (9, 0).

De

CA = 17

y

BC = 10,

resolviendo

x^2 + y^2 = 289

y

(x - 9)^2 + y^2 = 100

se obtiene

C = (15, 8).

La congruencia

\triangle ABC \cong \triangle BAD

intercambia

A

y

B,

así que

D

es la reflexión de

C

respecto a la recta

x = \frac{9}{2},

es decir

D = (-6, 8).

Un punto está en el triángulo

ABC

exactamente cuando está sobre o por encima de

\overline{AB},

del lado de

B

respecto a la recta

AC,

y del lado de

A

respecto a la recta

BC;

de manera análoga para el triángulo

BAD.

En el solapamiento las restricciones activas son

y \ge 0,

la recta

AC,

y la recta

BD,

así que la intersección es el triángulo de base

\overline{AB}

y vértice

E = AC \cap BD.

La recta

AC

es

y = \frac{8x}{15}

y la recta

BD

es

y = -\frac{8(x - 9)}{15},

que se cortan en

E = \left(\frac{9}{2}, \frac{12}{5}\right).

El área es

\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{12}{5} = \frac{54}{5},

así que

m + n = 54 + 5 = 59.

Place

A = (0, 0)

and

B = (9, 0).

From

CA = 17

and

BC = 10,

solving

x^2 + y^2 = 289

and

(x - 9)^2 + y^2 = 100

gives

C = (15, 8).

The congruence

\triangle ABC \cong \triangle BAD

swaps

A

and

B,

so

D

is the reflection of

C

across the line

x = \frac{9}{2},

namely

D = (-6, 8).

A point lies in triangle

ABC

exactly when it is on or above

\overline{AB},

on

B

’s side of line

AC,

and on

A

’s side of line

BC;

similarly for triangle

BAD.

In the overlap the binding constraints are

y \ge 0,

line

AC,

and line

BD,

so the intersection is the triangle with base

\overline{AB}

and apex

E = AC \cap BD.

Line

AC

is

y = \frac{8x}{15}

and line

BD

is

y = -\frac{8(x - 9)}{15},

which meet at

E = \left(\frac{9}{2}, \frac{12}{5}\right).

The area is

\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{12}{5} = \frac{54}{5},

so

m + n = 54 + 5 = 59.

2.

Los nenúfares

1,

2,

3,

\ldots

están en fila en un estanque. Una rana realiza una secuencia de saltos comenzando en el nenúfar

1.

Desde cualquier nenúfar

k

la rana salta al nenúfar

k + 1

o al nenúfar

k + 2

elegido al azar con probabilidad

\frac{1}{2}

e independientemente de los demás saltos. La probabilidad de que la rana visite el nenúfar

7

es

\frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. Halle

p + q.

Lily pads

1,

2,

3,

\ldots

lie in a row on a pond. A frog makes a sequence of jumps starting on pad

1.

From any pad

k

the frog jumps to either pad

k + 1

or pad

k + 2

chosen randomly with probability

\frac{1}{2}

and independently of other jumps. The probability that the frog visits pad

7

is

\frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. Find

p + q.

Respuesta

Conceptos:probabilidad recursiva recursión

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Sea

p_k

la probabilidad de que la rana llegue en algún momento al nenúfar

k;

la rana solo puede llegar allí desde el nenúfar

k - 1

o el nenúfar

k - 2

Let

p_k

be the probability that the frog ever lands on pad

k;

the frog can only arrive there from pad

k - 1

or pad

k - 2

Pista grande:

p_k = \frac{1}{2}p_{k-1} + \frac{1}{2}p_{k-2}

con

p_1 = 1

y

p_2 = \frac{1}{2};

itere hasta

k = 7

p_k = \frac{1}{2}p_{k-1} + \frac{1}{2}p_{k-2}

with

p_1 = 1

and

p_2 = \frac{1}{2};

iterate up to

k = 7

Solución:

Sea

p_k

la probabilidad de que la rana visite el nenúfar

k.

La rana cae en el nenúfar

k

exactamente de una de dos maneras disjuntas: visita el nenúfar

k - 1

y salta

+1

desde allí (si salta

+2,

el nenúfar

k

queda saltado para siempre), o se salta por completo el nenúfar

k - 1

, lo que requiere visitar el nenúfar

k - 2

y saltar

+2

desde él, cayendo en el nenúfar

k.

Por lo tanto

\begin{aligned} &p_k = \tfrac{1}{2}p_{k-1} + \tfrac{1}{2}p_{k-2}, \\ &\qquad p_1 = 1, \quad p_2 = \tfrac{1}{2}. \end{aligned}

Iterando:

p_3 = \frac{3}{4},

p_4 = \frac{5}{8},

p_5 = \frac{11}{16},

p_6 = \frac{21}{32},

y

p_7 = \frac{43}{64}.

Como

\gcd(43, 64) = 1,

la respuesta es

43 + 64 = 107.

Let

p_k

be the probability that the frog visits pad

k.

The frog lands on pad

k

in exactly one of two disjoint ways: it visits pad

k - 1

and jumps

+1

from there (if it jumps

+2,

pad

k

is skipped forever), or it skips pad

k - 1

entirely, which requires visiting pad

k - 2

and jumping

+2

from it, landing on pad

k.

Hence

\begin{aligned} &p_k = \tfrac{1}{2}p_{k-1} + \tfrac{1}{2}p_{k-2}, \\ &\qquad p_1 = 1, \quad p_2 = \tfrac{1}{2}. \end{aligned}

Iterating:

p_3 = \frac{3}{4},

p_4 = \frac{5}{8},

p_5 = \frac{11}{16},

p_6 = \frac{21}{32},

and

p_7 = \frac{43}{64}.

Since

\gcd(43, 64) = 1,

the answer is

43 + 64 = 107.

3.

Halle el número de

7

-tuplas de enteros positivos

(a, b, c, d, e, f, g)

que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:

abc = 70,

cde = 71,

efg = 72.

Find the number of

7

-tuples of positive integers

(a, b, c, d, e, f, g)

that satisfy the following system of equations:

abc = 70,

cde = 71,

efg = 72.

Respuesta

Conceptos:factorización en primos conteo de factores

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

71

es primo, y

c

debe dividir a

70

mientras que

e

debe dividir a

72

71

is prime, and

c

must divide

70

while

e

must divide

72

Pista grande:

Con

d = 71

y

c = e = 1,

cuente los pares ordenados con

ab = 70

y

fg = 72

usando el número de divisores

With

d = 71

and

c = e = 1,

count the ordered pairs with

ab = 70

and

fg = 72

using divisor counts

Solución:

Como

71

es primo, en

cde = 71

uno de los tres factores es

71

y los otros dos valen

1.

Pero

c

divide a

abc = 70

y

e

divide a

efg = 72,

y

71

no divide ni a

70

ni a

72.

Así que

c = e = 1

y

d = 71.

El sistema se reduce a

ab = 70

y

fg = 72.

Cada divisor

a

de

70

determina

b,

dando

\tau(70) = 8

pares ordenados, y de igual modo

\tau(72) = 12

pares ordenados

(f, g).

El total es

8 \cdot 12 = 96.

Since

71

is prime, in

cde = 71

one of the three factors is

71

and the other two equal

1.

But

c

divides

abc = 70

and

e

divides

efg = 72,

and

71

divides neither

70

nor

72.

So

c = e = 1

and

d = 71.

The system reduces to

ab = 70

and

fg = 72.

Each divisor

a

of

70

determines

b,

giving

\tau(70) = 8

ordered pairs, and likewise

\tau(72) = 12

ordered pairs

(f, g).

The total is

8 \cdot 12 = 96.

4.

Un dado justo estándar de seis caras se lanza cuatro veces. La probabilidad de que el producto de los cuatro números obtenidos sea un cuadrado perfecto es

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

A standard six-sided fair die is rolled four times. The probability that the product of all four numbers rolled is a perfect square is

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:dados (probabilidad)cuadrado perfecto paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

El producto es un cuadrado exactamente cuando cada uno de los primos

2,

3,

5

aparece con potencia par; solo los lanzamientos de

5

aportan el primo

5

The product is a square exactly when each of the primes

2,

3,

5

appears to an even power; only rolls of

5

contribute the prime

5

Pista grande:

Distinga casos según el número de

5

(debe ser par), luego siga las paridades de las cantidades de

2

,

3

y

6

entre los demás lanzamientos

Case on the number of

5

s (it must be even), then track the parities of the counts of

2

s,

3

s, and

6

s among the other rolls

Solución:

El producto es un cuadrado perfecto exactamente cuando cada uno de los primos

2,

3,

y

5

aparece con exponente par. Solo un lanzamiento de

5

aporta el primo

5,

así que la cantidad de

5

es par:

0,

2,

o

4.

Clasifique los demás valores según las paridades de sus exponentes de

2

y

3:

los lanzamientos de

1

y

4

aportan

(0, 0),

un

2

aporta

(1, 0),

un

3

aporta

(0, 1),

y un

6

aporta

(1, 1).

El exponente de

2

es par si y solo si la cantidad de

2

más la cantidad de

6

es par, y de manera análoga para los

3

y los

6

, así que una colección de lanzamientos que no son

5

funciona exactamente cuando las cantidades de

2

,

3

y

6

son todas pares o todas impares.

Sin ningún

5

, los cuatro lanzamientos provienen de

\{1, 2, 3, 4, 6\}.

Casos todos pares: sin

2

,

3

ni

6

da

2^4 = 16

secuencias (cada lanzamiento es

1

o

4

); exactamente dos de un mismo tipo da

3 \cdot \frac{4!}{2!\,2!} \cdot 2^2 = 72;

dos de cada uno de dos tipos da

3 \cdot \frac{4!}{2!\,2!} = 18;

cuatro de un tipo da

3.

Caso todos impares: un

2,

un

3,

un

6,

y un lanzamiento de

\{1, 4\}

da

4! \cdot 2 = 48.

Subtotal

16 + 72 + 18 + 3 + 48 = 157.

Con dos

5

, elija sus posiciones de

\binom{4}{2} = 6

maneras; los otros dos lanzamientos deben estar en la misma clase de paridad, dando

2^2 + 1 + 1 + 1 = 7

pares ordenados, para

42

secuencias. Con cuatro

5

hay

1

secuencia.

En total

157 + 42 + 1 = 200

de las

6^4 = 1296

secuencias funcionan, así que la probabilidad es

\frac{200}{1296} = \frac{25}{162},

y

m + n = 25 + 162 = 187.

The product is a perfect square exactly when each of the primes

2,

3,

and

5

appears with even exponent. Only a roll of

5

contributes the prime

5,

so the number of

5

s is even:

0,

2,

or

4.

Classify the other values by the parities of their exponents of

2

and

3:

rolls of

1

and

4

contribute

(0, 0),

a

2

contributes

(1, 0),

a

3

contributes

(0, 1),

and a

6

contributes

(1, 1).

The exponent of

2

is even iff the count of

2

s plus the count of

6

s is even, and similarly for

3

s and

6

s, so a collection of non-

5

rolls works exactly when the counts of

2

s,

3

s, and

6

s are all even or all odd.

With no

5

s, all four rolls come from

\{1, 2, 3, 4, 6\}.

All-even cases: no

2

s,

3

s, or

6

s gives

2^4 = 16

sequences (each roll is

1

or

4

); exactly two of a single kind gives

3 \cdot \frac{4!}{2!\,2!} \cdot 2^2 = 72;

two of each of two kinds gives

3 \cdot \frac{4!}{2!\,2!} = 18;

four of one kind gives

3.

All-odd case: one

2,

one

3,

one

6,

and one roll from

\{1, 4\}

gives

4! \cdot 2 = 48.

Subtotal

16 + 72 + 18 + 3 + 48 = 157.

With two

5

s, choose their positions in

\binom{4}{2} = 6

ways; the other two rolls must lie in the same parity class, giving

2^2 + 1 + 1 + 1 = 7

ordered pairs, for

42

sequences. With four

5

s there is

1

sequence.

In total

157 + 42 + 1 = 200

of the

6^4 = 1296

sequences work, so the probability is

\frac{200}{1296} = \frac{25}{162},

and

m + n = 25 + 162 = 187.

5.

Cuatro embajadores y un asesor para cada uno de ellos deben sentarse en una mesa redonda con

12

sillas numeradas en orden de

1

a

12.

Cada embajador debe sentarse en una silla de número par. Cada asesor debe sentarse en una silla adyacente a su embajador. Hay

N

maneras de sentar a las

8

personas en la mesa bajo estas condiciones. Halle el residuo cuando

N

se divide entre

1000.

Four ambassadors and one advisor for each of them are to be seated at a round table with

12

chairs numbered in order

1

to

12.

Each ambassador must sit in an even-numbered chair. Each advisor must sit in a chair adjacent to his or her ambassador. There are

N

ways for the

8

people to be seated at the table under these conditions. Find the remainder when

N

is divided by

1000.

Respuesta

Conceptos:arreglos circulares arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Las seis sillas pares forman un ciclo, y cada silla impar está entre dos sillas pares consecutivas; cada silla par ocupada debe elegir una de las dos sillas impares que la flanquean, sin repetir ninguna

The six even chairs form a cycle, and each odd chair sits between two consecutive even chairs; each occupied even chair must claim one of its two flanking odd chairs, all distinct

Pista grande:

Un bloque de

k

sillas pares ocupadas consecutivas tiene

k + 1

patrones de elección válidos; distinga casos según cómo las dos sillas pares vacías dividen el ciclo de seis

A block of

k

consecutive occupied even chairs has

k + 1

valid claim patterns; case on how the two empty even chairs split the cycle of six

Solución:

Las seis sillas pares forman un ciclo (la silla

12

es adyacente a la silla

1

), y cada silla impar está entre dos sillas pares consecutivas. Los embajadores ocupan

4

de las

6

sillas pares, y cada asesor debe tomar una de las dos sillas impares que flanquean a su embajador, con todas las elecciones distintas. Para un bloque maximal de

k

sillas pares ocupadas consecutivas, los

k

ocupantes eligen entre las

k + 1

sillas impares que tocan el bloque; registrando cada elección como izquierda o derecha, ocurre un conflicto exactamente cuando alguien elige derecha y su vecino elige izquierda, así que los patrones válidos son las cadenas de

L

seguidas de

R

:

k + 1

de ellos.

Ahora distinga casos según las dos sillas pares vacías entre las seis posiciones. Si son adyacentes (

6

maneras), las sillas ocupadas forman un bloque de

4,

dando

5

patrones. Si están separadas por una silla (

6

maneras), los bloques tienen tamaños

1

y

3,

dando

2 \cdot 4 = 8

patrones. Si son opuestas (

3

maneras), los bloques tienen tamaños

2

y

2,

dando

3 \cdot 3 = 9

patrones. El número de configuraciones de asientos es

6 \cdot 5 + 6 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 105.

Finalmente, los cuatro pares embajador-asesor pueden asignarse a las cuatro sillas pares elegidas de

4! = 24

maneras, así que

N = 105 \cdot 24 = 2520,

y el residuo módulo

1000

es

520.

The six even chairs form a cycle (chair

12

is adjacent to chair

1

), and each odd chair lies between two consecutive even chairs. The ambassadors occupy

4

of the

6

even chairs, and each advisor must take one of the two odd chairs flanking their ambassador, with all choices distinct. For a maximal block of

k

consecutive occupied even chairs, the

k

occupants choose among the

k + 1

odd chairs touching the block; recording each choice as left or right, a conflict occurs exactly when someone picks right and their neighbor picks left, so the valid patterns are the strings of

L

s followed by

R

s:

k + 1

of them.

Now case on the two empty even chairs among the six positions. If they are adjacent (

6

ways), the occupied chairs form one block of

4,

giving

5

patterns. If they are separated by one chair (

6

ways), the blocks have sizes

1

and

3,

giving

2 \cdot 4 = 8

patterns. If they are opposite (

3

ways), the blocks have sizes

2

and

2,

giving

3 \cdot 3 = 9

patterns. The number of seat configurations is

6 \cdot 5 + 6 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 105.

Finally, the four ambassador-advisor pairs can be assigned to the four chosen even chairs in

4! = 24

ways, so

N = 105 \cdot 24 = 2520,

and the remainder modulo

1000

is

520.

6.

En una civilización marciana, se supone que todos los logaritmos cuyas bases no están especificadas tienen base

b,

para cierto valor fijo

b \ge 2.

Un estudiante marciano escribe

3\log(\sqrt{x}\log x) = 56

\log_{\log x}(x) = 54

y descubre que este sistema de ecuaciones tiene una única solución real

x \gt 1.

Halle

b.

In a Martian civilization, all logarithms whose bases are not specified are assumed to be base

b,

for some fixed

b \ge 2.

A Martian student writes down

3\log(\sqrt{x}\log x) = 56

\log_{\log x}(x) = 54

and finds that this system of equations has a single real number solution

x \gt 1.

Find

b.

Respuesta

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Sea

y = \log_b x;

por la fórmula de cambio de base, la segunda ecuación dice

\log_b y = \frac{y}{54}

Let

y = \log_b x;

by the change-of-base formula the second equation says

\log_b y = \frac{y}{54}

Pista grande:

La primera ecuación se convierte en

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3};

sustituya

\log_b y = \frac{y}{54}

y despeje

y

The first equation becomes

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3};

substitute

\log_b y = \frac{y}{54}

and solve for

y

Solución:

Sea

y = \log_b x.

Por la fórmula de cambio de base,

\begin{aligned} \log_{\log x}(x) &= \frac{\log_b x}{\log_b(\log_b x)} \\ &= \frac{y}{\log_b y} = 54, \end{aligned}

así que

\log_b y = \frac{y}{54}.

La primera ecuación dice

3\left(\frac{1}{2}\log_b x + \log_b(\log_b x)\right) = 56,

es decir,

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}.

Sustituyendo

\log_b y = \frac{y}{54}

se obtiene

\frac{y}{2} + \frac{y}{54} = \frac{56}{3},

así que

\frac{28y}{54} = \frac{56}{3}

y

y = 36.

Entonces

\log_b 36 = \frac{36}{54} = \frac{2}{3},

por lo que

b^{\frac{2}{3}} = 36

y

b = 36^{\frac{3}{2}} = 216.

Let

y = \log_b x.

By the change-of-base formula,

\begin{aligned} \log_{\log x}(x) &= \frac{\log_b x}{\log_b(\log_b x)} \\ &= \frac{y}{\log_b y} = 54, \end{aligned}

so

\log_b y = \frac{y}{54}.

The first equation says

3\left(\frac{1}{2}\log_b x + \log_b(\log_b x)\right) = 56,

that is,

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}.

Substituting

\log_b y = \frac{y}{54}

gives

\frac{y}{2} + \frac{y}{54} = \frac{56}{3},

so

\frac{28y}{54} = \frac{56}{3}

and

y = 36.

Then

\log_b 36 = \frac{36}{54} = \frac{2}{3},

so

b^{\frac{2}{3}} = 36

and

b = 36^{\frac{3}{2}} = 216.

7.

El triángulo

ABC

tiene lados

AB = 120,

BC = 220,

y

AC = 180.

Se trazan las rectas

\ell_A,

\ell_B,

y

\ell_C

paralelas a

\overline{BC},

\overline{AC},

y

\overline{AB},

respectivamente, de modo que las intersecciones de

\ell_A,

\ell_B,

y

\ell_C

con el interior de

\triangle ABC

son segmentos de longitudes

55,

45,

y

15,

respectivamente. Halle el perímetro del triángulo cuyos lados están sobre las rectas

\ell_A,

\ell_B,

y

\ell_C.

Triangle

ABC

has side lengths

AB = 120,

BC = 220,

and

AC = 180.

Lines

\ell_A,

\ell_B,

and

\ell_C

are drawn parallel to

\overline{BC},

\overline{AC},

and

\overline{AB},

respectively, such that the intersections of

\ell_A,

\ell_B,

and

\ell_C

with the interior of

\triangle ABC

are segments of lengths

55,

45,

and

15,

respectively. Find the perimeter of the triangle whose sides lie on lines

\ell_A,

\ell_B,

and

\ell_C.

Respuesta

Conceptos:semejanza rectas paralelas

Nivel de dificultad: 2790

Pista pequeña:

Cada cuerda recorta un triángulo semejante a

ABC:

las razones son

\frac{55}{220},

\frac{45}{180},

y

\frac{15}{120}

Each chord cuts off a triangle similar to

ABC:

the ratios are

\frac{55}{220},

\frac{45}{180},

and

\frac{15}{120}

Pista grande:

Mida las distancias a los lados como fracciones de las alturas, que suman

1;

las rectas se ubican en los niveles

\frac34,

\frac34,

\frac78

Measure distances to the sides as fractions of the altitudes, which sum to

1;

the lines sit at levels

\frac34,

\frac34,

\frac78

Solución:

Para un punto

P,

sea

\alpha

la distancia de

P

a la recta

BC

dividida entre la longitud de la altura desde

A,

y defina

\beta

(a

CA

) y

\gamma

(a

AB

) de manera análoga; entonces

\alpha + \beta + \gamma = 1

para los puntos interiores, ya que

[PBC] + [PCA]

+ [PAB] = [ABC].

Una cuerda paralela a

\overline{BC}

en el nivel

\alpha

recorta en

A

un triángulo semejante a

ABC

con razón

1 - \alpha,

así que su longitud es

220(1 - \alpha).

La cuerda de longitud

55

da

1 - \alpha = \frac{1}{4},

por lo que

\ell_A

es la recta

\alpha = \frac{3}{4};

de manera análoga

45 = 180(1 - \beta)

ubica

\ell_B

en

\beta = \frac{3}{4},

y

15 = 120(1 - \gamma)

ubica

\ell_C

en

\gamma = \frac{7}{8}.

A lo largo de cualquier recta paralela a

\overline{BC},

la coordenada

\beta

varía linealmente, y sobre la cuerda en el nivel

\alpha

dentro del triángulo,

\beta

recorre un intervalo de longitud

1 - \alpha

mientras que la cuerda tiene longitud

220(1 - \alpha);

por lo tanto un segmento paralelo a

\overline{BC}

cuyos extremos difieren en

\Delta\beta

tiene longitud

220\,|\Delta\beta|.

El lado del nuevo triángulo sobre

\ell_A

va desde

\ell_A \cap \ell_B,

donde

\beta = \frac{3}{4},

hasta

\ell_A \cap \ell_C,

donde

\beta = 1 - \frac{3}{4} - \frac{7}{8} = -\frac{5}{8}.

Su longitud es

220\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{8}\right) = 220 \cdot \frac{11}{8}.

Como las tres rectas son paralelas a los lados de

ABC,

el triángulo que delimitan es semejante a

ABC,

aquí con razón

\frac{11}{8}.

Su perímetro es

\frac{11}{8}(120 + 220 + 180)

= \frac{11}{8} \cdot 520 = 715.

For a point

P,

let

\alpha

be the distance from

P

to line

BC

divided by the length of the altitude from

A,

and define

\beta

(to

CA

) and

\gamma

(to

AB

) similarly; then

\alpha + \beta + \gamma = 1

for points inside, since

[PBC] + [PCA]

+ [PAB] = [ABC].

A chord parallel to

\overline{BC}

at level

\alpha

cuts off a triangle at

A

similar to

ABC

with ratio

1 - \alpha,

so its length is

220(1 - \alpha).

The chord of length

55

gives

1 - \alpha = \frac{1}{4},

so

\ell_A

is the line

\alpha = \frac{3}{4};

similarly

45 = 180(1 - \beta)

puts

\ell_B

at

\beta = \frac{3}{4},

and

15 = 120(1 - \gamma)

puts

\ell_C

at

\gamma = \frac{7}{8}.

Along any line parallel to

\overline{BC},

the coordinate

\beta

varies linearly, and on the chord at level

\alpha

inside the triangle,

\beta

runs over an interval of length

1 - \alpha

while the chord has length

220(1 - \alpha);

hence a segment parallel to

\overline{BC}

with endpoints differing by

\Delta\beta

has length

220\,|\Delta\beta|.

The side of the new triangle on

\ell_A

runs from

\ell_A \cap \ell_B,

where

\beta = \frac{3}{4},

to

\ell_A \cap \ell_C,

where

\beta = 1 - \frac{3}{4} - \frac{7}{8} = -\frac{5}{8}.

Its length is

220\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{8}\right) = 220 \cdot \frac{11}{8}.

Since the three lines are parallel to the sides of

ABC,

the triangle they bound is similar to

ABC,

here with ratio

\frac{11}{8}.

Its perimeter is

\frac{11}{8}(120 + 220 + 180)

= \frac{11}{8} \cdot 520 = 715.

8.

El polinomio

f(z) = az^{2018} + bz^{2017} + cz^{2016}

tiene coeficientes reales que no superan

2019,

y

f\left(\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}\right) = 2015 + 2019\sqrt{3}i.

Halle el residuo cuando

f(1)

se divide entre

1000.

The polynomial

f(z) = az^{2018} + bz^{2017} + cz^{2016}

has real coefficients not exceeding

2019,

and

f\left(\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}\right) = 2015 + 2019\sqrt{3}i.

Find the remainder when

f(1)

is divided by

1000.

Respuesta

Conceptos:raíces de la unidad número complejo polinomio

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}

es una raíz sexta primitiva de la unidad, y

2016

es múltiplo de

6

\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}

is a primitive sixth root of unity, and

2016

is a multiple of

6

Pista grande:

Igualar las partes imaginarias da

a + b = 4038;

la cota sobre los coeficientes fuerza entonces ambos valores

Matching imaginary parts gives

a + b = 4038;

the bound on the coefficients then forces both values

Solución:

Sea

\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos 60^\circ + i\sin 60^\circ,

una raíz sexta primitiva de la unidad. Como

2016 = 6 \cdot 336,

obtenemos

\omega^{2016} = 1,

\omega^{2017} = \omega,

y

\omega^{2018} = \omega^2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}.

Por lo tanto

\begin{aligned} f(\omega) &= a\omega^2 + b\omega + c \\ &= \left(c + \frac{b - a}{2}\right) \\ &\quad {}+ \frac{(a + b)\sqrt{3}}{2}\,i. \end{aligned}

Igualando las partes imaginarias,

\frac{a + b}{2} = 2019,

así que

a + b = 4038.

Como

a \le 2019

y

b \le 2019,

esto obliga a

a = b = 2019.

Igualando luego las partes reales, se obtiene

c + 0 = 2015,

por lo que

c = 2015.

Por lo tanto

f(1) = a + b + c

= 4038 + 2015 = 6053,

cuyo residuo al dividir entre

1000

es

53.

Let

\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos 60^\circ + i\sin 60^\circ,

a primitive sixth root of unity. Since

2016 = 6 \cdot 336,

we get

\omega^{2016} = 1,

\omega^{2017} = \omega,

and

\omega^{2018} = \omega^2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}.

Therefore

\begin{aligned} f(\omega) &= a\omega^2 + b\omega + c \\ &= \left(c + \frac{b - a}{2}\right) \\ &\quad {}+ \frac{(a + b)\sqrt{3}}{2}\,i. \end{aligned}

Matching imaginary parts,

\frac{a + b}{2} = 2019,

so

a + b = 4038.

Since

a \le 2019

and

b \le 2019,

this forces

a = b = 2019.

Matching real parts then gives

c + 0 = 2015,

so

c = 2015.

Hence

f(1) = a + b + c

= 4038 + 2015 = 6053,

whose remainder upon division by

1000

is

53.

9.

Diga que un entero positivo

n

es $k$ -bonito si

n

tiene exactamente

k

divisores positivos y

n

es divisible por

k.

Por ejemplo,

18

es

6

-bonito. Sea

S

la suma de los enteros positivos menores que

2019

que son

20

-bonitos. Halle

\frac{S}{20}.

Call a positive integer

n

$k$ -pretty if

n

has exactly

k

positive divisors and

n

is divisible by

k.

For example,

18

is

6

-pretty. Let

S

be the sum of the positive integers less than

2019

that are

20

-pretty. Find

\frac{S}{20}.

Respuesta

Conceptos:conteo de factores factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Escriba

n = 2^a 5^b m

con

\gcd(m, 10) = 1;

la divisibilidad por

20

fuerza

a \ge 2

y

b \ge 1

Write

n = 2^a 5^b m

with

\gcd(m, 10) = 1;

divisibility by

20

forces

a \ge 2

and

b \ge 1

Pista grande:

Entonces

(a+1)(b+1)\tau(m) = 20

con

a + 1 \ge 3

y

b + 1 \ge 2;

verifique qué factorizaciones mantienen

n \lt 2019

Then

(a+1)(b+1)\tau(m) = 20

with

a + 1 \ge 3

and

b + 1 \ge 2;

check which factorizations keep

n \lt 2019

Solución:

Necesitamos que

n

sea múltiplo de

20

y

\tau(n) = 20.

Escriba

n = 2^a 5^b m

con

\gcd(m, 10) = 1;

entonces

a \ge 2,

b \ge 1,

y

(a + 1)(b + 1)\tau(m) = 20

con

a + 1 \ge 3

y

b + 1 \ge 2.

El factor

a + 1

debe ser un divisor de

20

que sea al menos

3:

uno de

4,

5,

10,

20.

Si

a + 1 = 4,

entonces

(b + 1)\tau(m) = 5

fuerza

b = 4,

m = 1,

así que

n = 2^3 5^4 = 5000,

demasiado grande. Si

a + 1 = 10,

entonces

b = 1,

m = 1,

y

n = 2^9 \cdot 5 = 2560,

demasiado grande. El caso

a + 1 = 20

es imposible porque

b + 1 \ge 2.

Si

a + 1 = 5,

entonces

(b + 1)\tau(m) = 4,

dando o bien

b = 3,

m = 1,

así que

n = 2^4 5^3 = 2000 \lt 2019,

o bien

b = 1

y

\tau(m) = 2,

de modo que

m = p

es un primo distinto de

2

y

5

y

n = 80p \lt 2019,

es decir

p \le 25:

p \in \{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}.

Por lo tanto

\begin{aligned} S &= 2000 + 80(3 + 7 + 11 + 13 \\ &\qquad {}+ 17 + 19 + 23) \\ &= 2000 + 80 \cdot 93 \\ &= 9440, \end{aligned}

así que

\frac{S}{20} = 472.

We need

n

to be a multiple of

20

and

\tau(n) = 20.

Write

n = 2^a 5^b m

with

\gcd(m, 10) = 1;

then

a \ge 2,

b \ge 1,

and

(a + 1)(b + 1)\tau(m) = 20

with

a + 1 \ge 3

and

b + 1 \ge 2.

The factor

a + 1

must be a divisor of

20

that is at least

3:

one of

4,

5,

10,

20.

If

a + 1 = 4,

then

(b + 1)\tau(m) = 5

forces

b = 4,

m = 1,

so

n = 2^3 5^4 = 5000,

too large. If

a + 1 = 10,

then

b = 1,

m = 1,

and

n = 2^9 \cdot 5 = 2560,

too large. The case

a + 1 = 20

is impossible because

b + 1 \ge 2.

If

a + 1 = 5,

then

(b + 1)\tau(m) = 4,

giving either

b = 3,

m = 1,

so

n = 2^4 5^3 = 2000 \lt 2019,

or

b = 1

and

\tau(m) = 2,

so

m = p

is a prime other than

2

and

5

and

n = 80p \lt 2019,

i.e.

p \le 25:

p \in \{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}.

Therefore

\begin{aligned} S &= 2000 + 80(3 + 7 + 11 + 13 \\ &\qquad {}+ 17 + 19 + 23) \\ &= 2000 + 80 \cdot 93 \\ &= 9440, \end{aligned}

and

\frac{S}{20} = 472.

10.

Existe un único ángulo

\theta

entre

0^\circ

y

90^\circ

tal que, para los enteros no negativos

n,

el valor de

\tan(2^n\theta)

es positivo cuando

n

es múltiplo de

3,

y negativo en caso contrario. La medida en grados de

\theta

es

\frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. Halle

p + q.

There is a unique angle

\theta

between

0^\circ

and

90^\circ

such that for nonnegative integers

n,

the value of

\tan(2^n\theta)

is positive when

n

is a multiple of

3,

and negative otherwise. The degree measure of

\theta

is

\frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. Find

p + q.

Respuesta

Conceptos:trigonometría aritmética modular

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Trabaje módulo

180^\circ:

la tangente es positiva para ángulos en

(0^\circ, 90^\circ)

y negativa para ángulos en

(90^\circ, 180^\circ)

Work modulo

180^\circ:

the tangent is positive for angles in

(0^\circ, 90^\circ)

and negative for angles in

(90^\circ, 180^\circ)

Pista grande:

Si

\theta

funciona, la reducción de

8\theta

también funciona (el mismo patrón de signos desplazado tres lugares), así que la unicidad fuerza

8\theta \equiv \theta \pmod{180^\circ}

If

\theta

works, the reduction of

8\theta

works too (same sign pattern shifted by three), so uniqueness forces

8\theta \equiv \theta \pmod{180^\circ}

Solución:

Como

\tan

tiene período

180^\circ,

solo importa

2^n\theta \bmod 180^\circ

: la tangente es positiva en

(0^\circ, 90^\circ)

y negativa en

(90^\circ, 180^\circ).

Suponga que

\theta

satisface la condición, y sea

\theta'

la reducción de

8\theta

módulo

180^\circ;

como

\tan(8\theta) \gt 0,

tenemos

\theta' \in (0^\circ, 90^\circ).

Para todo

n,

2^n\theta' \equiv 2^{n+3}\theta \pmod{180^\circ},

y el patrón de signos para los exponentes

n + 3

es el mismo que para

n,

así que

\theta'

también satisface la condición. Por unicidad,

\theta' = \theta,

de modo que

7\theta \equiv 0 \pmod{180^\circ}

y

\theta = \frac{180k}{7}

grados para algún

k \in \{1, 2, 3\}.

Pruebe cada uno: para

k = 1,

2\theta = \frac{360^\circ}{7} \approx 51.4^\circ

tiene tangente positiva, falla. Para

k = 2,

4\theta = \frac{1440^\circ}{7} \equiv \frac{180^\circ}{7} \approx 25.7^\circ

tiene tangente positiva, falla. Para

k = 3,

\theta = \frac{540^\circ}{7} \approx 77.1^\circ:

entonces

2\theta \approx 154.3^\circ

y

4\theta \equiv 128.6^\circ

están ambos en

(90^\circ, 180^\circ),

y

8\theta \equiv \theta,

así que el patrón positivo, negativo, negativo se repite para siempre.

Así

\theta = \frac{540}{7}

grados, y

p + q = 540 + 7 = 547.

Since

\tan

has period

180^\circ,

only

2^n\theta \bmod 180^\circ

matters: the tangent is positive on

(0^\circ, 90^\circ)

and negative on

(90^\circ, 180^\circ).

Suppose

\theta

satisfies the condition, and let

\theta'

be the reduction of

8\theta

modulo

180^\circ;

since

\tan(8\theta) \gt 0,

we have

\theta' \in (0^\circ, 90^\circ).

For every

n,

2^n\theta' \equiv 2^{n+3}\theta \pmod{180^\circ},

and the sign pattern for the exponents

n + 3

is the same as for

n,

so

\theta'

also satisfies the condition. By uniqueness,

\theta' = \theta,

so

7\theta \equiv 0 \pmod{180^\circ}

and

\theta = \frac{180k}{7}

degrees for some

k \in \{1, 2, 3\}.

Test each: for

k = 1,

2\theta = \frac{360^\circ}{7} \approx 51.4^\circ

has positive tangent — fails. For

k = 2,

4\theta = \frac{1440^\circ}{7} \equiv \frac{180^\circ}{7} \approx 25.7^\circ

has positive tangent — fails. For

k = 3,

\theta = \frac{540^\circ}{7} \approx 77.1^\circ:

then

2\theta \approx 154.3^\circ

and

4\theta \equiv 128.6^\circ

are both in

(90^\circ, 180^\circ),

and

8\theta \equiv \theta,

so the pattern positive, negative, negative repeats forever.

Thus

\theta = \frac{540}{7}

degrees, and

p + q = 540 + 7 = 547.

11.

El triángulo

ABC

tiene lados

AB = 7,

BC = 8,

y

CA = 9.

El círculo

\omega_1

pasa por

B

y es tangente a la recta

AC

en

A.

El círculo

\omega_2

pasa por

C

y es tangente a la recta

AB

en

A.

Sea

K

la intersección de los círculos

\omega_1

y

\omega_2

distinta de

A.

Entonces

AK = \frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

Triangle

ABC

has side lengths

AB = 7,

BC = 8,

and

CA = 9.

Circle

\omega_1

passes through

B

and is tangent to line

AC

at

A.

Circle

\omega_2

passes through

C

and is tangent to line

AB

at

A.

Let

K

be the intersection of circles

\omega_1

and

\omega_2

not equal to

A.

Then

AK = \frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:recta tangente semejanza ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Use el ángulo semiinscrito (tangente-cuerda) en cada círculo:

\angle KAC = \angle KBA

y

\angle KAB = \angle KCA

Use the tangent-chord angle in each circle:

\angle KAC = \angle KBA

and

\angle KAB = \angle KCA

Pista grande:

Esos ángulos iguales hacen semejantes los triángulos

KAB

y

KCA

y dan

\angle BKC = 2\angle A;

aplique la ley de cosenos en el triángulo

BKC

Those equal angles make triangles

KAB

and

KCA

similar and give

\angle BKC = 2\angle A;

apply the law of cosines in triangle

BKC

Solución:

Por el ángulo tangente-cuerda en

\omega_1

(tangente

AC,

cuerda

AK

),

\angle KAC = \angle KBA,

y en

\omega_2

(tangente

AB,

cuerda

AK

),

\angle KAB = \angle KCA.

Escriba

u = \angle KAC

y

v = \angle KAB,

de modo que

u + v = \angle A.

Los triángulos

KAB

y

KCA

tienen entonces

\angle KAB = v = \angle KCA

y

\angle KBA = u = \angle KAC,

así que

\triangle KAB \sim \triangle KCA.

Con

t = AK

esto da

\frac{KB}{t} = \frac{t}{KC} = \frac{AB}{CA} = \frac{7}{9},

por lo que

KB = \frac{7t}{9}

y

KC = \frac{9t}{7}.

Además

\angle AKB = \angle AKC

= 180^\circ - u - v

= 180^\circ - \angle A,

así que

\angle BKC = 360^\circ - 2(180^\circ - \angle A)

= 2\angle A.

Por la ley de cosenos en

ABC,

\cos A = \frac{49 + 81 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{11}{21},

así que

\cos 2A = 2\left(\frac{11}{21}\right)^2 - 1 = -\frac{199}{441}.

La ley de cosenos en el triángulo

BKC

da

\begin{aligned} 64 &= \frac{49t^2}{81} + \frac{81t^2}{49} - 2t^2\cos 2A \\ &= t^2 \cdot \frac{2401 + 6561 + 3582}{3969} \\ &= \frac{12544\,t^2}{3969}, \end{aligned}

por lo que

t^2 = \frac{64 \cdot 3969}{12544} = \frac{3969}{196}

y

t = \frac{63}{14} = \frac{9}{2}.

Por lo tanto

AK = \frac{9}{2}

y

m + n = 9 + 2 = 11.

By the tangent-chord angle in

\omega_1

(tangent

AC,

chord

AK

),

\angle KAC = \angle KBA,

and in

\omega_2

(tangent

AB,

chord

AK

),

\angle KAB = \angle KCA.

Write

u = \angle KAC

and

v = \angle KAB,

so

u + v = \angle A.

Triangles

KAB

and

KCA

then have

\angle KAB = v = \angle KCA

and

\angle KBA = u = \angle KAC,

so

\triangle KAB \sim \triangle KCA.

With

t = AK

this gives

\frac{KB}{t} = \frac{t}{KC} = \frac{AB}{CA} = \frac{7}{9},

so

KB = \frac{7t}{9}

and

KC = \frac{9t}{7}.

Also

\angle AKB = \angle AKC

= 180^\circ - u - v

= 180^\circ - \angle A,

so

\angle BKC = 360^\circ - 2(180^\circ - \angle A)

= 2\angle A.

From the law of cosines in

ABC,

\cos A = \frac{49 + 81 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{11}{21},

so

\cos 2A = 2\left(\frac{11}{21}\right)^2 - 1 = -\frac{199}{441}.

The law of cosines in triangle

BKC

gives

\begin{aligned} 64 &= \frac{49t^2}{81} + \frac{81t^2}{49} - 2t^2\cos 2A \\ &= t^2 \cdot \frac{2401 + 6561 + 3582}{3969} \\ &= \frac{12544\,t^2}{3969}, \end{aligned}

so

t^2 = \frac{64 \cdot 3969}{12544} = \frac{3969}{196}

and

t = \frac{63}{14} = \frac{9}{2}.

Hence

AK = \frac{9}{2}

and

m + n = 9 + 2 = 11.

12.

Para

n \ge 1

diga que una sucesión finita

(a_1, a_2, \ldots, a_n)

de enteros positivos es progresiva si

a_i \lt a_{i+1}

y

a_i

divide a

a_{i+1}

para

1 \le i \le n - 1.

Halle el número de sucesiones progresivas tales que la suma de los términos de la sucesión sea igual a

360.

For

n \ge 1

call a finite sequence

(a_1, a_2, \ldots, a_n)

of positive integers progressive if

a_i \lt a_{i+1}

and

a_i

divides

a_{i+1}

for

1 \le i \le n - 1.

Find the number of progressive sequences such that the sum of the terms in the sequence is equal to

360.

Respuesta

Conceptos:conteo recursivo divisibilidad

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Cada término es múltiplo del primer término, así que

a_1

divide a

360;

divídalo para obtener una sucesión progresiva más corta con primer término al menos

2

Every term is a multiple of the first term, so

a_1

divides

360;

divide it out to get a shorter progressive sequence with first term at least

2

Pista grande:

Sea

g(s)

el número de sucesiones progresivas con suma

s

y primer término al menos

2;

entonces

g(s) = 1 + \sum g(\frac{s}{e} - 1)

sobre los divisores

e

de

s

con

2 \le e \lt s

Let

g(s)

count progressive sequences with sum

s

and first term at least

2;

then

g(s) = 1 + \sum g(\frac{s}{e} - 1)

over divisors

e

of

s

with

2 \le e \lt s

Solución:

La divisibilidad es transitiva, así que cada término de una sucesión progresiva es múltiplo del primer término. Si una sucesión con suma

360

tiene longitud al menos

2

y primer término

d,

entonces

d

divide a

360,

y dividir los términos restantes entre

d

produce una sucesión progresiva con primer término al menos

2

y suma

\frac{360 - d}{d} = \frac{360}{d} - 1;

esta correspondencia es reversible. Por lo tanto, si

g(s)

denota el número de sucesiones progresivas con suma

s

y primer término al menos

2,

la respuesta es

1 + \sum_{d \mid 360,\, d \lt 360} g\!\left(\frac{360}{d} - 1\right),

donde el

1

inicial cuenta la sucesión

(360).

La misma reducción da la recursión

\begin{aligned} g(s) &= 1 + \sum_{\substack{e \mid s \\ 2 \le e \lt s}} g\!\left(\frac{s}{e} - 1\right) \\ &\qquad (s \ge 2), \end{aligned}

con

g(1) = 0;

en particular

g(s) = 1

cuando

s

es primo. Calculando en orden creciente:

g(2) = g(3) = g(4)

= g(5) = g(7) = 1;

g(6) = 1 + g(2) = 2;

g(8) = 1 + g(3) = 2;

g(9) = 1 + g(2) = 2;

g(10) = 1 + g(4) = 2;

g(12) = 1 + g(5) + g(3) + g(2)

= 4;

g(14) = 1 + g(6) = 3;

g(16) = 1 + g(7) + g(3) = 3;

g(21) = 1 + g(6) + g(2) = 4;

g(35) = 1 + g(6) + g(4) = 4;

g(39) = 1 + g(12) + g(2) = 6;

g(44) = 1 + g(21) + g(10)

+ g(3) = 8;

g(119) = 1 + g(16) + g(6) = 6.

Los

23

divisores

d \lt 360

dan los argumentos

\frac{360}{d} - 1 = 359,

179,

119,

89,

71,

59,

44,

39,

35,

29,

23,

19,

17,

14,

11,

9,

8,

7,

5,

4,

3,

2,

1,

cuyos valores de

g

son

1, 1, 6, 1,

1, 1, 8, 6,

4, 1, 1, 1,

1, 3, 1, 2,

2, 1, 1, 1,

1, 1, 0,

que suman

46.

Sumando la sucesión de un solo término se obtiene

46 + 1 = 47.

Divisibility is transitive, so every term of a progressive sequence is a multiple of the first term. If a sequence with sum

360

has length at least

2

and first term

d,

then

d

divides

360,

and dividing the remaining terms by

d

yields a progressive sequence with first term at least

2

and sum

\frac{360 - d}{d} = \frac{360}{d} - 1;

this correspondence is reversible. So if

g(s)

denotes the number of progressive sequences with sum

s

and first term at least

2,

the answer is

1 + \sum_{d \mid 360,\, d \lt 360} g\!\left(\frac{360}{d} - 1\right),

the leading

1

counting the sequence

(360).

The same reduction gives the recursion

\begin{aligned} g(s) &= 1 + \sum_{\substack{e \mid s \\ 2 \le e \lt s}} g\!\left(\frac{s}{e} - 1\right) \\ &\qquad (s \ge 2), \end{aligned}

with

g(1) = 0;

in particular

g(s) = 1

when

s

is prime. Working upward:

g(2) = g(3) = g(4)

= g(5) = g(7) = 1;

g(6) = 1 + g(2) = 2;

g(8) = 1 + g(3) = 2;

g(9) = 1 + g(2) = 2;

g(10) = 1 + g(4) = 2;

g(12) = 1 + g(5) + g(3) + g(2)

= 4;

g(14) = 1 + g(6) = 3;

g(16) = 1 + g(7) + g(3) = 3;

g(21) = 1 + g(6) + g(2) = 4;

g(35) = 1 + g(6) + g(4) = 4;

g(39) = 1 + g(12) + g(2) = 6;

g(44) = 1 + g(21) + g(10)

+ g(3) = 8;

g(119) = 1 + g(16) + g(6) = 6.

The

23

divisors

d \lt 360

give arguments

\frac{360}{d} - 1 = 359,

179,

119,

89,

71,

59,

44,

39,

35,

29,

23,

19,

17,

14,

11,

9,

8,

7,

5,

4,

3,

2,

1,

whose

g

-values are

1, 1, 6, 1,

1, 1, 8, 6,

4, 1, 1, 1,

1, 3, 1, 2,

2, 1, 1, 1,

1, 1, 0,

summing to

46.

Adding the single-term sequence gives

46 + 1 = 47.

13.

El octágono regular

A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8

está inscrito en un círculo de área

1.

El punto

P

está dentro del círculo de modo que la región limitada por

\overline{PA_1},

\overline{PA_2},

y el arco menor

\overset{\frown}{A_1A_2}

del círculo tiene área

\frac{1}{7},

mientras que la región limitada por

\overline{PA_3},

\overline{PA_4},

y el arco menor

\overset{\frown}{A_3A_4}

del círculo tiene área

\frac{1}{9}.

Existe un entero positivo

n

tal que el área de la región limitada por

\overline{PA_6},

\overline{PA_7},

y el arco menor

\overset{\frown}{A_6A_7}

del círculo es igual a

\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{n}.

Halle

n.

Regular octagon

A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8

is inscribed in a circle of area

1.

Point

P

lies inside the circle so that the region bounded by

\overline{PA_1},

\overline{PA_2},

and the minor arc

\overset{\frown}{A_1A_2}

of the circle has area

\frac{1}{7},

while the region bounded by

\overline{PA_3},

\overline{PA_4},

and the minor arc

\overset{\frown}{A_3A_4}

of the circle has area

\frac{1}{9}.

There is a positive integer

n

such that the area of the region bounded by

\overline{PA_6},

\overline{PA_7},

and the minor arc

\overset{\frown}{A_6A_7}

of the circle is equal to

\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{n}.

Find

n.

Respuesta

Conceptos:polígono regular sector circular vector

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Cada región es el segmento circular más el triángulo

PA_iA_{i+1};

su área es

\frac18

menos una constante por la componente de

P

a lo largo de la normal unitaria exterior de ese lado

Each region is the circular segment plus triangle

PA_iA_{i+1};

its area is

\frac18

minus a constant times the component of

P

along that side’s outward unit normal

Pista grande:

El lado

A_6A_7

está a cinco pasos del lado

A_1A_2,

así que su normal unitaria es

u_6 = -\frac{u_1 + u_3}{\sqrt{2}}

Side

A_6A_7

is five steps around from side

A_1A_2,

so its unit normal is

u_6 = -\frac{u_1 + u_3}{\sqrt{2}}

Solución:

Sea

O

el centro,

s

la longitud del lado,

a

el apotema, y

u_i

el vector unitario desde

O

hacia el punto medio de la cuerda

A_iA_{i+1}.

La región limitada por

\overline{PA_i},

\overline{PA_{i+1}},

y el arco es el segmento circular junto con el triángulo

PA_iA_{i+1}.

El segmento tiene área

\frac{1}{8} - \frac{sa}{2}

(el sector menos el triángulo

OA_iA_{i+1}

), y el triángulo en

P

tiene área

\frac{s}{2}(a - P \cdot u_i),

ya que

a - P \cdot u_i

es la distancia de

P

a la cuerda. Sumando,

\text{área}_i = \frac{1}{8} - \frac{s}{2}\,(P \cdot u_i).

Las áreas dadas indican

\frac{s}{2}(P \cdot u_1) = \frac{1}{8} - \frac{1}{7} = -\frac{1}{56}

y

\frac{s}{2}(P \cdot u_3) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{72}.

Las normales rotan

45^\circ

por cada lado, así que

u_3

es

u_1

rotado

90^\circ,

y

u_6,

a cinco pasos de

u_1,

es

u_1

rotado

225^\circ:

u_6 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\,(u_1 + u_3).

Por lo tanto

\begin{aligned} &\frac{s}{2}(P \cdot u_6) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{56} + \frac{1}{72}\right) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{252}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{504}. \end{aligned}

La región sobre el lado

A_6A_7

tiene entonces área

\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{504},

así que

n = 504.

Let

O

be the center,

s

the side length,

a

the apothem, and

u_i

the unit vector from

O

toward the midpoint of chord

A_iA_{i+1}.

The region bounded by

\overline{PA_i},

\overline{PA_{i+1}},

and the arc is the circular segment together with triangle

PA_iA_{i+1}.

The segment has area

\frac{1}{8} - \frac{sa}{2}

(sector minus triangle

OA_iA_{i+1}

), and the triangle at

P

has area

\frac{s}{2}(a - P \cdot u_i),

since

a - P \cdot u_i

is the distance from

P

to the chord. Adding,

\text{area}_i = \frac{1}{8} - \frac{s}{2}\,(P \cdot u_i).

The given areas say

\frac{s}{2}(P \cdot u_1) = \frac{1}{8} - \frac{1}{7} = -\frac{1}{56}

and

\frac{s}{2}(P \cdot u_3) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{72}.

The normals rotate

45^\circ

per side, so

u_3

is

u_1

rotated

90^\circ,

and

u_6,

five steps from

u_1,

is

u_1

rotated

225^\circ:

u_6 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\,(u_1 + u_3).

Therefore

\begin{aligned} &\frac{s}{2}(P \cdot u_6) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{56} + \frac{1}{72}\right) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{252}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{504}. \end{aligned}

The region on side

A_6A_7

thus has area

\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{504},

so

n = 504.

14.

Halle la suma de todos los enteros positivos

n

tales que, dada una cantidad ilimitada de sellos de denominaciones

5,

n,

y

n + 1

centavos,

91

centavos es el mayor franqueo que no se puede formar.

Find the sum of all positive integers

n

such that, given an unlimited supply of stamps of denominations

5,

n,

and

n + 1

cents,

91

cents is the greatest postage that cannot be formed.

Respuesta

Conceptos:Teorema de Chicken McNugget (Frobenius)aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Con sellos ilimitados de

5

centavos, trabaje módulo

5:

usando

k

sellos de valores

n

y

n + 1

puede formar exactamente las cantidades

kn, kn + 1, \ldots, kn + k

With unlimited

5

-cent stamps, work modulo

5:

using

k

stamps of values

n

and

n + 1

you can make exactly the amounts

kn, kn + 1, \ldots, kn + k

Pista grande:

Necesita que

96

sea la menor cantidad formable en su clase residual módulo

5,

con todas las demás clases cubiertas incluso antes; distinga casos según

n \bmod 5

You need

96

to be the smallest formable amount in its residue class mod

5,

with every other class covered even earlier; case on

n \bmod 5

Solución:

Usar

k

sellos de las denominaciones

n

y

n + 1

produce exactamente las cantidades

kn + c

para

0 \le c \le k,

y agregar sellos de

5

centavos cubre entonces todo lo que está por encima en la misma clase residual módulo

5.

Así que en cada clase

r

toda cantidad de al menos

m(r)

es formable y ninguna menor lo es, donde

m(r)

es el menor valor de

kn + c

(0 \le c \le k)

congruente con

r

módulo

5.

La mayor cantidad no formable es

\max_r m(r) - 5,

así que necesitamos

\max_r m(r) = 96:

la clase de

96

(que es

1

módulo

5

) debe cubrirse por primera vez exactamente en

96,

y toda otra clase no más tarde.

Distinga casos según

n \bmod 5,

notando que

kn + c \equiv kn + c.

Si

n \equiv 4:

la clase

1

necesita

4k + c \equiv 1

con

c \le k,

posible por primera vez en

k = 4,

c = 0,

así que

4n = 96

y

n = 24;

las demás clases se cubren en

24,

48,

72,

todas menores que

96,

así que

n = 24

funciona. Si

n \equiv 2:

la clase

1

se cubre por primera vez en

k = 2,

c = 2,

así que

2n + 2 = 96

y

n = 47;

las demás clases se cubren en

47,

48,

94 \le 96,

así que

n = 47

funciona.

Si

n \equiv 3:

la clase

1

se cubre primero en

2n = 96,

así que

n = 48,

pero entonces la clase

2

se cubre por primera vez en

2n + 1 = 97 \gt 96

, falla. Si

n \equiv 1:

la clase

1

se cubre primero en

n = 96,

pero entonces la clase

3

se cubre por primera vez en

2n + 1 = 193

, falla. Si

n \equiv 0:

la clase

1

se cubre primero en

n + 1 = 96,

así que

n = 95,

pero la clase

4

necesita

c = 4,

k \ge 4,

dando

4n + 4 \gt 96

, falla. La respuesta es

24 + 47 = 71.

Using

k

stamps of the denominations

n

and

n + 1

produces exactly the amounts

kn + c

for

0 \le c \le k,

and adding

5

-cent stamps then covers everything above in the same residue class mod

5.

So in each class

r

every amount at least

m(r)

is formable and nothing smaller is, where

m(r)

is the least value of

kn + c

(0 \le c \le k)

congruent to

r

mod

5.

The greatest non-formable amount is

\max_r m(r) - 5,

so we need

\max_r m(r) = 96:

the class of

96

(which is

1

mod

5

) must be covered first exactly at

96,

and every other class no later.

Case on

n \bmod 5,

noting

kn + c \equiv kn + c.

If

n \equiv 4:

class

1

needs

4k + c \equiv 1

with

c \le k,

first possible at

k = 4,

c = 0,

so

4n = 96

and

n = 24;

the other classes are covered at

24,

48,

72,

all less than

96,

so

n = 24

works. If

n \equiv 2:

class

1

is first covered at

k = 2,

c = 2,

so

2n + 2 = 96

and

n = 47;

the other classes are covered at

47,

48,

94 \le 96,

so

n = 47

works.

If

n \equiv 3:

class

1

first at

2n = 96,

so

n = 48,

but then class

2

is first covered at

2n + 1 = 97 \gt 96

— fails. If

n \equiv 1:

class

1

first at

n = 96,

but then class

3

is first covered at

2n + 1 = 193

— fails. If

n \equiv 0:

class

1

first at

n + 1 = 96,

so

n = 95,

but class

4

needs

c = 4,

k \ge 4,

giving

4n + 4 \gt 96

— fails. The answer is

24 + 47 = 71.

15.

En el triángulo acutángulo

ABC,

los puntos

P

y

Q

son los pies de las perpendiculares desde

C

a

\overline{AB}

y desde

B

a

\overline{AC},

respectivamente. La recta

PQ

corta la circunferencia circunscrita de

\triangle ABC

en dos puntos distintos,

X

e

Y.

Suponga que

XP = 10,

PQ = 25,

y

QY = 15.

El valor de

AB \cdot AC

puede escribirse en la forma

m\sqrt{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos, y

n

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle

m + n.

In acute triangle

ABC,

points

P

and

Q

are the feet of the perpendiculars from

C

to

\overline{AB}

and from

B

to

\overline{AC},

respectively. Line

PQ

intersects the circumcircle of

\triangle ABC

in two distinct points,

X

and

Y.

Suppose

XP = 10,

PQ = 25,

and

QY = 15.

The value of

AB \cdot AC

can be written in the form

m\sqrt{n},

where

m

and

n

are positive integers, and

n

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:potencia de un punto semejanza ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Calcule las potencias de

P

y

Q

respecto a la circunferencia circunscrita:

XP \cdot PY = AP \cdot PB

y

YQ \cdot QX = AQ \cdot QC

Compute the powers of

P

and

Q

with respect to the circumcircle:

XP \cdot PY = AP \cdot PB

and

YQ \cdot QX = AQ \cdot QC

Pista grande:

AP = AC\cos A,

AQ = AB\cos A,

y

PQ = BC\cos A;

combine las dos ecuaciones de potencia con la ley de cosenos para despejar

AB \cdot AC

y

\cos A

AP = AC\cos A,

AQ = AB\cos A,

and

PQ = BC\cos A;

combine the two power equations with the law of cosines to solve for

AB \cdot AC

and

\cos A

Solución:

Escriba

b = AC,

c = AB,

a = BC,

y

k = \cos A.

Los triángulos rectángulos

APC

y

AQB

dan

AP = bk

y

AQ = ck,

así que el triángulo

APQ

es semejante al triángulo

ACB

con razón

k,

de donde

PQ = ak = 25.

Los puntos sobre la recta aparecen en el orden

X, P, Q, Y,

así que la potencia de

P

da

XP \cdot PY = 10 \cdot 40 = 400

= AP \cdot PB,

y la potencia de

Q

da

YQ \cdot QX = 15 \cdot 35 = 525

= AQ \cdot QC.

Con

u = bk

y

v = ck

estas ecuaciones son

\begin{aligned} &u(c - u) = 400, \\ &\qquad v(b - v) = 525, \end{aligned}

es decir,

w - u^2 = 400

y

w - v^2 = 525,

donde

w = \frac{uv}{k} = bck.

Por la ley de cosenos,

a^2 = b^2 + c^2 - 2bck,

así que

a^2k^2 = u^2 + v^2 - 2uvk = 625.

Sustituyendo

u^2 = w - 400

y

v^2 = w - 525,

y

uv = wk,

se obtiene

2w - 925 - 2wk^2 = 625,

así que

wk^2 = w - 775.

Entonces

\begin{aligned} (uv)^2 &= w^2k^2 \\ &= w(w - 775) \\ &= (w - 400)(w - 525), \end{aligned}

que se simplifica a

150w = 210000,

así que

w = 1400

y

k^2 = \frac{1400 - 775}{1400} = \frac{25}{56}.

Así

k = \frac{5}{2\sqrt{14}}

y

\begin{aligned} bc = \frac{w}{k} &= 1400 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{5} \\ &= 560\sqrt{14}, \end{aligned}

así que

m + n = 560 + 14 = 574.

Write

b = AC,

c = AB,

a = BC,

and

k = \cos A.

Right triangles

APC

and

AQB

give

AP = bk

and

AQ = ck,

so triangle

APQ

is similar to triangle

ACB

with ratio

k,

whence

PQ = ak = 25.

The points on the line occur in the order

X, P, Q, Y,

so the power of

P

gives

XP \cdot PY = 10 \cdot 40 = 400

= AP \cdot PB,

and the power of

Q

gives

YQ \cdot QX = 15 \cdot 35 = 525

= AQ \cdot QC.

With

u = bk

and

v = ck

these read

\begin{aligned} &u(c - u) = 400, \\ &\qquad v(b - v) = 525, \end{aligned}

that is,

w - u^2 = 400

and

w - v^2 = 525,

where

w = \frac{uv}{k} = bck.

By the law of cosines,

a^2 = b^2 + c^2 - 2bck,

so

a^2k^2 = u^2 + v^2 - 2uvk = 625.

Substituting

u^2 = w - 400

and

v^2 = w - 525,

and

uv = wk,

gives

2w - 925 - 2wk^2 = 625,

so

wk^2 = w - 775.

Then

\begin{aligned} (uv)^2 &= w^2k^2 \\ &= w(w - 775) \\ &= (w - 400)(w - 525), \end{aligned}

which simplifies to

150w = 210000,

so

w = 1400

and

k^2 = \frac{1400 - 775}{1400} = \frac{25}{56}.

Thus

k = \frac{5}{2\sqrt{14}}

and

\begin{aligned} bc = \frac{w}{k} &= 1400 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{5} \\ &= 560\sqrt{14}, \end{aligned}

so

m + n = 560 + 14 = 574.