Question

Sea $S$ la suma de todos los números de la forma $\frac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son divisores positivos de $1000$ primos entre sí. ¿Cuál es el mayor entero que no excede $\frac{S}{10}$ ?

Let $S$ be the sum of all numbers of the form $\frac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive divisors of $1000.$ What is the greatest integer that does not exceed $\frac{S}{10}?$

Respuesta

Solución:

Escribe $a = 2^i 5^j$ y $b = 2^k 5^l$ con exponentes entre $0$ y $3.$ La coprimalidad significa que $\min(i, k) = 0$ y $\min(j, l) = 0,$ y estas dos restricciones son independientes. Así, cuando $(a, b)$ recorre todos los pares coprimos, el factor $2^{i - k}$ toma independientemente cada valor de $\{2^{-3}, \ldots, 2^{3}\}$ exactamente una vez, y de forma similar $5^{j - l}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} S &= \scriptsize \left(1 + 2 + 4 + 8 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8}\right) \\ &\quad \scriptsize {}\cdot \left(1 + 5 + 25 + 125 + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{25} + \tfrac{1}{125}\right) \\ &= \frac{127}{8} \cdot \frac{19531}{125}. \end{aligned}$

Esto es igual a $\frac{2480437}{1000} = 2480.437,$ así que $\frac{S}{10} = 248.0437,$ y el mayor entero que no lo excede es $248.$

Write $a = 2^i 5^j$ and $b = 2^k 5^l$ with exponents between $0$ and $3.$ Coprimality means $\min(i, k) = 0$ and $\min(j, l) = 0,$ and these two constraints are independent. So as $(a, b)$ runs over all coprime pairs, the factor $2^{i - k}$ independently takes each value in $\{2^{-3}, \ldots, 2^{3}\}$ exactly once, and similarly for $5^{j - l}.$ Hence $\begin{aligned} S &= \scriptsize \left(1 + 2 + 4 + 8 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8}\right) \\ &\quad \scriptsize {}\cdot \left(1 + 5 + 25 + 125 + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{25} + \tfrac{1}{125}\right) \\ &= \frac{127}{8} \cdot \frac{19531}{125}. \end{aligned}$

This equals $\frac{2480437}{1000} = 2480.437,$ so $\frac{S}{10} = 248.0437,$ and the greatest integer not exceeding it is $248.$

2000 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años