Soluciones del 2000 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Halla el menor entero positivo $n$ tal que, sin importar cómo se exprese $10^n$ como producto de dos enteros positivos cualesquiera, al menos uno de esos dos enteros contenga el dígito $0.$

Find the least positive integer $n$ such that no matter how $10^n$ is expressed as the product of any two positive integers, at least one of these two integers contains the digit $0.$

Respuesta

Conceptos:factorización en primos dígitos

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Toda factorización es $10^n = (2^x 5^y)(2^{n-x} 5^{n-y}).$ Si un factor es divisible a la vez por $2$ y por $5,$ es un múltiplo de $10$ y termina en el dígito $0.$ Así que la única factorización posible sin ceros es $10^n = 2^n \cdot 5^n,$ y necesitamos el menor $n$ para el cual $2^n$ o $5^n$ contenga un dígito $0.$

Las potencias $2^1, \ldots, 2^8$ son $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256$ , sin ceros. Las potencias $5^1, \ldots, 5^7$ son $5, 25, 125, 625,$ $3125, 15625, 78125$ , sin ceros, pero $5^8 = 390625$ contiene un $0.$

Por lo tanto, toda factorización de $10^8$ contiene un dígito $0,$ mientras que $10^7 = 2^7 \cdot 5^7 = 128 \cdot 78125$ no, así que la respuesta es $8.$

Every factorization is $10^n = (2^x 5^y)(2^{n-x} 5^{n-y}).$ If a factor is divisible by both $2$ and $5,$ it is a multiple of $10$ and ends in the digit $0.$ So the only possible zero-free factorization is $10^n = 2^n \cdot 5^n,$ and we need the least $n$ for which $2^n$ or $5^n$ contains a digit $0.$

The powers $2^1, \ldots, 2^8$ are $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256$ — no zeros. The powers $5^1, \ldots, 5^7$ are $5, 25, 125, 625,$ $3125, 15625, 78125$ — no zeros — but $5^8 = 390625$ contains a $0.$

Hence every factorization of $10^8$ contains a digit $0,$ while $10^7 = 2^7 \cdot 5^7 = 128 \cdot 78125$ does not, so the answer is $8.$

2.

Sean $u$ y $v$ enteros que satisfacen $0 \lt v \lt u.$ Sea $A = (u, v),$ sea $B$ la reflexión de $A$ respecto a la recta $y = x,$ sea $C$ la reflexión de $B$ respecto al eje $y$ , sea $D$ la reflexión de $C$ respecto al eje $x$ , y sea $E$ la reflexión de $D$ respecto al eje $y$ . El área del pentágono $ABCDE$ es $451.$ Halla $u + v.$

Let $u$ and $v$ be integers satisfying $0 \lt v \lt u.$ Let $A = (u, v),$ let $B$ be the reflection of $A$ across the line $y = x,$ let $C$ be the reflection of $B$ across the $y$ -axis, let $D$ be the reflection of $C$ across the $x$ -axis, and let $E$ be the reflection of $D$ across the $y$ -axis. The area of pentagon $ABCDE$ is $451.$ Find $u + v.$

Respuesta

Conceptos:transformación geometría analítica descomposición de áreas factorización

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Al efectuar las reflexiones, $B = (v, u),$ $C = (-v, u),$ $D = (-v, -u),$ y $E = (v, -u).$ Los puntos $B, C, D, E$ forman un rectángulo de ancho $2v$ y alto $2u,$ con área $4uv,$ y $A = (u, v)$ sobresale hacia su derecha. El triángulo $ABE$ tiene base vertical $BE$ de longitud $2u$ y altura horizontal $u - v,$ así que su área es $u(u - v).$

Por lo tanto, el área del pentágono es $\begin{aligned} 4uv + u(u - v) &= u^2 + 3uv \\ &= u(u + 3v) \\ &= 451 = 11 \cdot 41. \end{aligned}$ Como $0 \lt v \lt u,$ tenemos $u \lt u + 3v \lt 4u,$ lo que descarta la factorización $1 \cdot 451.$ Así que $u = 11$ y $u + 3v = 41,$ lo que da $v = 10,$ que en efecto satisface $v \lt u.$

Por lo tanto, $u + v = 11 + 10 = 21.$

Carrying out the reflections, $B = (v, u),$ $C = (-v, u),$ $D = (-v, -u),$ and $E = (v, -u).$ The points $B, C, D, E$ form a rectangle of width $2v$ and height $2u,$ with area $4uv,$ and $A = (u, v)$ sticks out to its right. Triangle $ABE$ has vertical base $BE$ of length $2u$ and horizontal height $u - v,$ so its area is $u(u - v).$

The pentagon's area is therefore $\begin{aligned} 4uv + u(u - v) &= u^2 + 3uv \\ &= u(u + 3v) \\ &= 451 = 11 \cdot 41. \end{aligned}$ Since $0 \lt v \lt u,$ we have $u \lt u + 3v \lt 4u,$ which rules out the factorization $1 \cdot 451.$ So $u = 11$ and $u + 3v = 41,$ giving $v = 10,$ which indeed satisfies $v \lt u.$

Thus $u + v = 11 + 10 = 21.$

3.

En el desarrollo de $(ax + b)^{2000},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí, los coeficientes de $x^2$ y $x^3$ son iguales. Halla $a + b.$

In the expansion of $(ax + b)^{2000},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers, the coefficients of $x^2$ and $x^3$ are equal. Find $a + b.$

Respuesta

Conceptos:teorema del binomio máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Por el teorema del binomio, los coeficientes de $x^2$ y $x^3$ son $\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}$ y $\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}.$ Igualándolos y cancelando $a^2 b^{1997}$ se obtiene $\binom{2000}{2} b = \binom{2000}{3} a,$ de modo que $b = \frac{1998}{3}\,a = 666a.$

Como $\gcd(a, b) = 1,$ debe ser $a = 1$ y $b = 666,$ así que $a + b = 667.$

By the binomial theorem, the coefficients of $x^2$ and $x^3$ are $\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}$ and $\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}.$ Setting them equal and cancelling $a^2 b^{1997}$ gives $\binom{2000}{2} b = \binom{2000}{3} a,$ so $b = \frac{1998}{3}\,a = 666a.$

Since $\gcd(a, b) = 1,$ we must have $a = 1$ and $b = 666,$ so $a + b = 667.$

4.

El diagrama muestra un rectángulo que ha sido dividido en nueve cuadrados que no se superponen. Dado que el ancho y el alto del rectángulo son enteros positivos primos entre sí, halla el perímetro del rectángulo.

The diagram shows a rectangle that has been dissected into nine non-overlapping squares. Given that the width and the height of the rectangle are relatively prime positive integers, find the perimeter of the rectangle.

Respuesta

Conceptos:rectángulo cuadrado (geometría)sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Sea $x$ el lado del cuadrado más pequeño (en el centro) y $y$ el lado del cuadrado pequeño justo debajo y a su derecha. Siguiendo las longitudes de los bordes por la figura, los cuadrados restantes tienen lados $x + y,$ luego $(x + y) + x = 2x + y,$ luego $(x + y) + (2x + y) = 3x + 2y,$ luego $(2x + y) + (3x + 2y) = 5x + 3y$ (el cuadrado superior izquierdo). El cuadrado alto de la derecha abarca los tres anteriores a lo largo de su borde izquierdo menos los solapes, lo que da lado $4x + 4y;$ el cuadrado inferior derecho tiene lado $(4x + 4y) + y = 4x + 5y;$ y el cuadrado inferior izquierdo tiene lado $x$ $+ (2x + y)$ $+ (5x + 3y)$ $= 8x + 4y.$

Midiendo el alto del rectángulo por sus lados izquierdo y derecho, $\begin{aligned} &(8x + 4y) + (5x + 3y) \\ &= (4x + 5y) \\ &\quad {}+ (4x + 4y), \end{aligned}$ lo que se simplifica a $5x = 2y.$ Tomando los menores enteros positivos, $x = 2$ y $y = 5,$ los nueve cuadrados tienen lados $2, 5, 7, 9, 16, 25, 28, 33, 36,$ y el rectángulo es $(36 + 33) \times (36 + 25) = 69 \times 61.$ Estas dimensiones son primas entre sí (cualquier escalado común lo rompería), y las áreas concuerdan: $69 \cdot 61 = 4209$ es igual a la suma de las áreas de los nueve cuadrados.

El perímetro es $2(69 + 61) = 260.$

Let the tiniest square (in the middle) have side $x$ and the small square just below and to its right have side $y.$ Chasing edge lengths through the figure, the remaining squares have sides $x + y,$ then $(x + y) + x = 2x + y,$ then $(x + y) + (2x + y) = 3x + 2y,$ then $(2x + y) + (3x + 2y) = 5x + 3y$ (the top-left square). The tall square on the right spans the previous three along its left edge minus overlaps, giving side $4x + 4y;$ the bottom-right square has side $(4x + 4y) + y = 4x + 5y;$ and the bottom-left square has side $x$ $+ (2x + y)$ $+ (5x + 3y)$ $= 8x + 4y.$

Measuring the rectangle's height along its left and right sides, $\begin{aligned} &(8x + 4y) + (5x + 3y) \\ &= (4x + 5y) \\ &\quad {}+ (4x + 4y), \end{aligned}$ which simplifies to $5x = 2y.$ Taking the smallest positive integers, $x = 2$ and $y = 5,$ the nine squares have sides $2, 5, 7, 9, 16, 25, 28, 33, 36,$ and the rectangle is $(36 + 33) \times (36 + 25) = 69 \times 61.$ These dimensions are relatively prime (any common scaling would break that), and the areas check: $69 \cdot 61 = 4209$ equals the sum of the nine squares' areas.

The perimeter is $2(69 + 61) = 260.$

5.

Cada una de dos cajas contiene canicas negras y blancas, y el número total de canicas en las dos cajas es $25.$ Se saca una canica de cada caja al azar. La probabilidad de que ambas canicas sean negras es $\frac{27}{50},$ y la probabilidad de que ambas canicas sean blancas es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Each of two boxes contains both black and white marbles, and the total number of marbles in the two boxes is $25.$ One marble is taken out of each box randomly. The probability that both marbles are black is $\frac{27}{50},$ and the probability that both marbles are white is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Supongamos que las cajas tienen $a$ y $b$ canicas con $a + b = 25,$ y contienen $p$ y $q$ canicas negras. Entonces $\frac{pq}{ab} = \frac{27}{50},$ así que $50pq = 27ab,$ y como $\gcd(27, 50) = 1,$ necesitamos $50 \mid ab.$ Comprobando $a(25 - a)$ para $a = 1, \ldots, 12,$ solo $\{a, b\} = \{20, 5\}$ y $\{10, 15\}$ dan un múltiplo de $50.$

Para tamaños $20$ y $5:$ $pq = \frac{27 \cdot 100}{50} = 54,$ y como cada caja tiene además una canica blanca, $p \le 19$ y $q \le 4,$ lo que obliga a $p = 18,$ $q = 3.$ Las cantidades de blancas son $2$ y $2,$ así que la probabilidad blanca-blanca es $\frac{2}{20} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{25}.$ Para tamaños $10$ y $15:$ $pq = \frac{27 \cdot 150}{50} = 81,$ y $p \le 9,$ $q \le 14$ obligan a $p = q = 9.$ Las cantidades de blancas son $1$ y $6,$ lo que da $\frac{1}{10} \cdot \frac{6}{15} = \frac{1}{25}$ de nuevo.

En cualquier caso la probabilidad es $\frac{1}{25},$ así que $m + n = 1 + 25 = 26.$

Say the boxes hold $a$ and $b$ marbles with $a + b = 25,$ containing $p$ and $q$ black marbles. Then $\frac{pq}{ab} = \frac{27}{50},$ so $50pq = 27ab,$ and since $\gcd(27, 50) = 1,$ we need $50 \mid ab.$ Checking $a(25 - a)$ for $a = 1, \ldots, 12,$ only $\{a, b\} = \{20, 5\}$ and $\{10, 15\}$ give a multiple of $50.$

For sizes $20$ and $5:$ $pq = \frac{27 \cdot 100}{50} = 54,$ and since each box also holds a white marble, $p \le 19$ and $q \le 4,$ forcing $p = 18,$ $q = 3.$ The white counts are $2$ and $2,$ so the white-white probability is $\frac{2}{20} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{25}.$ For sizes $10$ and $15:$ $pq = \frac{27 \cdot 150}{50} = 81,$ and $p \le 9,$ $q \le 14$ force $p = q = 9.$ The white counts are $1$ and $6,$ giving $\frac{1}{10} \cdot \frac{6}{15} = \frac{1}{25}$ again.

Either way the probability is $\frac{1}{25},$ so $m + n = 1 + 25 = 26.$

6.

¿Para cuántos pares ordenados $(x, y)$ de enteros se cumple que $0 \lt x \lt y \lt 10^6$ y que la media aritmética de $x$ y $y$ es exactamente $2$ mayor que la media geométrica de $x$ y $y$ ?

For how many ordered pairs $(x, y)$ of integers is it true that $0 \lt x \lt y \lt 10^6$ and that the arithmetic mean of $x$ and $y$ is exactly $2$ more than the geometric mean of $x$ and $y?$

Respuesta

Conceptos:cuadrado perfecto radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

La condición es $\frac{x + y}{2} = \sqrt{xy} + 2,$ es decir, $x + y - 2\sqrt{xy} = 4,$ así que $(\sqrt{y} - \sqrt{x})^2 = 4$ y (como $y \gt x$ ) $\sqrt{y} - \sqrt{x} = 2.$ Nota que $\sqrt{xy} = \frac{x + y - 4}{2}$ es racional, por lo que $\sqrt{y} + \sqrt{x} = \frac{y - x}{\sqrt{y} - \sqrt{x}} = \frac{y - x}{2}$ también es racional, así que $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$ son racionales, y una raíz cuadrada racional de un entero es un entero.

Por lo tanto, $x = a^2$ e $y = (a + 2)^2$ para un entero positivo $a.$ La restricción $y \lt 10^6$ significa $a + 2 \le 999,$ así que $a$ recorre $1, 2, \ldots, 997,$ y cada valor da un par válido.

Por lo tanto, hay $997$ pares ordenados.

The condition is $\frac{x + y}{2} = \sqrt{xy} + 2,$ that is, $x + y - 2\sqrt{xy} = 4,$ so $(\sqrt{y} - \sqrt{x})^2 = 4$ and (as $y \gt x$ ) $\sqrt{y} - \sqrt{x} = 2.$ Note $\sqrt{xy} = \frac{x + y - 4}{2}$ is rational, hence $\sqrt{y} + \sqrt{x} = \frac{y - x}{\sqrt{y} - \sqrt{x}} = \frac{y - x}{2}$ is rational too, so $\sqrt{x}$ and $\sqrt{y}$ are rational — and a rational square root of an integer is an integer.

Therefore $x = a^2$ and $y = (a + 2)^2$ for a positive integer $a.$ The constraint $y \lt 10^6$ means $a + 2 \le 999,$ so $a$ ranges over $1, 2, \ldots, 997,$ and each value gives a valid pair.

Hence there are $997$ ordered pairs.

7.

Supongamos que $x,$ $y,$ y $z$ son tres números positivos que satisfacen las ecuaciones $xyz = 1,$ $x + \frac{1}{z} = 5,$ y $y + \frac{1}{x} = 29.$ Entonces $z + \frac{1}{y} = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Suppose that $x,$ $y,$ and $z$ are three positive numbers that satisfy the equations $xyz = 1,$ $x + \frac{1}{z} = 5,$ and $y + \frac{1}{x} = 29.$ Then $z + \frac{1}{y} = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:sistema de ecuaciones manipulación algebraica simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2330

Solución:

Sea $t = z + \frac{1}{y}.$ Desarrollando el producto de las tres expresiones, $\begin{aligned} &\left(x + \frac{1}{z}\right)\!\left(y + \frac{1}{x}\right)\!\left(z + \frac{1}{y}\right) \\ &= xyz + \frac{1}{xyz} + \left(x + \frac{1}{z}\right) \\ &\quad {}+ \left(y + \frac{1}{x}\right) + \left(z + \frac{1}{y}\right). \end{aligned}$ Como $xyz = 1,$ el lado izquierdo es $5 \cdot 29 \cdot t = 145t$ y el lado derecho es $2 + 5 + 29 + t = 36 + t.$

Así que $145t = 36 + t,$ lo que da $t = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}.$ Por lo tanto, $m + n = 1 + 4 = 5.$

Let $t = z + \frac{1}{y}.$ Expanding the product of all three expressions, $\begin{aligned} &\left(x + \frac{1}{z}\right)\!\left(y + \frac{1}{x}\right)\!\left(z + \frac{1}{y}\right) \\ &= xyz + \frac{1}{xyz} + \left(x + \frac{1}{z}\right) \\ &\quad {}+ \left(y + \frac{1}{x}\right) + \left(z + \frac{1}{y}\right). \end{aligned}$ Since $xyz = 1,$ the left side is $5 \cdot 29 \cdot t = 145t$ and the right side is $2 + 5 + 29 + t = 36 + t.$

So $145t = 36 + t,$ giving $t = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}.$ Thus $m + n = 1 + 4 = 5.$

8.

Un recipiente con forma de cono circular recto mide $12$ pulgadas de alto y su base tiene un radio de $5$ pulgadas. El líquido sellado en su interior tiene $9$ pulgadas de profundidad cuando el cono se sostiene con la punta hacia abajo y su base horizontal. Cuando el cono se sostiene con la punta hacia arriba y su base horizontal, el líquido tiene $m - n\sqrt[3]{p}$ pulgadas de profundidad, donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cubo de ningún número primo. Halla $m + n + p.$

A container in the shape of a right circular cone is $12$ inches tall and its base has a $5$ -inch radius. The liquid that is sealed inside is $9$ inches deep when the cone is held with its point down and its base horizontal. When the cone is held with its point up and its base horizontal, the liquid is $m - n\sqrt[3]{p}$ inches deep, where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the cube of any prime number. Find $m + n + p.$

Respuesta

Conceptos:cono semejanza escalamiento de potencias de longitud, área y volumen volumen

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Sostenido con la punta hacia abajo, el líquido forma un cono semejante al recipiente con razón $\frac{9}{12} = \frac{3}{4},$ así que su volumen es $\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$ del volumen del recipiente.

Sostenido con la punta hacia arriba, el espacio vacío es un cono semejante en el vértice con $1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}$ del volumen, así que su altura es $12 \sqrt[3]{\frac{37}{64}} = \frac{12 \sqrt[3]{37}}{4} = 3\sqrt[3]{37}$ pulgadas. Por lo tanto, el líquido tiene $12 - 3\sqrt[3]{37}$ pulgadas de profundidad.

Como $37$ no tiene factores cúbicos, $m + n + p = 12 + 3 + 37 = 52.$

Held point down, the liquid forms a cone similar to the container with ratio $\frac{9}{12} = \frac{3}{4},$ so its volume is $\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$ of the container's volume.

Held point up, the empty space is a similar cone at the apex with $1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}$ of the volume, so its height is $12 \sqrt[3]{\frac{37}{64}} = \frac{12 \sqrt[3]{37}}{4} = 3\sqrt[3]{37}$ inches. The liquid is therefore $12 - 3\sqrt[3]{37}$ inches deep.

Since $37$ is cube-free, $m + n + p = 12 + 3 + 37 = 52.$

9.

El sistema de ecuaciones $\begin{aligned} &\log_{10}(2000xy) \\ &\quad {}- (\log_{10} x)(\log_{10} y) = 4 \end{aligned}$ $\log_{10}(2yz) - (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 1$ $\log_{10}(zx) - (\log_{10} z)(\log_{10} x) = 0$ tiene dos soluciones $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2).$ Halla $y_1 + y_2.$

The system of equations $\begin{aligned} &\log_{10}(2000xy) \\ &\quad {}- (\log_{10} x)(\log_{10} y) = 4 \end{aligned}$ $\log_{10}(2yz) - (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 1$ $\log_{10}(zx) - (\log_{10} z)(\log_{10} x) = 0$ has two solutions $(x_1, y_1, z_1)$ and $(x_2, y_2, z_2).$ Find $y_1 + y_2.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones sustitución factorización

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Sea $a = \log_{10} x,$ $b = \log_{10} y,$ $c = \log_{10} z.$ Usando $\log_{10} 2000 = 4 - \log_{10} 5,$ la primera ecuación se convierte en $a + b - ab = \log_{10} 5,$ que se factoriza como $(1 - a)(1 - b)$ $= 1 - \log_{10} 5$ $= \log_{10} 2.$ De forma similar, la segunda ecuación da $(1 - b)(1 - c)$ $= 1 - (1 - \log_{10} 2)$ $= \log_{10} 2,$ y la tercera da $(1 - c)(1 - a) = 1.$

Dividiendo las dos primeras (nota que $1 - b \ne 0$ ) se obtiene $1 - a = 1 - c,$ y entonces la tercera ecuación da $(1 - a)^2 = 1,$ así que $1 - a = \pm 1.$ Si $1 - a = 1,$ entonces $1 - b = \log_{10} 2,$ así que $b = 1 - \log_{10} 2 = \log_{10} 5$ e $y = 5$ (en efecto $(x, y, z) = (1, 5, 1)$ funciona). Si $1 - a = -1,$ entonces $1 - b = -\log_{10} 2,$ así que $b = \log_{10} 20$ e $y = 20$ (de $(x, y, z) = (100, 20, 100)$ ).

Por lo tanto, $y_1 + y_2 = 5 + 20 = 25.$

Let $a = \log_{10} x,$ $b = \log_{10} y,$ $c = \log_{10} z.$ Using $\log_{10} 2000 = 4 - \log_{10} 5,$ the first equation becomes $a + b - ab = \log_{10} 5,$ which factors as $(1 - a)(1 - b)$ $= 1 - \log_{10} 5$ $= \log_{10} 2.$ Similarly the second equation gives $(1 - b)(1 - c)$ $= 1 - (1 - \log_{10} 2)$ $= \log_{10} 2,$ and the third gives $(1 - c)(1 - a) = 1.$

Dividing the first two (note $1 - b \ne 0$ ) yields $1 - a = 1 - c,$ and then the third equation gives $(1 - a)^2 = 1,$ so $1 - a = \pm 1.$ If $1 - a = 1,$ then $1 - b = \log_{10} 2,$ so $b = 1 - \log_{10} 2 = \log_{10} 5$ and $y = 5$ (indeed $(x, y, z) = (1, 5, 1)$ works). If $1 - a = -1,$ then $1 - b = -\log_{10} 2,$ so $b = \log_{10} 20$ and $y = 20$ (from $(x, y, z) = (100, 20, 100)$ ).

Therefore $y_1 + y_2 = 5 + 20 = 25.$

10.

Una sucesión de números $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{100}$ tiene la propiedad de que, para todo entero $k$ entre $1$ y $100,$ inclusive, el número $x_k$ es $k$ menor que la suma de los otros $99$ números. Dado que $x_{50} = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

A sequence of numbers $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{100}$ has the property that, for every integer $k$ between $1$ and $100,$ inclusive, the number $x_k$ is $k$ less than the sum of the other $99$ numbers. Given that $x_{50} = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:sistema de ecuaciones sumatoria

Nivel de dificultad: 2330

Solución:

Sea $S = x_1 + x_2 + \cdots + x_{100}.$ La condición dice $x_k = (S - x_k) - k,$ así que $x_k = \frac{S - k}{2}$ para todo $k.$ Sumando sobre $k = 1, \ldots, 100,$ $\begin{aligned} S &= \frac{100S - (1 + 2 + \cdots + 100)}{2} \\ &= \frac{100S - 5050}{2}, \end{aligned}$ así que $98S = 5050$ y $S = \frac{2525}{49}.$

Entonces $\begin{aligned} x_{50} &= \frac{S - 50}{2} \\ &= \frac{2525 - 2450}{98} = \frac{75}{98}, \end{aligned}$ que está en su forma más simple, así que $m + n = 75 + 98 = 173.$

Let $S = x_1 + x_2 + \cdots + x_{100}.$ The condition says $x_k = (S - x_k) - k,$ so $x_k = \frac{S - k}{2}$ for every $k.$ Summing over $k = 1, \ldots, 100,$ $\begin{aligned} S &= \frac{100S - (1 + 2 + \cdots + 100)}{2} \\ &= \frac{100S - 5050}{2}, \end{aligned}$ so $98S = 5050$ and $S = \frac{2525}{49}.$

Then $\begin{aligned} x_{50} &= \frac{S - 50}{2} \\ &= \frac{2525 - 2450}{98} = \frac{75}{98}, \end{aligned}$ which is in lowest terms, so $m + n = 75 + 98 = 173.$

11.

Sea $S$ la suma de todos los números de la forma $\frac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son divisores positivos de $1000$ primos entre sí. ¿Cuál es el mayor entero que no excede $\frac{S}{10}$ ?

Let $S$ be the sum of all numbers of the form $\frac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive divisors of $1000.$ What is the greatest integer that does not exceed $\frac{S}{10}?$

Respuesta

Conceptos:factor factorización en primos sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Escribe $a = 2^i 5^j$ y $b = 2^k 5^l$ con exponentes entre $0$ y $3.$ La coprimalidad significa que $\min(i, k) = 0$ y $\min(j, l) = 0,$ y estas dos restricciones son independientes. Así, cuando $(a, b)$ recorre todos los pares coprimos, el factor $2^{i - k}$ toma independientemente cada valor de $\{2^{-3}, \ldots, 2^{3}\}$ exactamente una vez, y de forma similar $5^{j - l}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} S &= \scriptsize \left(1 + 2 + 4 + 8 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8}\right) \\ &\quad \scriptsize {}\cdot \left(1 + 5 + 25 + 125 + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{25} + \tfrac{1}{125}\right) \\ &= \frac{127}{8} \cdot \frac{19531}{125}. \end{aligned}$

Esto es igual a $\frac{2480437}{1000} = 2480.437,$ así que $\frac{S}{10} = 248.0437,$ y el mayor entero que no lo excede es $248.$

Write $a = 2^i 5^j$ and $b = 2^k 5^l$ with exponents between $0$ and $3.$ Coprimality means $\min(i, k) = 0$ and $\min(j, l) = 0,$ and these two constraints are independent. So as $(a, b)$ runs over all coprime pairs, the factor $2^{i - k}$ independently takes each value in $\{2^{-3}, \ldots, 2^{3}\}$ exactly once, and similarly for $5^{j - l}.$ Hence $\begin{aligned} S &= \scriptsize \left(1 + 2 + 4 + 8 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8}\right) \\ &\quad \scriptsize {}\cdot \left(1 + 5 + 25 + 125 + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{25} + \tfrac{1}{125}\right) \\ &= \frac{127}{8} \cdot \frac{19531}{125}. \end{aligned}$

This equals $\frac{2480437}{1000} = 2480.437,$ so $\frac{S}{10} = 248.0437,$ and the greatest integer not exceeding it is $248.$

12.

Dada una función $f$ para la cual $\begin{aligned} f(x) &= f(398 - x) \\ &= f(2158 - x) \\ &= f(3214 - x) \end{aligned}$ se cumple para todo $x$ real, ¿cuál es la mayor cantidad de valores diferentes que pueden aparecer en la lista $f(0), f(1), f(2), \ldots, f(999)$ ?

Given a function $f$ for which $\begin{aligned} f(x) &= f(398 - x) \\ &= f(2158 - x) \\ &= f(3214 - x) \end{aligned}$ holds for all real $x,$ what is the largest number of different values that can appear in the list $f(0), f(1), f(2), \ldots, f(999)?$

Respuesta

Conceptos:ecuación funcional máximo común divisor simetría

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Como $f(398 - x) = f(2158 - x)$ para todo $x,$ sustituyendo $t = 398 - x$ se obtiene $f(t) = f(t + 1760);$ del mismo modo $f(2158 - x) = f(3214 - x)$ da periodo $1056.$ Combinando, $f$ tiene periodo $\gcd(1760, 1056) = 352.$ Reduciendo $398$ módulo $352,$ la simetría $f(x) = f(398 - x)$ se convierte en $f(x) = f(46 - x).$

Así que $f$ queda determinada por los residuos módulo $352,$ con los residuos $r$ y $46 - r$ obligados a compartir un valor. Este emparejamiento tiene exactamente dos puntos fijos, de $2r \equiv 46 \pmod{352}:$ $r = 23$ y $r = 199.$ Por lo tanto, hay a lo sumo $\frac{352 - 2}{2} + 2 = 177$ clases, y como $0, 1, \ldots, 999$ cubre todos los residuos módulo $352,$ la lista contiene a lo sumo $177$ valores diferentes.

Esto es alcanzable: $f(x) = \cos\frac{2\pi(x - 23)}{352}$ satisface las tres simetrías dadas (cada uno de $398,$ $2158,$ $3214$ es $\equiv 46$ módulo $352$ ), y dos enteros reciben valores iguales solo cuando sus residuos están emparejados. Así que la respuesta es $177.$

Since $f(398 - x) = f(2158 - x)$ for all $x,$ substituting $t = 398 - x$ gives $f(t) = f(t + 1760);$ likewise $f(2158 - x) = f(3214 - x)$ gives period $1056.$ Combining, $f$ has period $\gcd(1760, 1056) = 352.$ Reducing $398$ mod $352,$ the symmetry $f(x) = f(398 - x)$ becomes $f(x) = f(46 - x).$

So $f$ is determined by residues mod $352,$ with residues $r$ and $46 - r$ forced to share a value. This pairing has exactly two fixed points, from $2r \equiv 46 \pmod{352}:$ $r = 23$ and $r = 199.$ Hence there are at most $\frac{352 - 2}{2} + 2 = 177$ classes, and since $0, 1, \ldots, 999$ covers every residue mod $352,$ the list contains at most $177$ different values.

This is achievable: $f(x) = \cos\frac{2\pi(x - 23)}{352}$ satisfies all three given symmetries (each of $398,$ $2158,$ $3214$ is $\equiv 46$ mod $352$ ), and two integers get equal values only when their residues are paired. So the answer is $177.$

13.

En medio de una vasta pradera, un camión de bomberos está estacionado en la intersección de dos carreteras rectas perpendiculares. El camión viaja a $50$ millas por hora por las carreteras y a $14$ millas por hora a través de la pradera. Considera el conjunto de puntos que el camión de bomberos puede alcanzar en seis minutos. El área de esta región es $\frac{m}{n}$ millas cuadradas, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In the middle of a vast prairie, a firetruck is stationed at the intersection of two perpendicular straight highways. The truck travels at $50$ miles per hour along the highways and at $14$ miles per hour across the prairie. Consider the set of points that can be reached by the firetruck within six minutes. The area of this region is $\frac{m}{n}$ square miles, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica recta tangente área optimización

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

En seis minutos el camión puede conducir $5$ millas por una carretera o $1.4$ millas a través de la pradera, y una ruta óptima es un tramo de carretera seguido de un segmento recto por la pradera. Trabaja en el primer cuadrante con las carreteras como ejes. Conducir hasta $(d, 0)$ toma $\frac{d}{50}$ horas, dejando un alcance por la pradera de $14\left(\frac{1}{10} - \frac{d}{50}\right) = 1.4\left(1 - \frac{d}{5}\right)$ millas. Cuando $d$ va de $0$ a $5,$ estos discos se encogen linealmente hasta un punto, así que su unión es el "cono": la envolvente convexa del disco de radio $1.4$ centrado en el origen y el punto $(5, 0),$ limitada por la recta tangente desde $(5, 0).$ La longitud de la tangente es $\sqrt{5^2 - 1.4^2} = 4.8,$ así que las razones son $7$ - $24$ - $25$ y la recta tangente es $7x + 24y = 35.$ El eje $y$ da la región especular limitada por $24x + 7y = 35.$

Las dos rectas tangentes se cruzan en $P = \left(\frac{35}{31}, \frac{35}{31}\right),$ que está a distancia $\frac{35\sqrt{2}}{31} \gt 1.4$ del origen (fuera de la circunferencia), así que en el primer cuadrante el conjunto alcanzable es exactamente el cuadrilátero (no convexo) con vértices $(0, 0),$ $(5, 0),$ $P,$ $(0, 5).$ Dividiéndolo por la diagonal desde el origen hasta $P$ se obtienen dos triángulos, cada uno con área $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{35}{31},$ para un área por cuadrante de $\frac{175}{31}.$

La región completa son cuatro copias, con área $\frac{700}{31}$ millas cuadradas. Como $\gcd(700, 31) = 1,$ la respuesta es $700 + 31 = 731.$

In six minutes the truck can drive $5$ miles on a highway or $1.4$ miles across the prairie, and an optimal route is a highway stretch followed by a straight prairie segment. Work in the first quadrant with the highways as axes. Driving to $(d, 0)$ takes $\frac{d}{50}$ hours, leaving a prairie range of $14\left(\frac{1}{10} - \frac{d}{50}\right) = 1.4\left(1 - \frac{d}{5}\right)$ miles. As $d$ runs from $0$ to $5,$ these disks shrink linearly to a point, so their union is the "cone": the convex hull of the disk of radius $1.4$ about the origin and the point $(5, 0),$ bounded by the tangent line from $(5, 0).$ The tangent length is $\sqrt{5^2 - 1.4^2} = 4.8,$ so the ratios are $7$ – $24$ – $25$ and the tangent line is $7x + 24y = 35.$ The $y$ -axis gives the mirror-image region bounded by $24x + 7y = 35.$

The two tangent lines meet at $P = \left(\frac{35}{31}, \frac{35}{31}\right),$ which lies at distance $\frac{35\sqrt{2}}{31} \gt 1.4$ from the origin — outside the circle — so in the first quadrant the reachable set is exactly the (non-convex) quadrilateral with vertices $(0, 0),$ $(5, 0),$ $P,$ $(0, 5).$ Splitting it along the diagonal from the origin to $P$ gives two triangles, each with area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{35}{31},$ for a quadrant area of $\frac{175}{31}.$

The full region is four copies, with area $\frac{700}{31}$ square miles. Since $\gcd(700, 31) = 1,$ the answer is $700 + 31 = 731.$

14.

En el triángulo $ABC,$ se sabe que los ángulos $B$ y $C$ son congruentes. Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $\overline{AC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente, de modo que $AP = PQ = QB = BC.$ El ángulo $ACB$ es $r$ veces mayor que el ángulo $APQ,$ donde $r$ es un número real positivo. Halla el mayor entero que no excede $1000r.$

In triangle $ABC,$ it is given that angles $B$ and $C$ are congruent. Points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively, so that $AP = PQ = QB = BC.$ Angle $ACB$ is $r$ times as large as angle $APQ,$ where $r$ is a positive real number. Find the greatest integer that does not exceed $1000r.$

Respuesta

Conceptos:triángulo isósceles ley de los senos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Sea $\angle A = \alpha,$ y escala de modo que $AP = PQ = QB = BC = 1.$ En el triángulo $APQ,$ los lados iguales $AP = PQ$ dan $\angle AQP = \angle A = \alpha,$ así que $\angle APQ = 180^\circ - 2\alpha$ y, por la ley de senos, $AQ = \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} = 2\cos\alpha.$ En el triángulo $ABC,$ $\angle B = \angle C = 90^\circ - \frac{\alpha}{2},$ así que $\begin{aligned} AB &= \frac{BC \sin C}{\sin A} \\ &= \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin\alpha} = \frac{1}{2\sin(\alpha/2)}. \end{aligned}$

Como $AQ + QB = AB,$ $\begin{aligned} 2\cos\alpha + 1 &= \frac{1}{2\sin(\alpha/2)} \\ &\quad\Longrightarrow\quad 4\sin\tfrac{\alpha}{2}\cos\alpha \\ &\quad {}+ 2\sin\tfrac{\alpha}{2} = 1. \end{aligned}$ Por la identidad de producto a suma, $4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\alpha$ $= 2\sin\frac{3\alpha}{2}$ $- 2\sin\frac{\alpha}{2},$ así que la ecuación se reduce a $\sin\frac{3\alpha}{2} = \frac{1}{2}.$ Entonces $\alpha = 20^\circ$ o $\alpha = 100^\circ,$ pero este último hace que $AQ = 2\cos\alpha$ sea negativo, así que $\alpha = 20^\circ.$

Ahora $\angle ACB = 80^\circ$ y $\angle APQ = 140^\circ,$ así que $r = \frac{80}{140} = \frac{4}{7},$ y $\lfloor 1000r \rfloor = \left\lfloor \frac{4000}{7} \right\rfloor = 571.$

Let $\angle A = \alpha,$ and scale so $AP = PQ = QB = BC = 1.$ In triangle $APQ,$ the equal sides $AP = PQ$ give $\angle AQP = \angle A = \alpha,$ so $\angle APQ = 180^\circ - 2\alpha$ and, by the law of sines, $AQ = \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} = 2\cos\alpha.$ In triangle $ABC,$ $\angle B = \angle C = 90^\circ - \frac{\alpha}{2},$ so $\begin{aligned} AB &= \frac{BC \sin C}{\sin A} \\ &= \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin\alpha} = \frac{1}{2\sin(\alpha/2)}. \end{aligned}$

Since $AQ + QB = AB,$ $\begin{aligned} 2\cos\alpha + 1 &= \frac{1}{2\sin(\alpha/2)} \\ &\quad\Longrightarrow\quad 4\sin\tfrac{\alpha}{2}\cos\alpha \\ &\quad {}+ 2\sin\tfrac{\alpha}{2} = 1. \end{aligned}$ By the product-to-sum identity, $4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\alpha$ $= 2\sin\frac{3\alpha}{2}$ $- 2\sin\frac{\alpha}{2},$ so the equation collapses to $\sin\frac{3\alpha}{2} = \frac{1}{2}.$ Then $\alpha = 20^\circ$ or $\alpha = 100^\circ,$ but the latter makes $AQ = 2\cos\alpha$ negative, so $\alpha = 20^\circ.$

Now $\angle ACB = 80^\circ$ and $\angle APQ = 140^\circ,$ so $r = \frac{80}{140} = \frac{4}{7},$ and $\lfloor 1000r \rfloor = \left\lfloor \frac{4000}{7} \right\rfloor = 571.$

15.

Una pila de $2000$ cartas está etiquetada con los enteros del $1$ al $2000,$ con enteros diferentes en cartas diferentes. Las cartas de la pila no están en orden numérico. Se retira la carta superior de la pila y se coloca sobre la mesa, y la siguiente carta se mueve al fondo de la pila. La nueva carta superior se retira de la pila y se coloca sobre la mesa, a la derecha de la carta que ya está ahí, y la siguiente carta de la pila se mueve al fondo de la pila. El proceso, colocar la carta superior a la derecha de las cartas que ya están sobre la mesa y mover la siguiente carta de la pila al fondo de la pila, se repite hasta que todas las cartas están sobre la mesa. Se observa que, leyendo de izquierda a derecha, las etiquetas de las cartas están ahora en orden ascendente: $1, 2, 3, \ldots, 1999, 2000.$ En la pila original de cartas, ¿cuántas cartas había encima de la carta etiquetada $1999$ ?

A stack of $2000$ cards is labelled with the integers from $1$ to $2000,$ with different integers on different cards. The cards in the stack are not in numerical order. The top card is removed from the stack and placed on the table, and the next card is moved to the bottom of the stack. The new top card is removed from the stack and placed on the table, to the right of the card already there, and the next card in the stack is moved to the bottom of the stack. The process — placing the top card to the right of the cards already on the table and moving the next card in the stack to the bottom of the stack — is repeated until all cards are on the table. It is found that, reading from left to right, the labels on the cards are now in ascending order: $1, 2, 3, \ldots, 1999, 2000.$ In the original stack of cards, how many cards were above the card labelled $1999?$

Respuesta

Conceptos:permutaciones simulación de procesos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Numera las posiciones originales de $1$ (arriba) a $2000$ (abajo) y colócalas en una cola. Cada paso retira la posición del frente (que recibe la siguiente etiqueta $1, 2, 3, \ldots$ ) y envía el nuevo frente al fondo. Así que la carta etiquetada $1999$ es la penúltima carta retirada, y debemos hallar qué posición original sobrevive tanto tiempo.

La primera pasada retira las posiciones impares $1, 3, \ldots, 1999$ (etiquetas $1$ a $1000$ ) y, como termina enviando $2000$ al fondo, la siguiente pasada empieza de nuevo retirando el frente de la cola $2, 4, \ldots, 2000.$ Las pasadas sucesivas retiran por tanto $2, 6, \ldots, 1998$ (las posiciones $\equiv 2 \bmod 4$ ), luego $4, 12, \ldots, 1996,$ luego $8, 24, \ldots, 1992,$ luego $16, 48, \ldots, 1968, 2000$ (las $63$ posiciones $\equiv 16 \bmod 32$ ). Esa última pasada recorrió un número impar ( $125$ ) de cartas, así que la alternancia se desplaza: los $62$ múltiplos de $32$ supervivientes quedan ahora en la cola como $64, 96, \ldots, 1984, 32.$

Continuando el mismo patrón de retirada desde esa cola, las siguientes rondas retiran $64, 128, \ldots, 1984;$ luego $96, 224, \ldots, 1888, 32;$ luego $288, 544, \ldots, 1824;$ luego $160, 672, 1184, 1696;$ luego $416, 1440;$ y las dos últimas cartas retiradas son $928$ y $1952.$ Así que la etiqueta $1999$ corresponde a la carta en la posición original $928,$ que tenía $927$ cartas encima.

Number the original positions $1$ (top) through $2000$ (bottom) and put them in a queue. Each step removes the front position (which receives the next label $1, 2, 3, \ldots$ ) and sends the new front to the back. So the card labelled $1999$ is the next-to-last card removed, and we must find which original position survives that long.

The first pass removes the odd positions $1, 3, \ldots, 1999$ (labels $1$ through $1000$ ) and, since it ends by sending $2000$ to the back, the next pass again starts by removing the front of the queue $2, 4, \ldots, 2000.$ Successive passes therefore remove $2, 6, \ldots, 1998$ (the positions $\equiv 2 \bmod 4$ ), then $4, 12, \ldots, 1996,$ then $8, 24, \ldots, 1992,$ then $16, 48, \ldots, 1968, 2000$ (the $63$ positions $\equiv 16 \bmod 32$ ). That last pass ran through an odd number ( $125$ ) of cards, so the alternation shifts: the $62$ surviving multiples of $32$ now sit in the queue as $64, 96, \ldots, 1984, 32.$

Continuing the same removal pattern from that queue, the next rounds remove $64, 128, \ldots, 1984;$ then $96, 224, \ldots, 1888, 32;$ then $288, 544, \ldots, 1824;$ then $160, 672, 1184, 1696;$ then $416, 1440;$ and the final two cards removed are $928$ and $1952.$ So label $1999$ goes to the card at original position $928,$ which had $927$ cards above it.