Question

Un cono circular recto tiene una base de radio $600$ y altura $200\sqrt{7}.$ Una mosca parte de un punto en la superficie del cono cuya distancia al vértice del cono es $125,$ y se arrastra a lo largo de la superficie del cono hasta un punto en el lado exactamente opuesto del cono cuya distancia al vértice es $375\sqrt{2}.$ Halla la menor distancia que la mosca pudo haber recorrido.

A right circular cone has a base with radius $600$ and height $200\sqrt{7}.$ A fly starts at a point on the surface of the cone whose distance from the vertex of the cone is $125,$ and crawls along the surface of the cone to a point on the exact opposite side of the cone whose distance from the vertex is $375\sqrt{2}.$ Find the least distance that the fly could have crawled.

Respuesta

Solución:

La altura inclinada es $\sqrt{600^2 + (200\sqrt{7})^2}$ $= \sqrt{360000 + 280000}$ $= 800.$ Cortar el cono a lo largo de la generatriz que pasa por el punto de partida y desenrollarlo da un sector de radio $800$ cuyo arco tiene la circunferencia de la base $2\pi \cdot 600 = 1200\pi;$ como un círculo completo de radio $800$ tiene circunferencia $1600\pi,$ el ángulo central es $\frac{3}{4} \cdot 360^\circ = 270^\circ.$ Un punto en el lado exactamente opuesto del cono está a mitad de la vuelta, lo que en el sector desenrollado queda a $135^\circ$ de distancia.

El recorrido más corto es el segmento recto entre los dos puntos, a radios $125$ y $375\sqrt{2}$ con un ángulo de $135^\circ$ entre ellos. Por la ley de los cosenos, $\begin{aligned} d^2 &= 125^2 + (375\sqrt{2})^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 125 \cdot 375\sqrt{2} \cos 135^\circ \\ &= 15625 + 281250 + 93750 \\ &= 390625. \end{aligned}$

Por tanto $d = 625.$

The slant height is $\sqrt{600^2 + (200\sqrt{7})^2}$ $= \sqrt{360000 + 280000}$ $= 800.$ Cutting the cone along the ruling through the starting point and unrolling gives a sector of radius $800$ whose arc has the base circumference $2\pi \cdot 600 = 1200\pi;$ since a full circle of radius $800$ has circumference $1600\pi,$ the central angle is $\frac{3}{4} \cdot 360^\circ = 270^\circ.$ A point on the exact opposite side of the cone is halfway around, which in the unrolled sector is $135^\circ$ away.

The shortest crawl is the straight segment between the two points, at radii $125$ and $375\sqrt{2}$ with a $135^\circ$ angle between them. By the law of cosines, $\begin{aligned} d^2 &= 125^2 + (375\sqrt{2})^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 125 \cdot 375\sqrt{2} \cos 135^\circ \\ &= 15625 + 281250 + 93750 \\ &= 390625. \end{aligned}$

Thus $d = 625.$

2004 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años