Question

Considera las disposiciones de los $9$ números $1, 2, 3, \ldots, 9$ en un arreglo $3 \times 3.$ Para cada disposición, sean $a_1,$ $a_2,$ y $a_3$ las medianas de los números en las filas $1,$ $2,$ y $3,$ respectivamente, y luego sea $m$ la mediana de $\{a_1, a_2, a_3\}.$ Sea $Q$ el número de disposiciones para las que $m = 5.$ Halla el residuo cuando $Q$ se divide entre $1000.$

Consider arrangements of the $9$ numbers $1, 2, 3, \ldots, 9$ in a $3 \times 3$ array. For each such arrangement, let $a_1,$ $a_2,$ and $a_3$ be the medians of the numbers in rows $1,$ $2,$ and $3,$ respectively, and then let $m$ be the median of $\{a_1, a_2, a_3\}.$ Let $Q$ be the number of arrangements for which $m = 5.$ Find the remainder when $Q$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Renombra cada uno de $1, 2, 3, 4$ como L y cada uno de $6, 7, 8, 9$ como G. Si $5$ no es la mediana de ninguna fila, entonces ninguna mediana de fila es igual a $5,$ así que $m \neq 5.$ Por lo tanto la fila de $5$ debe contener una L y una G (leyéndose L5G en algún orden), y las otras dos filas deben aportar una mediana por debajo de $5$ y una por encima. Con las tres L y las tres G restantes, esas filas son LLL y GGG, o LLG y LGG.

Cuenta las disposiciones de letras: los tres tipos de fila se pueden asignar a las filas $1, 2, 3$ de $3! = 6$ maneras, y la fila L5G se puede ordenar de $3! = 6$ maneras. En el primer caso LLL y GGG tienen $1$ ordenamiento cada uno, dando $6 \cdot 6 \cdot 1 = 36$ patrones; en el segundo, LLG y LGG tienen $3$ ordenamientos cada uno, dando $6 \cdot 6 \cdot 9 = 324$ patrones. Eso es $360$ patrones de letras en total.

Finalmente las cuatro L se pueden llenar con $1, 2, 3, 4$ de $4!$ maneras y las cuatro G con $6, 7, 8, 9$ de $4!$ maneras, así que $Q = 360 \cdot 24^2 = 207360,$ cuyo residuo módulo $1000$ es $360.$

Rename each of $1, 2, 3, 4$ as L and each of $6, 7, 8, 9$ as G. If $5$ is not a row median, then no row median equals $5,$ so $m \neq 5.$ Thus $5$ 's row must contain one L and one G (reading L5G in some order), and the other two rows must supply one median below $5$ and one above. With the remaining three L's and three G's, those rows are either LLL and GGG, or LLG and LGG.

Count arrangements of letters: the three row types can be assigned to rows $1, 2, 3$ in $3! = 6$ ways, and the L5G row can be ordered in $3! = 6$ ways. In the first case LLL and GGG have $1$ ordering each, giving $6 \cdot 6 \cdot 1 = 36$ patterns; in the second, LLG and LGG each have $3$ orderings, giving $6 \cdot 6 \cdot 9 = 324$ patterns. That is $360$ letter patterns in all.

Finally the four L's can be filled with $1, 2, 3, 4$ in $4!$ ways and the four G's with $6, 7, 8, 9$ in $4!$ ways, so $Q = 360 \cdot 24^2 = 207360,$ whose remainder mod $1000$ is $360.$

2017 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años