Soluciones del 2017 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Se marcan quince puntos distintos en $\triangle ABC:$ los $3$ vértices $A,$ $B,$ y $C;$ $3$ puntos más en el lado $\overline{AB};$ $4$ puntos más en el lado $\overline{BC};$ y $5$ puntos más en el lado $\overline{CA}.$ Halla el número de triángulos con área positiva cuyos vértices están entre estos $15$ puntos.

Fifteen distinct points are designated on $\triangle ABC:$ the $3$ vertices $A,$ $B,$ and $C;$ $3$ other points on side $\overline{AB};$ $4$ other points on side $\overline{BC};$ and $5$ other points on side $\overline{CA}.$ Find the number of triangles with positive area whose vertices are among these $15$ points.

Respuesta

Conceptos:combinaciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Hay $\binom{15}{3} = 455$ formas de elegir $3$ de los puntos. Una elección no produce un triángulo de área positiva exactamente cuando los $3$ puntos son colineales, lo que ocurre solo cuando los tres están sobre un mismo lado del triángulo. Incluyendo sus extremos, el lado $\overline{AB}$ contiene $5$ puntos, $\overline{BC}$ contiene $6,$ y $\overline{CA}$ contiene $7,$ lo que da $\binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{7}{3}$ $= 10 + 20 + 35 = 65$ ternas colineales.

El número de triángulos es $455 - 65 = 390.$

There are $\binom{15}{3} = 455$ ways to choose $3$ of the points. A choice fails to give a triangle of positive area exactly when the $3$ points are collinear, which happens only when all three lie on one side of the triangle. Including its endpoints, side $\overline{AB}$ contains $5$ points, $\overline{BC}$ contains $6,$ and $\overline{CA}$ contains $7,$ giving $\binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{7}{3}$ $= 10 + 20 + 35 = 65$ collinear triples.

The number of triangles is $455 - 65 = 390.$

2.

Cuando cada uno de $702,$ $787,$ y $855$ se divide entre el entero positivo $m,$ el residuo es siempre el entero positivo $r.$ Cuando cada uno de $412,$ $722,$ y $815$ se divide entre el entero positivo $n,$ el residuo es siempre el entero positivo $s \neq r.$ Halla $m + n + r + s.$

When each of $702,$ $787,$ and $855$ is divided by the positive integer $m,$ the remainder is always the positive integer $r.$ When each of $412,$ $722,$ and $815$ is divided by the positive integer $n,$ the remainder is always the positive integer $s \neq r.$ Find $m + n + r + s.$

Respuesta

Conceptos:máximo común divisor aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Los números que dejan residuos iguales al dividirse entre $m$ difieren por múltiplos de $m,$ así que $m$ divide tanto a $787 - 702 = 85$ como a $855 - 787 = 68.$ Como $\gcd(85, 68) = 17$ y $m$ debe superar el residuo positivo $r,$ obtenemos $m = 17,$ y $r = 702 - 41 \cdot 17 = 5.$

De manera similar, $n$ divide tanto a $722 - 412 = 310$ como a $815 - 722 = 93,$ y $\gcd(310, 93) = 31,$ así que $n = 31$ y $s = 412 - 13 \cdot 31 = 9,$ que en efecto difiere de $r.$

La suma pedida es $17 + 31 + 5 + 9 = 62.$

Numbers leaving equal remainders upon division by $m$ differ by multiples of $m,$ so $m$ divides both $787 - 702 = 85$ and $855 - 787 = 68.$ Since $\gcd(85, 68) = 17$ and $m$ must exceed the positive remainder $r,$ we get $m = 17,$ and $r = 702 - 41 \cdot 17 = 5.$

Similarly $n$ divides both $722 - 412 = 310$ and $815 - 722 = 93,$ and $\gcd(310, 93) = 31,$ so $n = 31$ and $s = 412 - 13 \cdot 31 = 9,$ which indeed differs from $r.$

The requested sum is $17 + 31 + 5 + 9 = 62.$

3.

Para un entero positivo $n,$ sea $d_n$ el dígito de las unidades de $1 + 2 + 3 + \cdots + n.$ Halla el residuo cuando $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ se divide entre $1000.$

For a positive integer $n,$ let $d_n$ be the units digit of $1 + 2 + 3 + \cdots + n.$ Find the remainder when $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:número triangular dígito de las unidades reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Aquí $d_n$ es el dígito de las unidades del número triangular $\frac{n(n+1)}{2}.$ Como $\frac{(n+20)(n+21)}{2}$ $- \frac{n(n+1)}{2} = 20n + 210$ es un múltiplo de $10,$ la sucesión $d_n$ es periódica con período $20.$ Calculando un período, $\begin{aligned} &(d_1, d_2, \ldots, d_{20}) \\ &\quad \tiny = (1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0), \end{aligned}$ que suma $70.$

Como $2017 = 100 \cdot 20 + 17,$ el total es $100 \cdot 70$ más los primeros $17$ términos del período, que suman $70 - (1 + 0 + 0) = 69.$ La suma es $7069,$ así que el residuo es $69.$

Here $d_n$ is the units digit of the triangular number $\frac{n(n+1)}{2}.$ Since $\frac{(n+20)(n+21)}{2}$ $- \frac{n(n+1)}{2} = 20n + 210$ is a multiple of $10,$ the sequence $d_n$ is periodic with period $20.$ Computing one period, $\begin{aligned} &(d_1, d_2, \ldots, d_{20}) \\ &\quad \tiny = (1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0), \end{aligned}$ which sums to $70.$

Since $2017 = 100 \cdot 20 + 17,$ the total is $100 \cdot 70$ plus the first $17$ terms of the period, which sum to $70 - (1 + 0 + 0) = 69.$ The sum is $7069,$ so the remainder is $69.$

4.

Una pirámide tiene una base triangular con lados de longitud $20,$ $20,$ y $24.$ Las tres aristas de la pirámide que van de las tres esquinas de la base al cuarto vértice de la pirámide tienen todas longitud $25.$ El volumen de la pirámide es $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n.$

A pyramid has a triangular base with side lengths $20,$ $20,$ and $24.$ The three edges of the pyramid from the three corners of the base to the fourth vertex of the pyramid all have length $25.$ The volume of the pyramid is $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:pirámide circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio Teorema de Pitágoras volumen

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Como el ápice es equidistante de los tres vértices de la base, su pie es el circuncentro de la base. La base es isósceles con lados $20, 20, 24:$ su altura al lado de longitud $24$ es $\sqrt{20^2 - 12^2} = 16,$ así que su área es $K = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192,$ y su circunradio es $R = \frac{abc}{4K} = \frac{20 \cdot 20 \cdot 24}{4 \cdot 192} = \frac{25}{2}.$

La altura de la pirámide es $\sqrt{25^2 - \left(\frac{25}{2}\right)^2} = \frac{25\sqrt{3}}{2},$ así que el volumen es $\frac{1}{3} \cdot 192 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{2} = 800\sqrt{3}.$ Entonces $m + n = 800 + 3 = 803.$

Since the apex is equidistant from all three base vertices, its foot is the circumcenter of the base. The base is isosceles with sides $20, 20, 24:$ its altitude to the side of length $24$ is $\sqrt{20^2 - 12^2} = 16,$ so its area is $K = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192,$ and its circumradius is $R = \frac{abc}{4K} = \frac{20 \cdot 20 \cdot 24}{4 \cdot 192} = \frac{25}{2}.$

The height of the pyramid is $\sqrt{25^2 - \left(\frac{25}{2}\right)^2} = \frac{25\sqrt{3}}{2},$ so the volume is $\frac{1}{3} \cdot 192 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{2} = 800\sqrt{3}.$ Then $m + n = 800 + 3 = 803.$

5.

Un número racional escrito en base ocho es $\underline{a}\,\underline{b}.\underline{c}\,\underline{d},$ donde todos los dígitos son no nulos. El mismo número en base doce es $\underline{b}\,\underline{b}.\underline{b}\,\underline{a}.$ Halla el número en base diez $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}.$

A rational number written in base eight is $\underline{a}\,\underline{b}.\underline{c}\,\underline{d},$ where all digits are nonzero. The same number in base twelve is $\underline{b}\,\underline{b}.\underline{b}\,\underline{a}.$ Find the base-ten number $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}.$

Respuesta

Conceptos:base numérica valor posicional análisis por casos

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Las partes enteras deben ser iguales: $8a + b = 12b + b,$ así que $8a = 12b,$ es decir $2a = 3b.$ Como $a$ y $b$ son dígitos no nulos en base ocho (a lo sumo $7$ ), las únicas opciones son $(a, b) = (3, 2)$ y $(6, 4).$

Las partes fraccionarias también deben coincidir: $\frac{c}{8} + \frac{d}{64} = \frac{b}{12} + \frac{a}{144},$ es decir $\frac{8c + d}{64} = \frac{12b + a}{144}.$ Para $(a, b) = (6, 4)$ el lado derecho es $\frac{54}{144} = \frac{24}{64},$ lo que fuerza $8c + d = 24,$ que no tiene solución con ambos dígitos no nulos y menores que $8.$ Para $(a, b) = (3, 2)$ el lado derecho es $\frac{27}{144} = \frac{12}{64},$ así que $8c + d = 12,$ dando $c = 1$ y $d = 4.$

En efecto, $32.14_{\text{eight}} = 22.23_{\text{twelve}},$ y el número pedido $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ es $321.$

The integer parts must be equal: $8a + b = 12b + b,$ so $8a = 12b,$ that is $2a = 3b.$ Since $a$ and $b$ are nonzero base-eight digits (at most $7$ ), the only options are $(a, b) = (3, 2)$ and $(6, 4).$

The fractional parts must also match: $\frac{c}{8} + \frac{d}{64} = \frac{b}{12} + \frac{a}{144},$ i.e. $\frac{8c + d}{64} = \frac{12b + a}{144}.$ For $(a, b) = (6, 4)$ the right side is $\frac{54}{144} = \frac{24}{64},$ forcing $8c + d = 24,$ which has no solution with both digits nonzero and less than $8.$ For $(a, b) = (3, 2)$ the right side is $\frac{27}{144} = \frac{12}{64},$ so $8c + d = 12,$ giving $c = 1$ and $d = 4.$

Indeed $32.14_{\text{eight}} = 22.23_{\text{twelve}},$ and the requested number $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ is $321.$

6.

Se circunscribe una circunferencia a un triángulo isósceles cuyos dos ángulos congruentes tienen medida en grados $x.$ Se eligen dos puntos independientemente y de manera uniforme al azar sobre la circunferencia, y se traza una cuerda entre ellos. La probabilidad de que la cuerda corte al triángulo es $\frac{14}{25}.$ Halla la diferencia entre el mayor y el menor valor posible de $x.$

A circle is circumscribed around an isosceles triangle whose two congruent angles have degree measure $x.$ Two points are chosen independently and uniformly at random on the circle, and a chord is drawn between them. The probability that the chord intersects the triangle is $\frac{14}{25}.$ Find the difference between the largest and smallest possible values of $x.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad geométrica ángulo inscrito cuadrática

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Cada ángulo inscrito del triángulo subtiende un arco del doble de su medida, así que los vértices dividen la circunferencia en arcos de $2x,$ $2x,$ y $360 - 4x$ grados. La cuerda no corta al triángulo exactamente cuando ambos puntos aleatorios caen en el mismo arco, lo que tiene probabilidad $\begin{aligned} &\left(\frac{2x}{360}\right)^2 + \left(\frac{2x}{360}\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{360 - 4x}{360}\right)^2 \\ &= 1 - \frac{14}{25} = \frac{11}{25}. \end{aligned}$

Haciendo $y = \frac{x}{180},$ esto se lee $2y^2 + (1 - 2y)^2 = \frac{11}{25},$ que se simplifica a $75y^2 - 50y + 7 = 0,$ con raíces $y = \frac{1}{5}$ y $y = \frac{7}{15}.$ Estas dan $x = 36$ y $x = 84,$ ambos ángulos de base legítimos de un triángulo isósceles.

La diferencia pedida es $84 - 36 = 48.$

Each inscribed angle of the triangle subtends an arc of twice its measure, so the vertices split the circle into arcs of $2x,$ $2x,$ and $360 - 4x$ degrees. The chord fails to intersect the triangle exactly when both random points fall in the same arc, which has probability $\begin{aligned} &\left(\frac{2x}{360}\right)^2 + \left(\frac{2x}{360}\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{360 - 4x}{360}\right)^2 \\ &= 1 - \frac{14}{25} = \frac{11}{25}. \end{aligned}$

Setting $y = \frac{x}{180},$ this reads $2y^2 + (1 - 2y)^2 = \frac{11}{25},$ which simplifies to $75y^2 - 50y + 7 = 0,$ with roots $y = \frac{1}{5}$ and $y = \frac{7}{15}.$ These give $x = 36$ and $x = 84,$ both legitimate base angles of an isosceles triangle.

The requested difference is $84 - 36 = 48.$

7.

Para enteros no negativos $a$ y $b$ con $a + b \le 6,$ sea $T(a, b) = \binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{a+b}.$ Sea $S$ la suma de todos los $T(a, b),$ donde $a$ y $b$ son enteros no negativos con $a + b \le 6.$ Halla el residuo cuando $S$ se divide entre $1000.$

For nonnegative integers $a$ and $b$ with $a + b \le 6,$ let $T(a, b) = \binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{a+b}.$ Let $S$ denote the sum of all $T(a, b),$ where $a$ and $b$ are nonnegative integers with $a + b \le 6.$ Find the remainder when $S$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:combinaciones doble conteo

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Por la simetría $\binom{6}{a+b} = \binom{6}{6-(a+b)},$ sustituir $c = 6 - a - b$ convierte la suma en $S = \sum_{a+b+c=6} \binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{c}.$

Cada término cuenta las formas de elegir $a$ elementos de un conjunto de $6$ elementos, $b$ de un segundo, y $c$ de un tercero. Sumado sobre todos los $a + b + c = 6,$ esto cuenta cada forma de elegir $6$ elementos del conjunto combinado de $18$ elementos, así que $S = \binom{18}{6} = 18564.$

El residuo al dividir entre $1000$ es $564.$

By the symmetry $\binom{6}{a+b} = \binom{6}{6-(a+b)},$ substituting $c = 6 - a - b$ turns the sum into $S = \sum_{a+b+c=6} \binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{c}.$

Each term counts the ways to choose $a$ elements from one $6$ -element set, $b$ from a second, and $c$ from a third. Summed over all $a + b + c = 6,$ this counts every way to choose $6$ elements from the combined $18$ -element set, so $S = \binom{18}{6} = 18564.$

The remainder upon division by $1000$ is $564.$

8.

Se eligen dos números reales $a$ y $b$ independientemente y de manera uniforme al azar del intervalo $(0, 75).$ Sean $O$ y $P$ dos puntos en el plano con $OP = 200.$ Sean $Q$ y $R$ puntos en el mismo lado de la recta $OP$ tales que las medidas en grados de $\angle POQ$ y $\angle POR$ son $a$ y $b,$ respectivamente, y $\angle OQP$ y $\angle ORP$ son ambos ángulos rectos. La probabilidad de que $QR \le 100$ es igual a $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Two real numbers $a$ and $b$ are chosen independently and uniformly at random from the interval $(0, 75).$ Let $O$ and $P$ be two points in the plane with $OP = 200.$ Let $Q$ and $R$ be points on the same side of line $OP$ such that the degree measures of $\angle POQ$ and $\angle POR$ are $a$ and $b,$ respectively, and $\angle OQP$ and $\angle ORP$ are both right angles. The probability that $QR \le 100$ is equal to $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad geométrica ángulo inscrito cuerda trigonometría

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Como $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ,$ tanto $Q$ como $R$ están sobre la circunferencia de diámetro $\overline{OP},$ cuyo radio es $100.$ El ángulo $\angle QOR = |a - b|$ es un ángulo inscrito en esta circunferencia, así que la cuerda satisface $QR = 2 \cdot 100 \cdot \sin|a - b|.$ Como $|a - b| \lt 75^\circ,$ la condición $QR \le 100,$ es decir $\sin|a - b| \le \frac{1}{2},$ equivale a $|a - b| \le 30.$

En el cuadrado $75 \times 75$ de pares $(a, b)$ igualmente probables, la región $|a - b| \gt 30$ consta de dos triángulos rectángulos con catetos $75 - 30 = 45,$ así que la probabilidad es $1 - \frac{45^2}{75^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$

Por lo tanto $m + n = 16 + 25 = 41.$

Since $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ,$ both $Q$ and $R$ lie on the circle with diameter $\overline{OP},$ whose radius is $100.$ The angle $\angle QOR = |a - b|$ is an inscribed angle in this circle, so the chord satisfies $QR = 2 \cdot 100 \cdot \sin|a - b|.$ Because $|a - b| \lt 75^\circ,$ the condition $QR \le 100,$ i.e. $\sin|a - b| \le \frac{1}{2},$ is equivalent to $|a - b| \le 30.$

In the $75 \times 75$ square of equally likely pairs $(a, b),$ the region $|a - b| \gt 30$ consists of two right triangles with legs $75 - 30 = 45,$ so the probability is $1 - \frac{45^2}{75^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$

Therefore $m + n = 16 + 25 = 41.$

9.

Sea $a_{10} = 10,$ y para cada entero $n \gt 10$ sea $a_n = 100a_{n-1} + n.$ Halla el menor $n \gt 10$ tal que $a_n$ sea múltiplo de $99.$

Let $a_{10} = 10,$ and for each integer $n \gt 10$ let $a_n = 100a_{n-1} + n.$ Find the least $n \gt 10$ such that $a_n$ is a multiple of $99.$

Respuesta

Conceptos:aritmética modular recursión análisis por casos

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Como $100 \equiv 1 \pmod{99},$ la recurrencia da $a_n \equiv a_{n-1} + n \pmod{99},$ así que $\begin{aligned} &a_n \equiv 10 + 11 + \cdots + n \\ &\quad \small = \frac{(n + 10)(n - 9)}{2} \pmod{99}. \end{aligned}$ Necesitamos $99 \mid \frac{(n+10)(n-9)}{2}.$ Uno de $n + 10$ y $n - 9$ es par, así que esto es lo mismo que exigir que $9$ y $11$ dividan cada uno al producto. Como los dos factores difieren en $19,$ no pueden ser ambos múltiplos de $3.$

Así que $9$ debe dividir por completo a un factor y $11$ al otro (o bien un factor es divisible entre $99$ ). Revisando los casos: $99 \mid n - 9$ por primera vez en $n = 108;$ $99 \mid n + 10$ por primera vez en $n = 89;$ $9 \mid n + 10$ con $11 \mid n - 9$ por primera vez en $n = 53;$ y $11 \mid n + 10$ con $9 \mid n - 9$ por primera vez en $n = 45.$

El menor es $n = 45,$ donde $\frac{55 \cdot 36}{2} = 990$ es en efecto múltiplo de $99.$

Because $100 \equiv 1 \pmod{99},$ the recurrence gives $a_n \equiv a_{n-1} + n \pmod{99},$ so $\begin{aligned} &a_n \equiv 10 + 11 + \cdots + n \\ &\quad \small = \frac{(n + 10)(n - 9)}{2} \pmod{99}. \end{aligned}$ We need $99 \mid \frac{(n+10)(n-9)}{2}.$ One of $n + 10$ and $n - 9$ is even, so this is the same as requiring $9$ and $11$ each to divide the product. Since the two factors differ by $19,$ they cannot both be multiples of $3.$

So $9$ must divide one factor entirely and $11$ the other (or one factor is divisible by $99$ ). Checking the cases: $99 \mid n - 9$ first at $n = 108;$ $99 \mid n + 10$ first at $n = 89;$ $9 \mid n + 10$ with $11 \mid n - 9$ first at $n = 53;$ and $11 \mid n + 10$ with $9 \mid n - 9$ first at $n = 45.$

The least is $n = 45,$ where $\frac{55 \cdot 36}{2} = 990$ is indeed a multiple of $99.$

10.

Sean $z_1 = 18 + 83i,$ $z_2 = 18 + 39i,$ y $z_3 = 78 + 99i,$ donde $i = \sqrt{-1}.$ Sea $z$ el único número complejo con las propiedades de que $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \cdot \frac{z - z_2}{z - z_3}$ es un número real y la parte imaginaria de $z$ es la mayor posible. Halla la parte real de $z.$

Let $z_1 = 18 + 83i,$ $z_2 = 18 + 39i,$ and $z_3 = 78 + 99i,$ where $i = \sqrt{-1}.$ Let $z$ be the unique complex number with the properties that $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \cdot \frac{z - z_2}{z - z_3}$ is a real number and the imaginary part of $z$ is the greatest possible. Find the real part of $z.$

Respuesta

Conceptos:número complejo ángulo inscrito mediatriz

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

El argumento de $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ es el ángulo $\angle z_2 z_1 z_3,$ y el argumento de $\frac{z - z_2}{z - z_3}$ es el ángulo entre $\overline{zz_2}$ y $\overline{zz_3}.$ Su producto es real exactamente cuando estos ángulos son iguales o suplementarios, lo que por el teorema del ángulo inscrito ocurre exactamente cuando $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ y $z$ son concíclicos. Así que $z$ está sobre la circunferencia circunscrita de $z_1, z_2, z_3.$

El segmento de $18 + 39i$ a $18 + 83i$ es vertical, así que su mediatriz es la recta horizontal $y = 61.$ El segmento de $z_2 = 18 + 39i$ a $z_3 = 78 + 99i$ tiene pendiente $1$ y punto medio $(48, 69),$ así que su mediatriz es $y - 69 = -(x - 48).$ Haciendo $y = 61$ se obtiene $x = 56,$ así que el centro es $56 + 61i.$

El punto de la circunferencia con parte imaginaria máxima está directamente sobre el centro, así que la parte real de $z$ es $56.$

The argument of $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ is the angle $\angle z_2 z_1 z_3,$ and the argument of $\frac{z - z_2}{z - z_3}$ is the angle between $\overline{zz_2}$ and $\overline{zz_3}.$ Their product is real exactly when these angles are equal or supplementary, which by the inscribed angle theorem happens exactly when $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ and $z$ are concyclic. So $z$ lies on the circumcircle of $z_1, z_2, z_3.$

The segment from $18 + 39i$ to $18 + 83i$ is vertical, so its perpendicular bisector is the horizontal line $y = 61.$ The segment from $z_2 = 18 + 39i$ to $z_3 = 78 + 99i$ has slope $1$ and midpoint $(48, 69),$ so its perpendicular bisector is $y - 69 = -(x - 48).$ Setting $y = 61$ gives $x = 56,$ so the center is $56 + 61i.$

The point of the circle with maximal imaginary part is directly above the center, so the real part of $z$ is $56.$

11.

Considera las disposiciones de los $9$ números $1, 2, 3, \ldots, 9$ en un arreglo $3 \times 3.$ Para cada disposición, sean $a_1,$ $a_2,$ y $a_3$ las medianas de los números en las filas $1,$ $2,$ y $3,$ respectivamente, y luego sea $m$ la mediana de $\{a_1, a_2, a_3\}.$ Sea $Q$ el número de disposiciones para las que $m = 5.$ Halla el residuo cuando $Q$ se divide entre $1000.$

Consider arrangements of the $9$ numbers $1, 2, 3, \ldots, 9$ in a $3 \times 3$ array. For each such arrangement, let $a_1,$ $a_2,$ and $a_3$ be the medians of the numbers in rows $1,$ $2,$ and $3,$ respectively, and then let $m$ be the median of $\{a_1, a_2, a_3\}.$ Let $Q$ be the number of arrangements for which $m = 5.$ Find the remainder when $Q$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:mediana (datos)análisis por casos permutaciones

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Renombra cada uno de $1, 2, 3, 4$ como L y cada uno de $6, 7, 8, 9$ como G. Si $5$ no es la mediana de ninguna fila, entonces ninguna mediana de fila es igual a $5,$ así que $m \neq 5.$ Por lo tanto la fila de $5$ debe contener una L y una G (leyéndose L5G en algún orden), y las otras dos filas deben aportar una mediana por debajo de $5$ y una por encima. Con las tres L y las tres G restantes, esas filas son LLL y GGG, o LLG y LGG.

Cuenta las disposiciones de letras: los tres tipos de fila se pueden asignar a las filas $1, 2, 3$ de $3! = 6$ maneras, y la fila L5G se puede ordenar de $3! = 6$ maneras. En el primer caso LLL y GGG tienen $1$ ordenamiento cada uno, dando $6 \cdot 6 \cdot 1 = 36$ patrones; en el segundo, LLG y LGG tienen $3$ ordenamientos cada uno, dando $6 \cdot 6 \cdot 9 = 324$ patrones. Eso es $360$ patrones de letras en total.

Finalmente las cuatro L se pueden llenar con $1, 2, 3, 4$ de $4!$ maneras y las cuatro G con $6, 7, 8, 9$ de $4!$ maneras, así que $Q = 360 \cdot 24^2 = 207360,$ cuyo residuo módulo $1000$ es $360.$

Rename each of $1, 2, 3, 4$ as L and each of $6, 7, 8, 9$ as G. If $5$ is not a row median, then no row median equals $5,$ so $m \neq 5.$ Thus $5$ 's row must contain one L and one G (reading L5G in some order), and the other two rows must supply one median below $5$ and one above. With the remaining three L's and three G's, those rows are either LLL and GGG, or LLG and LGG.

Count arrangements of letters: the three row types can be assigned to rows $1, 2, 3$ in $3! = 6$ ways, and the L5G row can be ordered in $3! = 6$ ways. In the first case LLL and GGG have $1$ ordering each, giving $6 \cdot 6 \cdot 1 = 36$ patterns; in the second, LLG and LGG each have $3$ orderings, giving $6 \cdot 6 \cdot 9 = 324$ patterns. That is $360$ letter patterns in all.

Finally the four L's can be filled with $1, 2, 3, 4$ in $4!$ ways and the four G's with $6, 7, 8, 9$ in $4!$ ways, so $Q = 360 \cdot 24^2 = 207360,$ whose remainder mod $1000$ is $360.$

12.

Llamamos a un conjunto $S$ libre de productos si no existen $a, b, c \in S$ (no necesariamente distintos) tales que $ab = c.$ Por ejemplo, el conjunto vacío y el conjunto $\{16, 20\}$ son libres de productos, mientras que los conjuntos $\{4, 16\}$ y $\{2, 8, 16\}$ no son libres de productos. Halla el número de subconjuntos libres de productos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}.$

Call a set $S$ product-free if there do not exist $a, b, c \in S$ (not necessarily distinct) such that $ab = c.$ For example, the empty set and the set $\{16, 20\}$ are product-free, whereas the sets $\{4, 16\}$ and $\{2, 8, 16\}$ are not product-free. Find the number of product-free subsets of the set $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}.$

Respuesta

Conceptos:subconjuntos análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Como $1 \cdot 1 = 1,$ ningún conjunto libre de productos contiene a $1.$ Separa según el elemento más pequeño $t.$ Si $t \ge 4,$ todo producto de dos elementos es al menos $16 \gt 10,$ así que todo subconjunto de $\{4, 5, \ldots, 10\}$ sirve: $2^7 = 128$ subconjuntos, incluyendo el conjunto vacío.

Si $t = 2:$ entonces $4 \notin S$ (pues $2 \cdot 2 = 4$ ), mientras que $7$ y $8$ no tienen restricción ( $2$ opciones cada uno). Entre $\{3, 6, 9\},$ las restricciones $2 \cdot 3 = 6$ y $3 \cdot 3 = 9$ dejan exactamente $\varnothing, \{3\}, \{6\}, \{9\}, \{6, 9\}$ , es decir $5$ opciones. Entre $\{5, 10\},$ la restricción $2 \cdot 5 = 10$ deja $3$ opciones. Eso da $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3 = 60$ conjuntos. Si $t = 3:$ entonces $9 \notin S$ (pues $3 \cdot 3 = 9$ ), y se puede añadir cualquier subconjunto de $\{4, 5, 6, 7, 8, 10\}$ ya que todos los demás productos superan $10:$ $2^6 = 64$ conjuntos.

En total hay $128 + 60 + 64 = 252$ subconjuntos libres de productos.

Since $1 \cdot 1 = 1,$ no product-free set contains $1.$ Split by the least element $t.$ If $t \ge 4,$ any product of two elements is at least $16 \gt 10,$ so every subset of $\{4, 5, \ldots, 10\}$ works: $2^7 = 128$ subsets, including the empty set.

If $t = 2:$ then $4 \notin S$ (as $2 \cdot 2 = 4$ ), while $7$ and $8$ are unrestricted ( $2$ choices each). Among $\{3, 6, 9\},$ the constraints $2 \cdot 3 = 6$ and $3 \cdot 3 = 9$ leave exactly $\varnothing, \{3\}, \{6\}, \{9\}, \{6, 9\}$ — $5$ choices. Among $\{5, 10\},$ the constraint $2 \cdot 5 = 10$ leaves $3$ choices. That gives $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3 = 60$ sets. If $t = 3:$ then $9 \notin S$ (as $3 \cdot 3 = 9$ ), and any subset of $\{4, 5, 6, 7, 8, 10\}$ may be added since all other products exceed $10:$ $2^6 = 64$ sets.

In total there are $128 + 60 + 64 = 252$ product-free subsets.

13.

Para todo $m \ge 2,$ sea $Q(m)$ el menor entero positivo con la siguiente propiedad: para todo $n \ge Q(m),$ siempre hay un cubo perfecto $k^3$ en el rango $n \lt k^3 \le m \cdot n.$ Halla el residuo cuando $\sum_{m=2}^{2017} Q(m)$ se divide entre $1000.$

For every $m \ge 2,$ let $Q(m)$ be the least positive integer with the following property: For every $n \ge Q(m),$ there is always a perfect cube $k^3$ in the range $n \lt k^3 \le m \cdot n.$ Find the remainder when $\sum_{m=2}^{2017} Q(m)$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:potencia perfecta acotación a casos límite análisis por casos

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Si $k^3 \le n \lt (k+1)^3,$ entonces el intervalo $(n, mn]$ contiene el cubo $(k+1)^3$ siempre que $(k+1)^3 \le m k^3,$ es decir $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le m.$ Como $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le 8$ para todo $k \ge 1,$ todo $m \ge 8$ tiene $Q(m) = 1.$

Para $4 \le m \le 7:$ $n = 1$ falla ya que $(1, m]$ no contiene ningún cubo, pero para $n \ge 2$ el intervalo sirve: $8 \le 4n$ cubre $2 \le n \le 7,$ y $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le \frac{27}{8} \lt 4$ cubre $k \ge 2.$ Así que $Q(4) = Q(5)$ $= Q(6) = Q(7) = 2.$ Para $m = 3:$ $n = 8$ falla (ningún cubo en $(8, 24]$ ), mientras que $27 \le 3n$ cubre $9 \le n \le 26$ y $\left(\frac{4}{3}\right)^3 \lt 3$ cubre $k \ge 3,$ así que $Q(3) = 9.$ Para $m = 2:$ $n = 31$ falla (ningún cubo en $(31, 62]$ ), mientras que $64 \le 2n$ cubre $32 \le n \le 63$ y $\left(\frac{5}{4}\right)^3 \lt 2$ cubre $k \ge 4,$ así que $Q(2) = 32.$

Por lo tanto $\begin{aligned} &\sum_{m=2}^{2017} Q(m) \\ &\quad = 32 + 9 + 4 \cdot 2 + 2010 \cdot 1 \\ &\quad = 2059, \end{aligned}$ y el residuo es $59.$

If $k^3 \le n \lt (k+1)^3,$ then the interval $(n, mn]$ contains the cube $(k+1)^3$ as long as $(k+1)^3 \le m k^3,$ i.e. $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le m.$ Since $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le 8$ for all $k \ge 1,$ every $m \ge 8$ has $Q(m) = 1.$

For $4 \le m \le 7:$ $n = 1$ fails since $(1, m]$ contains no cube, but for $n \ge 2$ the interval works: $8 \le 4n$ covers $2 \le n \le 7,$ and $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le \frac{27}{8} \lt 4$ covers $k \ge 2.$ So $Q(4) = Q(5)$ $= Q(6) = Q(7) = 2.$ For $m = 3:$ $n = 8$ fails (no cube in $(8, 24]$ ), while $27 \le 3n$ covers $9 \le n \le 26$ and $\left(\frac{4}{3}\right)^3 \lt 3$ covers $k \ge 3,$ so $Q(3) = 9.$ For $m = 2:$ $n = 31$ fails (no cube in $(31, 62]$ ), while $64 \le 2n$ covers $32 \le n \le 63$ and $\left(\frac{5}{4}\right)^3 \lt 2$ covers $k \ge 4,$ so $Q(2) = 32.$

Therefore $\begin{aligned} &\sum_{m=2}^{2017} Q(m) \\ &\quad = 32 + 9 + 4 \cdot 2 + 2010 \cdot 1 \\ &\quad = 2059, \end{aligned}$ and the remainder is $59.$

14.

Sean $a \gt 1$ y $x \gt 1$ que satisfacen $\small \log_a\!\left(\log_a\!\left(\log_a 2\right) + \log_a 24 - 128\right)$ $= 128$ y $\log_a\!\left(\log_a x\right) = 256.$ Halla el residuo cuando $x$ se divide entre $1000.$

Let $a \gt 1$ and $x \gt 1$ satisfy $\small \log_a\!\left(\log_a\!\left(\log_a 2\right) + \log_a 24 - 128\right)$ $= 128$ and $\log_a\!\left(\log_a x\right) = 256.$ Find the remainder when $x$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo exponenciación modular Función φ de Euler Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Exponenciando dos veces la primera ecuación: $\log_a(\log_a 2) + \log_a 24 - 128$ $= a^{128}$ se convierte en $\log_a(24 \log_a 2) = 128 + a^{128},$ así que $24 \log_a 2 = a^{128} \cdot a^{a^{128}},$ es decir $2^{24} = a^{\left(a^{128} \cdot a^{a^{128}}\right)}.$ Haciendo $t = a^{a^{128}},$ el lado derecho es $t^t$ y el lado izquierdo es $\left(2^3\right)^{2^3},$ así que por la monotonía estricta de $t^t$ obtenemos $a^{a^{128}} = 8.$ Escribiendo $c = \log_2 a \gt 0,$ esto dice $c \cdot 2^{128c} = 3,$ que es creciente en $c$ y se satisface con $c = \frac{3}{64}:$ en efecto $\frac{3}{64} \cdot 2^6 = 3.$ Así que $a = 2^{3/64}.$

La segunda ecuación da $x = a^{a^{256}}.$ Aquí $a^{256} = 2^{256 \cdot 3/64} = 2^{12} = 4096,$ así que $x = a^{4096} = 2^{4096 \cdot 3/64} = 2^{192}.$

Claramente $2^{192} \equiv 0 \pmod{8}.$ Por el teorema de Euler $2^{100} \equiv 1 \pmod{125},$ así que $2^{192} \equiv 2^{-8} \pmod{125},$ el inverso de $256 \equiv 6.$ Como $6 \cdot 21 = 126 \equiv 1 \pmod{125},$ obtenemos $2^{192} \equiv 21 \pmod{125}.$ El único residuo módulo $1000$ que es $0$ módulo $8$ y $21$ módulo $125$ es $896.$

Exponentiating the first equation twice: $\log_a(\log_a 2) + \log_a 24 - 128$ $= a^{128}$ becomes $\log_a(24 \log_a 2) = 128 + a^{128},$ so $24 \log_a 2 = a^{128} \cdot a^{a^{128}},$ i.e. $2^{24} = a^{\left(a^{128} \cdot a^{a^{128}}\right)}.$ Setting $t = a^{a^{128}},$ the right side is $t^t$ and the left side is $\left(2^3\right)^{2^3},$ so by the strict monotonicity of $t^t$ we get $a^{a^{128}} = 8.$ Writing $c = \log_2 a \gt 0,$ this says $c \cdot 2^{128c} = 3,$ which is increasing in $c$ and satisfied by $c = \frac{3}{64}:$ indeed $\frac{3}{64} \cdot 2^6 = 3.$ So $a = 2^{3/64}.$

The second equation gives $x = a^{a^{256}}.$ Here $a^{256} = 2^{256 \cdot 3/64} = 2^{12} = 4096,$ so $x = a^{4096} = 2^{4096 \cdot 3/64} = 2^{192}.$

Clearly $2^{192} \equiv 0 \pmod{8}.$ By Euler's theorem $2^{100} \equiv 1 \pmod{125},$ so $2^{192} \equiv 2^{-8} \pmod{125},$ the inverse of $256 \equiv 6.$ Since $6 \cdot 21 = 126 \equiv 1 \pmod{125},$ we get $2^{192} \equiv 21 \pmod{125}.$ The unique residue mod $1000$ that is $0$ mod $8$ and $21$ mod $125$ is $896.$

15.

El área del menor triángulo equilátero con un vértice en cada uno de los lados del triángulo rectángulo de lados de longitud $2\sqrt{3},$ $5,$ y $\sqrt{37},$ como se muestra, es $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $n$ son primos entre sí, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + p.$

The area of the smallest equilateral triangle with one vertex on each of the sides of the right triangle with side lengths $2\sqrt{3},$ $5,$ and $\sqrt{37},$ as shown, is $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $n$ are relatively prime, and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Conceptos:triángulo equilátero geometría analítica identidad trigonométrica optimización

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Coloca el ángulo recto en el origen con vértices $(0, 0),$ $(5, 0),$ y $(0, 2\sqrt{3}),$ de modo que la hipotenusa esté sobre la recta $2\sqrt{3}\,x + 5y = 10\sqrt{3}.$ Sea el lado del triángulo equilátero entre los dos catetos con extremos $(s\cos\theta, 0)$ y $(0, s\sin\theta),$ donde $s$ es la longitud del lado. Su punto medio es $\frac{s}{2}(\cos\theta, \sin\theta),$ y moverse una distancia $\frac{\sqrt{3}}{2}s$ perpendicular al lado coloca el tercer vértice en $\frac{s}{2}$ $\cdot\small\left(\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta,\ \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta\right).$

Sustituir este vértice en la ecuación de la hipotenusa y simplificar da $s = \frac{20\sqrt{3}}{7\sqrt{3}\cos\theta + 11\sin\theta}.$ El denominador es a lo sumo $\sqrt{(7\sqrt{3})^2 + 11^2}$ $= \sqrt{268} = 2\sqrt{67},$ alcanzado para cierto valor admisible de $\theta,$ así que la longitud mínima del lado satisface $s^2 = \frac{(10\sqrt{3})^2}{67} = \frac{300}{67}.$

El área mínima es $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{300}{67} = \frac{75\sqrt{3}}{67},$ así que $m + n + p = 75 + 67 + 3 = 145.$

Place the right angle at the origin with vertices $(0, 0),$ $(5, 0),$ and $(0, 2\sqrt{3}),$ so the hypotenuse lies on the line $2\sqrt{3}\,x + 5y = 10\sqrt{3}.$ Let the equilateral triangle's side between the two legs have endpoints $(s\cos\theta, 0)$ and $(0, s\sin\theta),$ where $s$ is the side length. Its midpoint is $\frac{s}{2}(\cos\theta, \sin\theta),$ and moving a distance $\frac{\sqrt{3}}{2}s$ perpendicular to the side places the third vertex at $\frac{s}{2}$ $\cdot\small\left(\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta,\ \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta\right).$

Substituting this vertex into the hypotenuse equation and simplifying gives $s = \frac{20\sqrt{3}}{7\sqrt{3}\cos\theta + 11\sin\theta}.$ The denominator is at most $\sqrt{(7\sqrt{3})^2 + 11^2}$ $= \sqrt{268} = 2\sqrt{67},$ attained for an admissible $\theta,$ so the minimum side length satisfies $s^2 = \frac{(10\sqrt{3})^2}{67} = \frac{300}{67}.$

The minimum area is $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{300}{67} = \frac{75\sqrt{3}}{67},$ so $m + n + p = 75 + 67 + 3 = 145.$