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2003 AIME I Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2003 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Se elige un ángulo xx al azar del intervalo 0∘<x<90∘.0^\circ \lt x \lt 90^\circ. Sea pp la probabilidad de que los números sin⁡2x,\sin^2 x, cos⁡2x,\cos^2 x, y sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x no sean las longitudes de los lados de un triángulo. Dado que p=dn,p = \frac{d}{n}, donde dd es el número de grados de arctan⁡m\arctan m y mm y nn son enteros positivos con m+n<1000,m + n \lt 1000, halla m+n.m + n.
An angle xx is chosen at random from the interval 0∘<x<90∘.0^\circ \lt x \lt 90^\circ. Let pp be the probability that the numbers sin⁡2x,\sin^2 x, cos⁡2x,\cos^2 x, and sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x are not the lengths of the sides of a triangle. Given that p=dn,p = \frac{d}{n}, where dd is the number of degrees in arctan⁡m\arctan m and mm and nn are positive integers with m+n<1000,m + n \lt 1000, find m+n.m + n.
Respuesta: 92
Conceptos:probabilidad geométricadesigualdad triangularidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2710
Pista pequeña:
Para 0∘<x≤45∘0^\circ \lt x \le 45^\circ el mayor de los tres números es cos⁡2x,\cos^2 x, así que solo una desigualdad triangular puede fallar.
For 0∘<x≤45∘0^\circ \lt x \le 45^\circ the largest of the three numbers is cos⁡2x,\cos^2 x, so only one triangle inequality can fail
Pista grande:
cos⁡2x≥sin⁡2x+sin⁡xcos⁡x\cos^2 x \ge \sin^2 x + \sin x \cos x se transforma, mediante las fórmulas de ángulo doble, en tan⁡2x≤2\tan 2x \le 2.
cos⁡2x≥sin⁡2x+sin⁡xcos⁡x\cos^2 x \ge \sin^2 x + \sin x \cos x rearranges via double angles to tan⁡2x≤2\tan 2x \le 2
Solución:
Reemplazar xx por 90∘−x90^\circ - x intercambia sin⁡x\sin x y cos⁡x,\cos x, así que la probabilidad de fallo en (45∘,90∘)(45^\circ, 90^\circ) coincide con la de (0∘,45∘),(0^\circ, 45^\circ), y basta considerar 0∘<x≤45∘.0^\circ \lt x \le 45^\circ. Allí cos⁡2x≥sin⁡xcos⁡x≥sin⁡2x,\cos^2 x \ge \sin x \cos x \ge \sin^2 x, así que los tres números no forman un triángulo exactamente cuando cos⁡2x≥sin⁡2x+sin⁡xcos⁡x.\cos^2 x \ge \sin^2 x + \sin x \cos x.
Como cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x y sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x,\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x, esto dice cos⁡2x≥12sin⁡2x,\cos 2x \ge \frac{1}{2} \sin 2x, es decir tan⁡2x≤2.\tan 2x \le 2. Como la tangente crece en este rango, eso ocurre exactamente para x≤12arctan⁡2.x \le \frac{1}{2}\arctan 2.
Por lo tanto, p=12arctan⁡245∘=arctan⁡290∘,p = \frac{\frac{1}{2}\arctan 2}{45^\circ} = \frac{\arctan 2}{90^\circ}, así que m=2m = 2 y n=90,n = 90, con m+n=92<1000,m + n = 92 \lt 1000, y la respuesta es 92.92.
Replacing xx by 90∘−x90^\circ - x swaps sin⁡x\sin x and cos⁡x,\cos x, so the failure probability on (45∘,90∘)(45^\circ, 90^\circ) matches that on (0∘,45∘),(0^\circ, 45^\circ), and it suffices to consider 0∘<x≤45∘.0^\circ \lt x \le 45^\circ. There cos⁡2x≥sin⁡xcos⁡x≥sin⁡2x,\cos^2 x \ge \sin x \cos x \ge \sin^2 x, so the three numbers fail to form a triangle exactly when cos⁡2x≥sin⁡2x+sin⁡xcos⁡x.\cos^2 x \ge \sin^2 x + \sin x \cos x.
Since cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x and sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x,\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x, this says cos⁡2x≥12sin⁡2x,\cos 2x \ge \frac{1}{2} \sin 2x, i.e. tan⁡2x≤2.\tan 2x \le 2. Because tangent increases on this range, that happens exactly for x≤12arctan⁡2.x \le \frac{1}{2}\arctan 2.
Therefore p=12arctan⁡245∘=arctan⁡290∘,p = \frac{\frac{1}{2}\arctan 2}{45^\circ} = \frac{\arctan 2}{90^\circ}, so m=2m = 2 and n=90,n = 90, with m+n=92<1000,m + n = 92 \lt 1000, and the answer is 92.92.
Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

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