Question

Se elige un ángulo $x$ al azar del intervalo $0^\circ \lt x \lt 90^\circ.$ Sea $p$ la probabilidad de que los números $\sin^2 x,$ $\cos^2 x,$ y $\sin x \cos x$ no sean las longitudes de los lados de un triángulo. Dado que $p = \frac{d}{n},$ donde $d$ es el número de grados de $\arctan m$ y $m$ y $n$ son enteros positivos con $m + n \lt 1000,$ halla $m + n.$

An angle $x$ is chosen at random from the interval $0^\circ \lt x \lt 90^\circ.$ Let $p$ be the probability that the numbers $\sin^2 x,$ $\cos^2 x,$ and $\sin x \cos x$ are not the lengths of the sides of a triangle. Given that $p = \frac{d}{n},$ where $d$ is the number of degrees in $\arctan m$ and $m$ and $n$ are positive integers with $m + n \lt 1000,$ find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Reemplazar $x$ por $90^\circ - x$ intercambia $\sin x$ y $\cos x,$ así que la probabilidad de fallo en $(45^\circ, 90^\circ)$ coincide con la de $(0^\circ, 45^\circ),$ y basta considerar $0^\circ \lt x \le 45^\circ.$ Allí $\cos^2 x \ge \sin x \cos x \ge \sin^2 x,$ así que los tres números no forman un triángulo exactamente cuando $\cos^2 x \ge \sin^2 x + \sin x \cos x.$

Como $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ y $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x,$ esto dice $\cos 2x \ge \frac{1}{2} \sin 2x,$ es decir $\tan 2x \le 2.$ Como la tangente crece en este rango, eso ocurre exactamente para $x \le \frac{1}{2}\arctan 2.$

Por lo tanto $p = \frac{\frac{1}{2}\arctan 2}{45^\circ} = \frac{\arctan 2}{90^\circ},$ así que $m = 2$ y $n = 90,$ con $m + n = 92 \lt 1000,$ y la respuesta es $92.$

Replacing $x$ by $90^\circ - x$ swaps $\sin x$ and $\cos x,$ so the failure probability on $(45^\circ, 90^\circ)$ matches that on $(0^\circ, 45^\circ),$ and it suffices to consider $0^\circ \lt x \le 45^\circ.$ There $\cos^2 x \ge \sin x \cos x \ge \sin^2 x,$ so the three numbers fail to form a triangle exactly when $\cos^2 x \ge \sin^2 x + \sin x \cos x.$

Since $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ and $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x,$ this says $\cos 2x \ge \frac{1}{2} \sin 2x,$ i.e. $\tan 2x \le 2.$ Because tangent increases on this range, that happens exactly for $x \le \frac{1}{2}\arctan 2.$

Therefore $p = \frac{\frac{1}{2}\arctan 2}{45^\circ} = \frac{\arctan 2}{90^\circ},$ so $m = 2$ and $n = 90,$ with $m + n = 92 \lt 1000,$ and the answer is $92.$

2003 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años