Question

El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo con $AC = 7,$ $BC = 24,$ y ángulo recto en $C.$ El punto $M$ es el punto medio de $\overline{AB},$ y $D$ está en el mismo lado de la recta $AB$ que $C$ de modo que $AD = BD = 15.$ Dado que el área de $\triangle CDM$ puede expresarse como $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $p$ son primos entre sí, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla $m + n + p.$

Triangle $ABC$ is a right triangle with $AC = 7,$ $BC = 24,$ and right angle at $C.$ Point $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ and $D$ is on the same side of line $AB$ as $C$ so that $AD = BD = 15.$ Given that the area of $\triangle CDM$ can be expressed as $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $p$ are relatively prime, and $n$ is not divisible by the square of any prime, find $m + n + p.$

Respuesta

Solución:

La hipotenusa es $AB = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25,$ y la mediana a la hipotenusa da $CM = \frac{25}{2}.$ Como $AD = BD,$ el punto $D$ está sobre la perpendicular a $AB$ en $M,$ así que $DM \perp AB$ y $\begin{aligned} DM &= \sqrt{15^2 - \left(\tfrac{25}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{275}{4}} = \tfrac{5\sqrt{11}}{2}. \end{aligned}$

Sea $\beta = \angle AMC.$ En el triángulo $AMC$ con $AM = CM = \frac{25}{2}$ y $AC = 7,$ la ley de los cosenos da $\begin{aligned} \cos\beta &= \frac{\left(\frac{25}{2}\right)^2 + \left(\frac{25}{2}\right)^2 - 7^2} {2 \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{25}{2}} \\ &= \frac{527}{625}. \end{aligned}$ Como $C$ y $D$ están en el mismo lado de $AB$ y $MD \perp AB,$ tenemos $\angle CMD = 90^\circ - \beta,$ así que $\sin\angle CMD = \cos\beta.$

Por lo tanto $\begin{aligned} [CDM] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{5\sqrt{11}}{2} \cdot \frac{527}{625} \\ &= \frac{527\sqrt{11}}{40}, \end{aligned}$ y $m + n + p = 527 + 11 + 40$ $= 578.$

The hypotenuse is $AB = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25,$ and the median to the hypotenuse gives $CM = \frac{25}{2}.$ Since $AD = BD,$ point $D$ lies on the perpendicular to $AB$ at $M,$ so $DM \perp AB$ and $\begin{aligned} DM &= \sqrt{15^2 - \left(\tfrac{25}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{275}{4}} = \tfrac{5\sqrt{11}}{2}. \end{aligned}$

Let $\beta = \angle AMC.$ In triangle $AMC$ with $AM = CM = \frac{25}{2}$ and $AC = 7,$ the law of cosines gives $\begin{aligned} \cos\beta &= \frac{\left(\frac{25}{2}\right)^2 + \left(\frac{25}{2}\right)^2 - 7^2} {2 \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{25}{2}} \\ &= \frac{527}{625}. \end{aligned}$ Since $C$ and $D$ are on the same side of $AB$ and $MD \perp AB,$ we have $\angle CMD = 90^\circ - \beta,$ so $\sin\angle CMD = \cos\beta.$

Therefore $\begin{aligned} [CDM] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{5\sqrt{11}}{2} \cdot \frac{527}{625} \\ &= \frac{527\sqrt{11}}{40}, \end{aligned}$ and $m + n + p = 527 + 11 + 40$ $= 578.$

2003 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años