Question

Dos enteros positivos difieren en $60.$ La suma de sus raíces cuadradas es la raíz cuadrada de un entero que no es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es la máxima suma posible de los dos enteros?

Two positive integers differ by $60.$ The sum of their square roots is the square root of an integer that is not a perfect square. What is the maximum possible sum of the two integers?

Respuesta

Solución:

Sean los enteros $x$ y $x + 60,$ y supongamos $\sqrt{x} + \sqrt{x + 60} = \sqrt{y}.$ Al elevar al cuadrado, $y = 2x + 60 + 2\sqrt{x(x + 60)},$ así que $x(x + 60)$ debe ser un cuadrado perfecto, digamos $z^2.$ Completando el cuadrado, $(x + 30)^2 - z^2 = 900,$ es decir, $(x + 30 + z)(x + 30 - z) = 900.$ Los dos factores tienen la misma paridad y su producto es par, así que ambos son pares.

Los pares de factores $(450, 2),$ $(150, 6),$ $(90, 10),$ $(50, 18)$ dan $x + 30 = 226,$ $78,$ $50,$ $34,$ así que $x = 196,$ $48,$ $20,$ $4.$ Para $x = 196$ los enteros son $196$ y $256,$ ambos cuadrados perfectos, así que $\sqrt{y} = 14 + 16 = 30$ y $y = 900$ es un cuadrado perfecto, lo cual no está permitido. Para $x = 48$ los enteros son $48$ y $108,$ con $\sqrt{48} + \sqrt{108} = 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3}$ $= \sqrt{300},$ y $300$ no es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, la máxima suma posible es $48 + 108 = 156.$

Let the integers be $x$ and $x + 60,$ and suppose $\sqrt{x} + \sqrt{x + 60} = \sqrt{y}.$ Squaring, $y = 2x + 60 + 2\sqrt{x(x + 60)},$ so $x(x + 60)$ must be a perfect square, say $z^2.$ Completing the square, $(x + 30)^2 - z^2 = 900,$ i.e. $(x + 30 + z)(x + 30 - z) = 900.$ The two factors have the same parity and their product is even, so both are even.

The factor pairs $(450, 2),$ $(150, 6),$ $(90, 10),$ $(50, 18)$ give $x + 30 = 226,$ $78,$ $50,$ $34,$ so $x = 196,$ $48,$ $20,$ $4.$ For $x = 196$ the integers are $196$ and $256,$ both perfect squares, so $\sqrt{y} = 14 + 16 = 30$ and $y = 900$ is a perfect square — not allowed. For $x = 48$ the integers are $48$ and $108,$ with $\sqrt{48} + \sqrt{108} = 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3}$ $= \sqrt{300},$ and $300$ is not a perfect square.

The maximum possible sum is therefore $48 + 108 = 156.$

2003 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años