Question

Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de puntos cuyas coordenadas $x,$ $y,$ y $z$ son enteras y satisfacen $0 \le x \le 2,$ $0 \le y \le 3,$ y $0 \le z \le 4.$ Se eligen al azar dos puntos distintos de $\mathcal{S}.$ La probabilidad de que el punto medio del segmento que determinan también pertenezca a $\mathcal{S}$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $\mathcal{S}$ be the set of points whose coordinates $x,$ $y,$ and $z$ are integers that satisfy $0 \le x \le 2,$ $0 \le y \le 3,$ and $0 \le z \le 4.$ Two distinct points are randomly chosen from $\mathcal{S}.$ The probability that the midpoint of the segment they determine also belongs to $\mathcal{S}$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 200

Conceptos:paridad probabilidad básica conteo de pares punto reticular

Nivel de dificultad: 2500

Pista pequeña:

El punto medio tiene coordenadas enteras exactamente cuando los dos puntos tienen la misma paridad en cada coordenada.

The midpoint has integer coordinates exactly when the two points have the same parity in each coordinate

Pista grande:

Cuenta los pares ordenados de la misma paridad coordenada por coordenada ( $5$ formas para $x,$ $8$ para $y,$ $13$ para $z$ ), luego resta los pares en que ambos puntos coinciden

Count ordered same-parity pairs coordinate by coordinate ( $5$ ways for $x,$ $8$ for $y,$ $13$ for $z$ ), then subtract the pairs where both points coincide

Solución:

El punto medio es un punto reticular exactamente cuando los dos puntos elegidos coinciden en paridad en cada coordenada. Cuenta los pares ordenados (permitiendo igualdad) coordenada por coordenada. Para $x \in \{0, 1, 2\}$ hay $2$ valores pares y $1$ impar, dando $2^2 + 1^2 = 5$ pares ordenados de la misma paridad. Para $y \in \{0, \ldots, 3\}:$ $2^2 + 2^2 = 8.$ Para $z \in \{0, \ldots, 4\}:$ $3^2 + 2^2 = 13.$

Eso da $5 \cdot 8 \cdot 13 = 520$ pares ordenados, incluyendo los $60$ pares en que los dos puntos son iguales, así que $520 - 60 = 460$ pares ordenados de puntos distintos, o $230$ pares no ordenados. El número total de pares no ordenados es $\binom{60}{2} = 1770.$

La probabilidad es $\frac{230}{1770} = \frac{23}{177},$ y como $177 = 3 \cdot 59,$ está en su forma más simple. Así $m + n = 23 + 177 = 200.$

The midpoint is a lattice point exactly when the two chosen points agree in parity in each coordinate. Count ordered pairs (allowing equality) coordinate by coordinate. For $x \in \{0, 1, 2\}$ there are $2$ even and $1$ odd values, giving $2^2 + 1^2 = 5$ same-parity ordered pairs. For $y \in \{0, \ldots, 3\}:$ $2^2 + 2^2 = 8.$ For $z \in \{0, \ldots, 4\}:$ $3^2 + 2^2 = 13.$

That gives $5 \cdot 8 \cdot 13 = 520$ ordered pairs, including the $60$ pairs where the two points are equal, so $520 - 60 = 460$ ordered pairs of distinct points, or $230$ unordered pairs. The total number of unordered pairs is $\binom{60}{2} = 1770.$

The probability is $\frac{230}{1770} = \frac{23}{177},$ and since $177 = 3 \cdot 59,$ this is in lowest terms. Thus $m + n = 23 + 177 = 200.$

2001 AIME I Problema 10

Respuesta: 200

Nivel de dificultad: 2500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años