Question

Existe un único entero positivo $a$ para el cual la suma $U = \sum_{n=1}^{2023} \left\lfloor \frac{n^2 - na}{5} \right\rfloor$ es un entero estrictamente entre $-1000$ y $1000.$ Para ese único $a,$ halla $a + U.$

(Observa que $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x.$ )

There exists a unique positive integer $a$ for which the sum $U = \sum_{n=1}^{2023} \left\lfloor \frac{n^2 - na}{5} \right\rfloor$ is an integer strictly between $-1000$ and $1000.$ For that unique $a,$ find $a + U.$

(Note that $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Respuesta: 944

Conceptos:funciones piso y techo sumatoria aritmética modular

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Sin la parte entera la suma es $\frac{1}{5}\bigl(\sum n^2 - a\sum n\bigr);$ hay un entero $a$ que la hace exactamente $0.$

Without the floor the sum is $\frac{1}{5}\bigl(\sum n^2 - a\sum n\bigr);$ there is an integer $a$ making it exactly $0.$

Pista grande:

Para ese $a,$ $U = -\frac{1}{5}\sum\bigl((n^2 - na) \bmod 5\bigr),$ y los restos se repiten con período $5.$

For that $a,$ $U = -\frac{1}{5}\sum\bigl((n^2 - na) \bmod 5\bigr),$ and the residues repeat with period $5.$

Solución:

Ignorando las partes enteras, $\sum_{n=1}^{2023} \frac{n^2 - na}{5}$ $= \frac{1}{5}\left(\sum n^2 - a\sum n\right)$ se anula exactamente cuando $a = \frac{\sum n^2}{\sum n} = \frac{2 \cdot 2023 + 1}{3} = 1349,$ un entero. Para cualquier otro entero $a$ la suma sin redondear tiene valor absoluto de al menos $\frac{1}{5}\sum n = \frac{2023 \cdot 1012}{5} \approx 409455,$ mientras que tomar las partes enteras cambia el total en menos de $2023,$ así que solo $a = 1349$ puede poner $U$ estrictamente entre $-1000$ y $1000.$

Con $a = 1349,$ cada término es $\frac{n^2 - 1349n - r_n}{5}$ con $r_n = (n^2 - 1349n) \bmod 5,$ así que $U = -\frac{1}{5}\sum r_n.$ Como $1349 \equiv 4 \pmod 5,$ tenemos $n^2 - 1349n$ $\equiv n(n+1) \pmod 5,$ cuyos restos para $n \equiv 0, 1, 2, 3, 4$ son $0, 2, 1, 2, 0,$ que suman $5$ por cada bloque de cinco. Como $2023 = 5 \cdot 404 + 3,$ los términos sobrantes $n \equiv 1, 2, 3$ aportan $2 + 1 + 2 = 5,$ así que $\sum r_n = 405 \cdot 5 = 2025.$

Así que $U = -\frac{2025}{5} = -405,$ que efectivamente está estrictamente entre $-1000$ y $1000,$ y $a + U = 1349 - 405 = 944.$

Ignoring the floors, $\sum_{n=1}^{2023} \frac{n^2 - na}{5}$ $= \frac{1}{5}\left(\sum n^2 - a\sum n\right)$ vanishes exactly when $a = \frac{\sum n^2}{\sum n} = \frac{2 \cdot 2023 + 1}{3} = 1349,$ an integer. For any other integer $a$ the raw sum has absolute value at least $\frac{1}{5}\sum n = \frac{2023 \cdot 1012}{5} \approx 409455,$ while taking floors changes the total by less than $2023,$ so only $a = 1349$ can put $U$ strictly between $-1000$ and $1000.$

With $a = 1349,$ each term is $\frac{n^2 - 1349n - r_n}{5}$ with $r_n = (n^2 - 1349n) \bmod 5,$ so $U = -\frac{1}{5}\sum r_n.$ Since $1349 \equiv 4 \pmod 5,$ we have $n^2 - 1349n$ $\equiv n(n+1) \pmod 5,$ whose residues for $n \equiv 0, 1, 2, 3, 4$ are $0, 2, 1, 2, 0,$ summing to $5$ per block of five. With $2023 = 5 \cdot 404 + 3,$ the leftover terms $n \equiv 1, 2, 3$ contribute $2 + 1 + 2 = 5,$ so $\sum r_n = 405 \cdot 5 = 2025.$

So $U = -\frac{2025}{5} = -405,$ which indeed lies strictly between $-1000$ and $1000,$ and $a + U = 1349 - 405 = 944.$

2023 AIME I Problema 10

Respuesta: 944

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años