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2023 AIME I Problema 10

Intenta el Problema 10 del 2023 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Existe un único entero positivo aa para el cual la suma U=∑n=12023⌊n2−na5⌋U = \sum_{n=1}^{2023} \left\lfloor \frac{n^2 - na}{5} \right\rfloor es un entero estrictamente entre −1000-1000 y 1000.1000. Para ese único a,a, halla a+U.a + U.
(Observa que ⌊x⌋\lfloor x \rfloor denota el mayor entero que es menor o igual que x.x.)
There exists a unique positive integer aa for which the sum U=∑n=12023⌊n2−na5⌋U = \sum_{n=1}^{2023} \left\lfloor \frac{n^2 - na}{5} \right\rfloor is an integer strictly between −1000-1000 and 1000.1000. For that unique a,a, find a+U.a + U.
(Note that ⌊x⌋\lfloor x \rfloor denotes the greatest integer that is less than or equal to x.x.)
Respuesta: 944
Conceptos:funciones piso y techosumatoriaaritmética modular
Nivel de dificultad: 2990
Pista pequeña:
Sin la parte entera la suma es 15(∑n2−a∑n);\frac{1}{5}\bigl(\sum n^2 - a\sum n\bigr); hay un entero aa que la hace exactamente 0.0.
Without the floor the sum is 15(∑n2−a∑n);\frac{1}{5}\bigl(\sum n^2 - a\sum n\bigr); there is an integer aa making it exactly 0.0.
Pista grande:
Para ese a,a, U=−15∑((n2−na) mod 5),U = -\frac{1}{5}\sum\bigl((n^2 - na) \bmod 5\bigr), y los restos se repiten con período 5.5.
For that a,a, U=−15∑((n2−na) mod 5),U = -\frac{1}{5}\sum\bigl((n^2 - na) \bmod 5\bigr), and the residues repeat with period 5.5.
Solución:
Ignorando las partes enteras, ∑n=12023n2−na5\sum_{n=1}^{2023} \frac{n^2 - na}{5} =15(∑n2−a∑n)= \frac{1}{5}\left(\sum n^2 - a\sum n\right) se anula exactamente cuando a=∑n2∑n=2⋅2023+13=1349,a = \frac{\sum n^2}{\sum n} = \frac{2 \cdot 2023 + 1}{3} = 1349, un entero. Para cualquier otro entero aa la suma sin redondear tiene valor absoluto de al menos 15∑n=2023⋅10125≈409455,\frac{1}{5}\sum n = \frac{2023 \cdot 1012}{5} \approx 409455, mientras que tomar las partes enteras cambia el total en menos de 2023,2023, así que solo a=1349a = 1349 puede poner UU estrictamente entre −1000-1000 y 1000.1000.
Con a=1349,a = 1349, cada término es n2−1349n−rn5\frac{n^2 - 1349n - r_n}{5} con rn=(n2−1349n) mod 5,r_n = (n^2 - 1349n) \bmod 5, así que U=−15∑rn.U = -\frac{1}{5}\sum r_n. Como 1349≡4(mod5),1349 \equiv 4 \pmod 5, tenemos n2−1349nn^2 - 1349n ≡n(n+1)(mod5),\equiv n(n+1) \pmod 5, cuyos restos para n≡0,1,2,3,4n \equiv 0, 1, 2, 3, 4 son 0,2,1,2,0,0, 2, 1, 2, 0, que suman 55 por cada bloque de cinco. Como 2023=5⋅404+3,2023 = 5 \cdot 404 + 3, los términos sobrantes n≡1,2,3n \equiv 1, 2, 3 aportan 2+1+2=5,2 + 1 + 2 = 5, así que ∑rn=405⋅5=2025.\sum r_n = 405 \cdot 5 = 2025.
Así que U=−20255=−405,U = -\frac{2025}{5} = -405, que efectivamente está estrictamente entre −1000-1000 y 1000,1000, y a+U=1349−405=944.a + U = 1349 - 405 = 944.
Ignoring the floors, ∑n=12023n2−na5\sum_{n=1}^{2023} \frac{n^2 - na}{5} =15(∑n2−a∑n)= \frac{1}{5}\left(\sum n^2 - a\sum n\right) vanishes exactly when a=∑n2∑n=2⋅2023+13=1349,a = \frac{\sum n^2}{\sum n} = \frac{2 \cdot 2023 + 1}{3} = 1349, an integer. For any other integer aa the raw sum has absolute value at least 15∑n=2023⋅10125≈409455,\frac{1}{5}\sum n = \frac{2023 \cdot 1012}{5} \approx 409455, while taking floors changes the total by less than 2023,2023, so only a=1349a = 1349 can put UU strictly between −1000-1000 and 1000.1000.
With a=1349,a = 1349, each term is n2−1349n−rn5\frac{n^2 - 1349n - r_n}{5} with rn=(n2−1349n) mod 5,r_n = (n^2 - 1349n) \bmod 5, so U=−15∑rn.U = -\frac{1}{5}\sum r_n. Since 1349≡4(mod5),1349 \equiv 4 \pmod 5, we have n2−1349nn^2 - 1349n ≡n(n+1)(mod5),\equiv n(n+1) \pmod 5, whose residues for n≡0,1,2,3,4n \equiv 0, 1, 2, 3, 4 are 0,2,1,2,0,0, 2, 1, 2, 0, summing to 55 per block of five. With 2023=5⋅404+3,2023 = 5 \cdot 404 + 3, the leftover terms n≡1,2,3n \equiv 1, 2, 3 contribute 2+1+2=5,2 + 1 + 2 = 5, so ∑rn=405⋅5=2025.\sum r_n = 405 \cdot 5 = 2025.
So U=−20255=−405,U = -\frac{2025}{5} = -405, which indeed lies strictly between −1000-1000 and 1000,1000, and a+U=1349−405=944.a + U = 1349 - 405 = 944.
Problema 9#9
Examen completo
Problema 11#11

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