Question

El Examen Anual Interplanetario de Matemáticas (AIME) es redactado por un comité de cinco marcianos, cinco venusianos y cinco terrícolas. En las reuniones, los miembros del comité se sientan en una mesa redonda con sillas numeradas de $1$ a $15$ en sentido horario. Las reglas del comité establecen que un marciano debe ocupar la silla $1$ y un terrícola debe ocupar la silla $15.$ Además, ningún terrícola puede sentarse inmediatamente a la izquierda de un marciano, ningún marciano puede sentarse inmediatamente a la izquierda de un venusiano, y ningún venusiano puede sentarse inmediatamente a la izquierda de un terrícola. El número de posibles disposiciones de asientos para el comité es $N \cdot (5!)^3.$ Halla $N.$

The Annual Interplanetary Mathematics Examination (AIME) is written by a committee of five Martians, five Venusians, and five Earthlings. At meetings, committee members sit at a round table with chairs numbered from $1$ to $15$ in clockwise order. Committee rules state that a Martian must occupy chair $1$ and an Earthling must occupy chair $15.$ Furthermore, no Earthling can sit immediately to the left of a Martian, no Martian can sit immediately to the left of a Venusian, and no Venusian can sit immediately to the left of an Earthling. The number of possible seating arrangements for the committee is $N \cdot (5!)^3.$ Find $N.$

Respuesta

Solución:

Primero elige qué planeta se sienta en cada silla; los individuos de cada planeta pueden entonces asignarse a sus sillas de $5!$ formas cada uno, así que $N$ cuenta los patrones de planetas. Las reglas de adyacencia dicen exactamente que, leyendo en sentido horario, cada bloque maximal de marcianos debe ir seguido de un bloque de venusianos y luego de un bloque de terrícolas antes de que puedan volver a aparecer marcianos. Como la silla $1$ tiene un marciano y la silla $15$ tiene un terrícola, las sillas de $1$ a $15$ consisten en el patrón (bloque de marcianos, bloque de venusianos, bloque de terrícolas) repetido $k$ veces, para algún $1 \le k \le 5.$

Para un $k$ dado, los cinco miembros de cada planeta se distribuyen en $k$ bloques no vacíos en orden, y el número de formas de escribir $5$ como suma ordenada de $k$ enteros positivos es $\binom{4}{k-1}.$ Los tamaños de los bloques de los tres planetas son independientes, así que $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{5} \binom{4}{k-1}^3 \\ &= 1^3 + 4^3 + 6^3 + 4^3 + 1^3 \\ &= 346. \end{aligned}$

First choose which planet sits in each chair; the individuals from each planet can then be assigned to their chairs in $5!$ ways apiece, so $N$ counts the planet patterns. The adjacency rules say exactly that, reading clockwise, each maximal block of Martians must be followed by a block of Venusians and then a block of Earthlings before Martians can appear again. Since chair $1$ holds a Martian and chair $15$ holds an Earthling, the chairs from $1$ to $15$ consist of the pattern (Martian block, Venusian block, Earthling block) repeated $k$ times, for some $1 \le k \le 5.$

For a given $k,$ each planet's five members are distributed into $k$ nonempty blocks in order, and the number of ways to write $5$ as an ordered sum of $k$ positive integers is $\binom{4}{k-1}.$ The three planets' block sizes are independent, so $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{5} \binom{4}{k-1}^3 \\ &= 1^3 + 4^3 + 6^3 + 4^3 + 1^3 \\ &= 346. \end{aligned}$

2009 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años