Question

Sea $f(x)$ un polinomio de tercer grado con coeficientes reales que satisface $\begin{aligned} |f(1)| = |f(2)| &= |f(3)| \\ &= |f(5)| = |f(6)| \\ &= |f(7)| = 12. \end{aligned}$ Halla $|f(0)|.$

Let $f(x)$ be a third-degree polynomial with real coefficients satisfying $\begin{aligned} |f(1)| = |f(2)| &= |f(3)| \\ &= |f(5)| = |f(6)| \\ &= |f(7)| = 12. \end{aligned}$ Find $|f(0)|.$

Respuesta

Solución:

Cada uno de $f(x) - 12$ y $f(x) + 12$ es una cúbica, así que cada una se anula en exactamente tres de $1, 2, 3, 5, 6, 7.$ Escribiéndolas como $c(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$ y $c(x - s_1)(x - s_2)(x - s_3),$ las dos cúbicas difieren en la constante $24,$ así que sus coeficientes de $x^2$ y $x$ coinciden: las ternas de raíces tienen sumas iguales y sumas iguales de productos por pares. La única partición de $\{1,2,3,5,6,7\}$ en dos ternas de igual suma es $\{2,3,7\}$ y $\{1,5,6\}$ (cada una sumando $12$ ), y en efecto ambas tienen suma de productos por pares $41.$

Reemplazando $f$ por $-f$ si es necesario (lo que no cambia $|f(0)|$ ), tenemos $f(x) = c(x-2)(x-3)(x-7)$ $+ 12$ $= c(x-1)(x-5)(x-6) - 12.$ Poniendo $x = 0$ se obtiene $-42c + 12 = -30c - 12,$ así que $c = 2$ y $f(0) = -42 \cdot 2 + 12 = -72.$ Por lo tanto $|f(0)| = 72.$

Each of $f(x) - 12$ and $f(x) + 12$ is a cubic, so each vanishes at exactly three of $1, 2, 3, 5, 6, 7.$ Writing them as $c(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$ and $c(x - s_1)(x - s_2)(x - s_3),$ the two cubics differ by the constant $24,$ so their $x^2$ and $x$ coefficients agree: the root triples have equal sums and equal sums of pairwise products. The only partition of $\{1,2,3,5,6,7\}$ into two triples of equal sum is $\{2,3,7\}$ and $\{1,5,6\}$ (each summing to $12$ ), and indeed both have pairwise-product sum $41.$

Replacing $f$ by $-f$ if necessary (which does not change $|f(0)|$ ), we have $f(x) = c(x-2)(x-3)(x-7)$ $+ 12$ $= c(x-1)(x-5)(x-6) - 12.$ Setting $x = 0$ gives $-42c + 12 = -30c - 12,$ so $c = 2$ and $f(0) = -42 \cdot 2 + 12 = -72.$ Thus $|f(0)| = 72.$

2015 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años