Question

Una circunferencia está inscrita en el cuadrilátero $ABCD$ , tangente a $\overline{AB}$ en $P$ y a $\overline{CD}$ en $Q$ . Dado que $AP = 19$ , $PB = 26$ , $CQ = 37$ , y $QD = 23$ , halla el cuadrado del radio de la circunferencia.

A circle is inscribed in quadrilateral $ABCD,$ tangent to $\overline{AB}$ at $P$ and to $\overline{CD}$ at $Q.$ Given that $AP = 19,$ $PB = 26,$ $CQ = 37,$ and $QD = 23,$ find the square of the radius of the circle.

Respuesta

Solución:

Sea la circunferencia inscrita con centro $I$ y radio $r.$ Las longitudes tangentes desde $A$ , $B$ , $C$ , $D$ son $19$ , $26$ , $37$ , $23$ , e $I$ está sobre cada bisectriz, así que los semiángulos $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ en los cuatro vértices satisfacen $\tan\alpha = \frac{r}{19}$ , $\tan\beta = \frac{r}{26}$ , $\tan\gamma = \frac{r}{37}$ , $\tan\delta = \frac{r}{23}$ , con $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ.$

Entonces $\tan(\alpha + \gamma) = -\tan(\beta + \delta)$ , y la fórmula de adición de la tangente convierte esto en $\begin{aligned} &\frac{\frac{r}{19} + \frac{r}{37}}{1 - \frac{r^2}{19 \cdot 37}} \\ &= -\frac{\frac{r}{26} + \frac{r}{23}}{1 - \frac{r^2}{26 \cdot 23}}, \end{aligned}$ es decir, $\frac{56r}{703 - r^2} = \frac{49r}{r^2 - 598}.$

Multiplicando en cruz se obtiene $56r^2 - 56 \cdot 598$ $= 49 \cdot 703 - 49r^2$ , así que $105r^2 = 33488 + 34447 = 67935$ y $r^2 = 647.$

Let the incircle have center $I$ and radius $r.$ The tangent lengths from $A,$ $B,$ $C,$ $D$ are $19,$ $26,$ $37,$ $23,$ and $I$ lies on each angle bisector, so the half-angles $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ at the four vertices satisfy $\tan\alpha = \frac{r}{19},$ $\tan\beta = \frac{r}{26},$ $\tan\gamma = \frac{r}{37},$ $\tan\delta = \frac{r}{23},$ with $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ.$

Then $\tan(\alpha + \gamma) = -\tan(\beta + \delta),$ and the tangent addition formula turns this into $\begin{aligned} &\frac{\frac{r}{19} + \frac{r}{37}}{1 - \frac{r^2}{19 \cdot 37}} \\ &= -\frac{\frac{r}{26} + \frac{r}{23}}{1 - \frac{r^2}{26 \cdot 23}}, \end{aligned}$ i.e. $\frac{56r}{703 - r^2} = \frac{49r}{r^2 - 598}.$

Cross-multiplying gives $56r^2 - 56 \cdot 598$ $= 49 \cdot 703 - 49r^2,$ so $105r^2 = 33488 + 34447 = 67935$ and $r^2 = 647.$

2000 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años