Question

Una circunferencia está inscrita en el cuadrilátero $ABCD,$ tangente a $\overline{AB}$ en $P$ y a $\overline{CD}$ en $Q.$ Dado que $AP = 19,$ $PB = 26,$ $CQ = 37,$ y $QD = 23,$ halla el cuadrado del radio de la circunferencia.

A circle is inscribed in quadrilateral $ABCD,$ tangent to $\overline{AB}$ at $P$ and to $\overline{CD}$ at $Q.$ Given that $AP = 19,$ $PB = 26,$ $CQ = 37,$ and $QD = 23,$ find the square of the radius of the circle.

Respuesta

Respuesta: 647

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio identidad trigonométrica bisectriz

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

El centro está sobre las cuatro bisectrices de los ángulos, así que el semiángulo en $A$ satisface $\tan\frac{A}{2} = \frac{r}{19},$ y análogamente en los otros vértices.

The center lies on all four angle bisectors, so the half-angle at $A$ satisfies $\tan\frac{A}{2} = \frac{r}{19},$ and similarly at the other vertices

Pista grande:

Los cuatro semiángulos suman $180^\circ,$ así que $\tan(\alpha + \gamma) = -\tan(\beta + \delta);$ la fórmula de adición da una ecuación lineal en $r^2$ .

The four half-angles sum to $180^\circ,$ so $\tan(\alpha + \gamma) = -\tan(\beta + \delta);$ the addition formula gives a linear equation in $r^2$

Solución:

Sea la circunferencia inscrita con centro $I$ y radio $r.$ Las longitudes tangentes desde $A,$ $B,$ $C,$ $D$ son $19,$ $26,$ $37,$ $23,$ e $I$ está sobre cada bisectriz, así que los semiángulos $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ en los cuatro vértices satisfacen $\tan\alpha = \frac{r}{19},$ $\tan\beta = \frac{r}{26},$ $\tan\gamma = \frac{r}{37},$ $\tan\delta = \frac{r}{23},$ con $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ.$

Entonces $\tan(\alpha + \gamma) = -\tan(\beta + \delta),$ y la fórmula de adición de la tangente convierte esto en $\begin{aligned} &\frac{\frac{r}{19} + \frac{r}{37}}{1 - \frac{r^2}{19 \cdot 37}} \\ &= -\frac{\frac{r}{26} + \frac{r}{23}}{1 - \frac{r^2}{26 \cdot 23}}, \end{aligned}$ es decir, $\frac{56r}{703 - r^2} = \frac{49r}{r^2 - 598}.$

Multiplicando en cruz se obtiene $56r^2 - 56 \cdot 598$ $= 49 \cdot 703 - 49r^2,$ así que $105r^2 = 33488 + 34447 = 67935$ y $r^2 = 647.$

Let the incircle have center $I$ and radius $r.$ The tangent lengths from $A,$ $B,$ $C,$ $D$ are $19,$ $26,$ $37,$ $23,$ and $I$ lies on each angle bisector, so the half-angles $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ at the four vertices satisfy $\tan\alpha = \frac{r}{19},$ $\tan\beta = \frac{r}{26},$ $\tan\gamma = \frac{r}{37},$ $\tan\delta = \frac{r}{23},$ with $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ.$

Then $\tan(\alpha + \gamma) = -\tan(\beta + \delta),$ and the tangent addition formula turns this into $\begin{aligned} &\frac{\frac{r}{19} + \frac{r}{37}}{1 - \frac{r^2}{19 \cdot 37}} \\ &= -\frac{\frac{r}{26} + \frac{r}{23}}{1 - \frac{r^2}{26 \cdot 23}}, \end{aligned}$ i.e. $\frac{56r}{703 - r^2} = \frac{49r}{r^2 - 598}.$

Cross-multiplying gives $56r^2 - 56 \cdot 598$ $= 49 \cdot 703 - 49r^2,$ so $105r^2 = 33488 + 34447 = 67935$ and $r^2 = 647.$

2000 AIME II Problema 10

Respuesta: 647

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años