2000 AIME II — Problemas y examen en línea cronometrado

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3:00:00

1.

El número $\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}$ se puede escribir como $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n$ .

The number $\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 7

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Como $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ , los dos términos valen $2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16$ y $3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125$ . Su suma es $\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Como $\gcd(1, 6) = 1$ , la respuesta es $m + n = 1 + 6 = 7$ .

Since $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b,$ the two terms equal $2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16$ and $3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125.$ Their sum is $\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Since $\gcd(1, 6) = 1,$ the answer is $m + n = 1 + 6 = 7.$

2.

Un punto cuyas dos coordenadas son enteras se llama punto reticular. ¿Cuántos puntos reticulares hay sobre la hipérbola $x^2 - y^2 = 2000^2$ ?

A point whose coordinates are both integers is called a lattice point. How many lattice points lie on the hyperbola $x^2 - y^2 = 2000^2?$

Respuesta

Respuesta: 98

Conceptos:diferencia de cuadrados conteo de factores paridad punto reticular

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Factoriza $(x - y)(x + y) = 2000^2$ $= 2^8 \cdot 5^6$ . Los factores $x - y$ y $x + y$ tienen la misma paridad, y su producto es par, así que ambos deben ser pares. Escribiendo $x - y = 2a$ y $x + y = 2b$ se obtiene $ab = 2^6 \cdot 5^6 = 10^6$ .

Cada par ordenado de enteros positivos $(a, b)$ con $ab = 10^6$ produce exactamente una solución $x = a + b$ , $y = b - a$ con $x \gt 0$ , y $10^6$ tiene $7 \cdot 7 = 49$ divisores, de modo que hay $49$ de esos pares. Reemplazar $(a, b)$ por $(-a, -b)$ da las $49$ soluciones con $x \lt 0$ , y $x = 0$ es imposible ya que $-y^2 \lt 2000^2$ .

En total hay $49 + 49 = 98$ puntos reticulares.

Factor $(x - y)(x + y) = 2000^2$ $= 2^8 \cdot 5^6.$ The factors $x - y$ and $x + y$ have the same parity, and their product is even, so both must be even. Writing $x - y = 2a$ and $x + y = 2b$ gives $ab = 2^6 \cdot 5^6 = 10^6.$

Each ordered pair of positive integers $(a, b)$ with $ab = 10^6$ yields exactly one solution $x = a + b,$ $y = b - a$ with $x \gt 0,$ and $10^6$ has $7 \cdot 7 = 49$ divisors, hence $49$ such pairs. Replacing $(a, b)$ by $(-a, -b)$ gives the $49$ solutions with $x \lt 0,$ and $x = 0$ is impossible since $-y^2 \lt 2000^2.$

In total there are $49 + 49 = 98$ lattice points.

3.

Una baraja de cuarenta cartas consta de cuatro $1$ , cuatro $2$ , $\ldots$ , y cuatro $10$ . Se retira de la baraja una pareja coincidente (dos cartas con el mismo número). Dado que esas cartas no se devuelven a la baraja, sea $m/n$ la probabilidad de que dos cartas elegidas al azar también formen una pareja, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n$ .

A deck of forty cards consists of four $1$ 's, four $2$ 's, $\ldots,$ and four $10$ 's. A matching pair (two cards with the same number) is removed from the deck. Given that these cards are not returned to the deck, let $m/n$ be the probability that two randomly selected cards also form a pair, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 758

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 2020

Solución:

Después de retirar la pareja coincidente, quedan $38$ cartas: nueve números con cuatro cartas cada uno y un número con solo dos cartas. El número de maneras de sacar una pareja es $9\binom{4}{2} + \binom{2}{2} = 54 + 1 = 55$ , de un total de $\binom{38}{2} = 703$ extracciones igualmente probables.

Como $703 = 19 \cdot 37$ no comparte ningún factor con $55 = 5 \cdot 11$ , la probabilidad $\frac{55}{703}$ está en su forma más simple, y $m + n = 55 + 703 = 758$ .

After the matching pair is removed, $38$ cards remain: nine numbers with four cards each and one number with only two cards. The number of ways to draw a pair is $9\binom{4}{2} + \binom{2}{2} = 54 + 1 = 55,$ out of $\binom{38}{2} = 703$ equally likely draws.

Since $703 = 19 \cdot 37$ shares no factor with $55 = 5 \cdot 11,$ the probability $\frac{55}{703}$ is in lowest terms, and $m + n = 55 + 703 = 758.$

4.

¿Cuál es el menor entero positivo con seis divisores enteros positivos impares y doce divisores enteros positivos pares?

What is the smallest positive integer with six positive odd integer divisors and twelve positive even integer divisors?

Respuesta

Respuesta: 180

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Escribe $N = 2^a m$ con $m$ impar. Los divisores impares de $N$ son exactamente los divisores de $m$ , así que $d(m) = 6$ . Cada divisor par es $2^k$ (para $1 \le k \le a$ ) por un divisor impar, de modo que hay $a \cdot d(m) = 6a$ de ellos, y $6a = 12$ da $a = 2$ .

Por tanto $N = 4m$ donde $m$ es el menor número impar con exactamente $6$ divisores. Las formas son $p^5$ (la menor $3^5 = 243$ ) y $p^2 q$ (la menor $3^2 \cdot 5 = 45$ ), así que $m = 45$ y $N = 4 \cdot 45 = 180$ .

Write $N = 2^a m$ with $m$ odd. The odd divisors of $N$ are exactly the divisors of $m,$ so $d(m) = 6.$ Every even divisor is $2^k$ (for $1 \le k \le a$ ) times an odd divisor, so there are $a \cdot d(m) = 6a$ of them, and $6a = 12$ gives $a = 2.$

So $N = 4m$ where $m$ is the smallest odd number with exactly $6$ divisors. The shapes are $p^5$ (smallest $3^5 = 243$ ) and $p^2 q$ (smallest $3^2 \cdot 5 = 45$ ), so $m = 45$ and $N = 4 \cdot 45 = 180.$

5.

Dados ocho anillos distinguibles, sea $n$ el número de posibles disposiciones de cinco anillos sobre los cuatro dedos (no el pulgar) de una mano. El orden de los anillos en cada dedo importa, pero no se requiere que cada dedo tenga un anillo. Halla los tres primeros dígitos no nulos de $n$ empezando por la izquierda.

Given eight distinguishable rings, let $n$ be the number of possible five-ring arrangements on the four fingers (not the thumb) of one hand. The order of rings on each finger is significant, but it is not required that each finger have a ring. Find the leftmost three nonzero digits of $n.$

Respuesta

Respuesta: 376

Conceptos:combinaciones permutaciones estrellas y barras

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Elige cuáles cinco anillos usar de $\binom{8}{5} = 56$ maneras, y ordénalos (leyendo hacia abajo el primer dedo, luego el segundo, y así sucesivamente) de $5! = 120$ maneras. Queda repartir la lista ordenada en cuatro bloques consecutivos posiblemente vacíos, uno por dedo: el número de composiciones de $5$ en $4$ partes no negativas, que por barras y estrellas es $\binom{8}{3} = 56$ .

Por lo tanto $n = 56 \cdot 120 \cdot 56 = 376320$ , cuyos tres primeros dígitos no nulos empezando por la izquierda son $376$ .

Choose which five rings to use in $\binom{8}{5} = 56$ ways, and order them (reading down the first finger, then the second, and so on) in $5! = 120$ ways. It remains to split the ordered list into four possibly empty consecutive blocks, one per finger: the number of compositions of $5$ into $4$ nonnegative parts, which by stars and bars is $\binom{8}{3} = 56.$

Therefore $n = 56 \cdot 120 \cdot 56 = 376320,$ whose leftmost three nonzero digits are $376.$

6.

Una base de un trapecio es $100$ unidades más larga que la otra base. El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos divide el trapecio en dos regiones cuyas áreas están en razón $2 : 3$ . Sea $x$ la longitud del segmento que une los lados no paralelos del trapecio, paralelo a las bases, y que divide el trapecio en dos regiones de igual área. Halla el mayor entero que no supera $x^2/100$ .

One base of a trapezoid is $100$ units longer than the other base. The segment that joins the midpoints of the legs divides the trapezoid into two regions whose areas are in the ratio $2 : 3.$ Let $x$ be the length of the segment joining the legs of the trapezoid that is parallel to the bases and that divides the trapezoid into two regions of equal area. Find the greatest integer that does not exceed $x^2/100.$

Respuesta

Respuesta: 181

Conceptos:trapecio semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Sean las bases $b$ y $b + 100$ . El segmento medio tiene longitud $b + 50$ y divide el trapecio en dos trapecios de igual altura, cuyas áreas son proporcionales a las sumas de sus lados paralelos, $b + (b + 50)$ y $(b + 50) + (b + 100)$ . Igualando $\frac{2b + 50}{2b + 150} = \frac{2}{3}$ se obtiene $b = 75$ , así que las bases son $75$ y $175$ .

Prolonga los lados no paralelos hasta que se corten en un vértice, creando triángulos semejantes: un segmento paralelo a las bases con longitud $\ell$ recorta un triángulo de área $c\ell^2$ para una constante fija $c$ . El segmento de longitud $x$ bisecta el área del trapecio exactamente cuando $cx^2 - c \cdot 75^2 = c \cdot 175^2 - cx^2$ , así que $x^2 = \frac{75^2 + 175^2}{2} = 18125.$

Entonces $x^2/100 = 181.25$ , y el mayor entero que no lo supera es $181$ .

Let the bases be $b$ and $b + 100.$ The midsegment has length $b + 50$ and splits the trapezoid into two trapezoids of equal height, whose areas are proportional to the sums of their parallel sides, $b + (b + 50)$ and $(b + 50) + (b + 100).$ Setting $\frac{2b + 50}{2b + 150} = \frac{2}{3}$ gives $b = 75,$ so the bases are $75$ and $175.$

Extend the legs to meet at an apex, creating similar triangles: a segment parallel to the bases with length $\ell$ cuts off a triangle of area $c\ell^2$ for a fixed constant $c.$ The segment of length $x$ bisects the trapezoid's area exactly when $cx^2 - c \cdot 75^2 = c \cdot 175^2 - cx^2,$ so $x^2 = \frac{75^2 + 175^2}{2} = 18125.$

Then $x^2/100 = 181.25,$ and the greatest integer not exceeding it is $181.$

7.

Dado que $\begin{aligned} &\frac{1}{2!17!} + \frac{1}{3!16!} + \frac{1}{4!15!} \\ &\quad {}+ \frac{1}{5!14!} + \frac{1}{6!13!} + \frac{1}{7!12!} \\ &\quad {}+ \frac{1}{8!11!} + \frac{1}{9!10!} = \frac{N}{1!18!}, \end{aligned}$ halla el mayor entero que es menor que $\frac{N}{100}$ .

Given that $\begin{aligned} &\frac{1}{2!17!} + \frac{1}{3!16!} + \frac{1}{4!15!} \\ &\quad {}+ \frac{1}{5!14!} + \frac{1}{6!13!} + \frac{1}{7!12!} \\ &\quad {}+ \frac{1}{8!11!} + \frac{1}{9!10!} = \frac{N}{1!18!}, \end{aligned}$ find the greatest integer that is less than $\frac{N}{100}.$

Respuesta

Respuesta: 137

Conceptos:teorema del binomio factorial simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2360

Solución:

Multiplica ambos lados por $19!$ . Cada término de la izquierda se convierte en $\frac{19!}{k!\,(19 - k)!} = \binom{19}{k}$ para $k = 2, \ldots, 9$ , mientras que el lado derecho se convierte en $19N$ .

Como $\binom{19}{k} = \binom{19}{19 - k}$ , la primera mitad de la fila binomial suma $\sum_{k=0}^{9} \binom{19}{k} = \frac{2^{19}}{2} = 2^{18}$ , así que $\begin{aligned} \sum_{k=2}^{9}\binom{19}{k} &= 2^{18} - \binom{19}{0} \\ &\quad {}- \binom{19}{1} \\ &= 262144 - 20 \\ &= 262124. \end{aligned}$

Por tanto $N = \frac{262124}{19} = 13796$ , así que $\frac{N}{100} = 137.96$ , y el mayor entero menor que esto es $137$ .

Multiply both sides by $19!.$ Each term on the left becomes $\frac{19!}{k!\,(19 - k)!} = \binom{19}{k}$ for $k = 2, \ldots, 9,$ while the right side becomes $19N.$

Since $\binom{19}{k} = \binom{19}{19 - k},$ the first half of the binomial row sums to $\sum_{k=0}^{9} \binom{19}{k} = \frac{2^{19}}{2} = 2^{18},$ so $\begin{aligned} \sum_{k=2}^{9}\binom{19}{k} &= 2^{18} - \binom{19}{0} \\ &\quad {}- \binom{19}{1} \\ &= 262144 - 20 \\ &= 262124. \end{aligned}$

Hence $N = \frac{262124}{19} = 13796,$ so $\frac{N}{100} = 137.96,$ and the greatest integer less than this is $137.$

8.

En el trapecio $ABCD$ , el lado $\overline{BC}$ es perpendicular a las bases $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ , y las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ son perpendiculares. Dado que $AB = \sqrt{11}$ y $AD = \sqrt{1001}$ , halla $BC^2$ .

In trapezoid $ABCD,$ leg $\overline{BC}$ is perpendicular to bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD},$ and diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ are perpendicular. Given that $AB = \sqrt{11}$ and $AD = \sqrt{1001},$ find $BC^2.$

Respuesta

Respuesta: 110

Conceptos:trapecio geometría analítica vector cuadrática

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Coloca $B = (0, 0)$ , $A = (\sqrt{11}, 0)$ , $C = (0, h)$ , y $D = (d, h)$ , de modo que $\overline{BC}$ sea vertical y $BC^2 = h^2$ . Las diagonales dan los vectores $\overrightarrow{AC} = (-\sqrt{11}, h)$ y $\overrightarrow{BD} = (d, h)$ , y la perpendicularidad significa $-\sqrt{11}\,d + h^2 = 0$ , así que $d = \frac{h^2}{\sqrt{11}}$ .

Entonces $AD^2 = (d - \sqrt{11})^2 + h^2 = 1001$ . Poniendo $u = h^2$ , esto se convierte en $\frac{(u - 11)^2}{11} + u = 1001$ , es decir, $u^2 - 11u - 10890 = 0.$ La raíz positiva es $u = \frac{11 + \sqrt{121 + 43560}}{2}$ $= \frac{11 + 209}{2} = 110$ , así que $BC^2 = 110$ .

Place $B = (0, 0),$ $A = (\sqrt{11}, 0),$ $C = (0, h),$ and $D = (d, h),$ so that $\overline{BC}$ is vertical and $BC^2 = h^2.$ The diagonals give vectors $\overrightarrow{AC} = (-\sqrt{11}, h)$ and $\overrightarrow{BD} = (d, h),$ and perpendicularity means $-\sqrt{11}\,d + h^2 = 0,$ so $d = \frac{h^2}{\sqrt{11}}.$

Then $AD^2 = (d - \sqrt{11})^2 + h^2 = 1001.$ Setting $u = h^2,$ this becomes $\frac{(u - 11)^2}{11} + u = 1001,$ that is, $u^2 - 11u - 10890 = 0.$ The positive root is $u = \frac{11 + \sqrt{121 + 43560}}{2}$ $= \frac{11 + 209}{2} = 110,$ so $BC^2 = 110.$

9.

Dado que $z$ es un número complejo tal que $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ$ , halla el menor entero que es mayor que $z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}}$ .

Given that $z$ is a complex number such that $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ,$ find the least integer that is greater than $z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}}.$

Respuesta

Respuesta: 0

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre

Nivel de dificultad: 2330

Solución:

De $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ$ obtenemos $z^2 - (2\cos 3^\circ) z + 1 = 0$ , así que $z = \cos 3^\circ \pm i \sin 3^\circ$ , un punto sobre la circunferencia unitaria. Por el teorema de de Moivre, $\begin{aligned} z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}} &= 2\cos(2000 \cdot 3^\circ) \\ &= 2\cos 6000^\circ. \end{aligned}$

Como $6000 = 16 \cdot 360 + 240$ , esto es igual a $2\cos 240^\circ = -1$ . El menor entero mayor que $-1$ es $0$ .

From $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ$ we get $z^2 - (2\cos 3^\circ) z + 1 = 0,$ so $z = \cos 3^\circ \pm i \sin 3^\circ,$ a point on the unit circle. By de Moivre's theorem, $\begin{aligned} z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}} &= 2\cos(2000 \cdot 3^\circ) \\ &= 2\cos 6000^\circ. \end{aligned}$

Since $6000 = 16 \cdot 360 + 240,$ this equals $2\cos 240^\circ = -1.$ The least integer greater than $-1$ is $0.$

10.

Una circunferencia está inscrita en el cuadrilátero $ABCD$ , tangente a $\overline{AB}$ en $P$ y a $\overline{CD}$ en $Q$ . Dado que $AP = 19$ , $PB = 26$ , $CQ = 37$ , y $QD = 23$ , halla el cuadrado del radio de la circunferencia.

A circle is inscribed in quadrilateral $ABCD,$ tangent to $\overline{AB}$ at $P$ and to $\overline{CD}$ at $Q.$ Given that $AP = 19,$ $PB = 26,$ $CQ = 37,$ and $QD = 23,$ find the square of the radius of the circle.

Respuesta

Respuesta: 647

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio identidad trigonométrica bisectriz

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Sea la circunferencia inscrita con centro $I$ y radio $r.$ Las longitudes tangentes desde $A$ , $B$ , $C$ , $D$ son $19$ , $26$ , $37$ , $23$ , e $I$ está sobre cada bisectriz, así que los semiángulos $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ en los cuatro vértices satisfacen $\tan\alpha = \frac{r}{19}$ , $\tan\beta = \frac{r}{26}$ , $\tan\gamma = \frac{r}{37}$ , $\tan\delta = \frac{r}{23}$ , con $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ.$

Entonces $\tan(\alpha + \gamma) = -\tan(\beta + \delta)$ , y la fórmula de adición de la tangente convierte esto en $\begin{aligned} &\frac{\frac{r}{19} + \frac{r}{37}}{1 - \frac{r^2}{19 \cdot 37}} \\ &= -\frac{\frac{r}{26} + \frac{r}{23}}{1 - \frac{r^2}{26 \cdot 23}}, \end{aligned}$ es decir, $\frac{56r}{703 - r^2} = \frac{49r}{r^2 - 598}.$

Multiplicando en cruz se obtiene $56r^2 - 56 \cdot 598$ $= 49 \cdot 703 - 49r^2$ , así que $105r^2 = 33488 + 34447 = 67935$ y $r^2 = 647.$

Let the incircle have center $I$ and radius $r.$ The tangent lengths from $A,$ $B,$ $C,$ $D$ are $19,$ $26,$ $37,$ $23,$ and $I$ lies on each angle bisector, so the half-angles $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ at the four vertices satisfy $\tan\alpha = \frac{r}{19},$ $\tan\beta = \frac{r}{26},$ $\tan\gamma = \frac{r}{37},$ $\tan\delta = \frac{r}{23},$ with $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ.$

Then $\tan(\alpha + \gamma) = -\tan(\beta + \delta),$ and the tangent addition formula turns this into $\begin{aligned} &\frac{\frac{r}{19} + \frac{r}{37}}{1 - \frac{r^2}{19 \cdot 37}} \\ &= -\frac{\frac{r}{26} + \frac{r}{23}}{1 - \frac{r^2}{26 \cdot 23}}, \end{aligned}$ i.e. $\frac{56r}{703 - r^2} = \frac{49r}{r^2 - 598}.$

Cross-multiplying gives $56r^2 - 56 \cdot 598$ $= 49 \cdot 703 - 49r^2,$ so $105r^2 = 33488 + 34447 = 67935$ and $r^2 = 647.$

11.

Las coordenadas de los vértices del trapecio isósceles $ABCD$ son todas enteras, con $A = (20, 100)$ y $D = (21, 107)$ . El trapecio no tiene lados horizontales ni verticales, y $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ son los únicos lados paralelos. La suma de los valores absolutos de todas las pendientes posibles de $\overline{AB}$ es $m/n$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n$ .

The coordinates of the vertices of isosceles trapezoid $ABCD$ are all integers, with $A = (20, 100)$ and $D = (21, 107).$ The trapezoid has no horizontal or vertical sides, and $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are the only parallel sides. The sum of the absolute values of all possible slopes for $\overline{AB}$ is $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 131

Conceptos:trapecio punto reticular pendiente análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Como todos los vértices son puntos reticulares, $w = \overrightarrow{BC}$ es un vector entero con $|w| = |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{50}$ , así que $w$ es uno de $(\pm 1, \pm 7)$ , $(\pm 7, \pm 1)$ , $(\pm 5, \pm 5)$ . Escribe $\overrightarrow{AD} = (1, 7) = s\,\hat{u} + h\,\hat{v}$ donde $\hat{u}$ apunta a lo largo de $\overline{AB}$ y $\hat{v}$ es perpendicular. Como $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ , el vector $w$ tiene la misma componente perpendicular $h$ , y la igualdad de las longitudes de los lados obliga a que su componente en $\hat{u}$ sea $-s$ (el valor $+s$ da un paralelogramo). Por tanto $(1, 7) - w = 2s\,\hat{u}$ es paralelo a $\overline{AB}$ .

Descarta $w = (1, 7)$ (paralelogramo) y $w = (-1, -7)$ (entonces $h = 0$ , degenerado). Las opciones $w = (1, -7)$ y $w = (-1, 7)$ hacen que $(1, 7) - w$ sea vertical u horizontal, lo cual está prohibido. Las ocho opciones restantes dan $(1, 7) - w$ igual a $(-6, 6)$ , $(-6, 8)$ , $(8, 6)$ , $(8, 8)$ , $(-4, 2)$ , $(-4, 12)$ , $(6, 2)$ , $(6, 12)$ , con pendientes $-1$ , $-\frac{4}{3}$ , $\frac{3}{4}$ , $1$ , $-\frac{1}{2}$ , $-3$ , $\frac{1}{3}$ , $2$ ; cada una es realizable colocando $B$ suficientemente lejos a lo largo de $\hat{u}$ .

La suma de los valores absolutos es $1 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{1}{2}$ $+ 3 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{119}{12}$ , así que $m + n = 119 + 12 = 131$ .

Since all vertices are lattice points, $w = \overrightarrow{BC}$ is an integer vector with $|w| = |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{50},$ so $w$ is one of $(\pm 1, \pm 7),$ $(\pm 7, \pm 1),$ $(\pm 5, \pm 5).$ Write $\overrightarrow{AD} = (1, 7) = s\,\hat{u} + h\,\hat{v}$ where $\hat{u}$ points along $\overline{AB}$ and $\hat{v}$ is perpendicular. Because $\overline{AB} \parallel \overline{CD},$ the vector $w$ has the same perpendicular component $h,$ and the equal leg lengths force its $\hat{u}$ -component to be $-s$ (the value $+s$ gives a parallelogram). Hence $(1, 7) - w = 2s\,\hat{u}$ is parallel to $\overline{AB}.$

Discard $w = (1, 7)$ (parallelogram) and $w = (-1, -7)$ (then $h = 0,$ degenerate). The choices $w = (1, -7)$ and $w = (-1, 7)$ make $(1, 7) - w$ vertical or horizontal, which is forbidden. The remaining eight choices give $(1, 7) - w$ equal to $(-6, 6),$ $(-6, 8),$ $(8, 6),$ $(8, 8),$ $(-4, 2),$ $(-4, 12),$ $(6, 2),$ $(6, 12),$ with slopes $-1,$ $-\frac{4}{3},$ $\frac{3}{4},$ $1,$ $-\frac{1}{2},$ $-3,$ $\frac{1}{3},$ $2;$ each is realizable by placing $B$ suitably far along $\hat{u}.$

The sum of the absolute values is $1 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{1}{2}$ $+ 3 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{119}{12},$ so $m + n = 119 + 12 = 131.$

12.

Los puntos $A$ , $B$ , y $C$ están sobre la superficie de una esfera de centro $O$ y radio $20.$ Se sabe que $AB = 13$ , $BC = 14$ , $CA = 15$ , y que la distancia de $O$ al triángulo $ABC$ es $\frac{m\sqrt{n}}{k}$ , donde $m$ , $n$ , y $k$ son enteros positivos, $m$ y $k$ son primos entre sí, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + k.$

The points $A,$ $B,$ and $C$ lie on the surface of a sphere with center $O$ and radius $20.$ It is given that $AB = 13,$ $BC = 14,$ $CA = 15,$ and that the distance from $O$ to triangle $ABC$ is $\frac{m\sqrt{n}}{k},$ where $m,$ $n,$ and $k$ are positive integers, $m$ and $k$ are relatively prime, and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + k.$

Respuesta

Respuesta: 118

Conceptos:esfera circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio Fórmula de Herón Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

El pie de la perpendicular desde $O$ al plano de $ABC$ equidista de $A$ , $B$ , y $C$ (los segmentos inclinados a los vértices tienen todos longitud $20$ ), así que es el circuncentro del triángulo $ABC.$

Por la fórmula de Herón con $s = 21$ , el área es $K = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ , así que el circunradio es $R = \frac{abc}{4K} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{336} = \frac{65}{8}$ . La distancia de $O$ al plano es $\begin{aligned} \small \sqrt{20^2 - \left(\tfrac{65}{8}\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{25600 - 4225}{64}} \\ &= \frac{\sqrt{21375}}{8} \\ &= \frac{15\sqrt{95}}{8}. \end{aligned}$

Aquí $\gcd(15, 8) = 1$ y $95 = 5 \cdot 19$ es libre de cuadrados, así que $m + n + k = 15 + 95 + 8 = 118$ .

The foot of the perpendicular from $O$ to the plane of $ABC$ is equidistant from $A,$ $B,$ and $C$ (the slant segments to the vertices all have length $20$ ), so it is the circumcenter of triangle $ABC.$

By Heron's formula with $s = 21,$ the area is $K = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ so the circumradius is $R = \frac{abc}{4K} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{336} = \frac{65}{8}.$ The distance from $O$ to the plane is $\begin{aligned} \small \sqrt{20^2 - \left(\tfrac{65}{8}\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{25600 - 4225}{64}} \\ &= \frac{\sqrt{21375}}{8} \\ &= \frac{15\sqrt{95}}{8}. \end{aligned}$

Here $\gcd(15, 8) = 1$ and $95 = 5 \cdot 19$ is squarefree, so $m + n + k = 15 + 95 + 8 = 118.$

13.

La ecuación $2000x^6 + 100x^5 + 10x^3$ $+ x - 2 = 0$ tiene exactamente dos raíces reales, una de las cuales es $\frac{m + \sqrt{n}}{r}$ , donde $m$ , $n$ , y $r$ son enteros, $m$ y $r$ son primos entre sí, y $r \gt 0.$ Halla $m + n + r.$

The equation $2000x^6 + 100x^5 + 10x^3$ $+ x - 2 = 0$ has exactly two real roots, one of which is $\frac{m + \sqrt{n}}{r},$ where $m,$ $n,$ and $r$ are integers, $m$ and $r$ are relatively prime, and $r \gt 0.$ Find $m + n + r.$

Respuesta

Respuesta: 200

Conceptos:polinomio suma y diferencia de cubos factorización cuadrática

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Agrupa la ecuación como $\begin{aligned} &2(1000x^6 - 1) \\ &\quad {}+ x(100x^4 + 10x^2 + 1) = 0. \end{aligned}$ Como $1000x^6 - 1 = (10x^2)^3 - 1$ $= (10x^2 - 1)$ $(100x^4 + 10x^2 + 1)$ , el lado izquierdo se factoriza como $\begin{aligned} &(100x^4 + 10x^2 + 1) \\ &\quad \big(2(10x^2 - 1) + x\big) \\ &= (100x^4 + 10x^2 + 1) \\ &\quad (20x^2 + x - 2). \end{aligned}$

El factor cuártico siempre es positivo, así que las dos raíces reales son las raíces de $20x^2 + x - 2 = 0$ , a saber $x = \frac{-1 \pm \sqrt{161}}{40}$ . La raíz de la forma $\frac{m + \sqrt{n}}{r}$ es $\frac{-1 + \sqrt{161}}{40}$ , con $m = -1$ , $n = 161$ , $r = 40$ , y $\gcd(-1, 40) = 1$ . Así $m + n + r = -1 + 161 + 40$ $= 200$ .

Group the equation as $\begin{aligned} &2(1000x^6 - 1) \\ &\quad {}+ x(100x^4 + 10x^2 + 1) = 0. \end{aligned}$ Since $1000x^6 - 1 = (10x^2)^3 - 1$ $= (10x^2 - 1)$ $(100x^4 + 10x^2 + 1),$ the left side factors as $\begin{aligned} &(100x^4 + 10x^2 + 1) \\ &\quad \big(2(10x^2 - 1) + x\big) \\ &= (100x^4 + 10x^2 + 1) \\ &\quad (20x^2 + x - 2). \end{aligned}$

The quartic factor is always positive, so the two real roots are the roots of $20x^2 + x - 2 = 0,$ namely $x = \frac{-1 \pm \sqrt{161}}{40}.$ The root of the form $\frac{m + \sqrt{n}}{r}$ is $\frac{-1 + \sqrt{161}}{40},$ with $m = -1,$ $n = 161,$ $r = 40,$ and $\gcd(-1, 40) = 1.$ Thus $m + n + r = -1 + 161 + 40$ $= 200.$

14.

Todo entero positivo $k$ tiene una única expansión en base factorial $(f_1, f_2, f_3, \ldots, f_m)$ , que significa que $k = 1! \cdot f_1 + 2! \cdot f_2$ $+ 3! \cdot f_3 + \cdots + m! \cdot f_m$ , donde cada $f_i$ es un entero, $0 \le f_i \le i$ , y $0 \lt f_m$ . Dado que $(f_1, f_2, f_3, \ldots, f_j)$ es la expansión en base factorial de $\begin{aligned} &16! - 32! + 48! \\ &\quad {}- 64! + \cdots + 1968! \\ &\quad {}- 1984! + 2000!, \end{aligned}$ halla el valor de $f_1 - f_2 + f_3$ $- f_4 + \cdots + (-1)^{j+1} f_j$ .

Every positive integer $k$ has a unique factorial base expansion $(f_1, f_2, f_3, \ldots, f_m),$ meaning that $k = 1! \cdot f_1 + 2! \cdot f_2$ $+ 3! \cdot f_3 + \cdots + m! \cdot f_m,$ where each $f_i$ is an integer, $0 \le f_i \le i,$ and $0 \lt f_m.$ Given that $(f_1, f_2, f_3, \ldots, f_j)$ is the factorial base expansion of $\begin{aligned} &16! - 32! + 48! \\ &\quad {}- 64! + \cdots + 1968! \\ &\quad {}- 1984! + 2000!, \end{aligned}$ find the value of $f_1 - f_2 + f_3$ $- f_4 + \cdots + (-1)^{j+1} f_j.$

Respuesta

Respuesta: 495

Conceptos:base numérica factorial telescópica

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Como $(i+1)! - i! = i \cdot i!$ , la suma telescópica da $a! - b! = \sum_{i=b}^{a-1} i \cdot i!$ para $a \gt b$ . Agrupa el número dado como $\begin{aligned} &16! + (48! - 32!) + (80! - 64!) \\ &\quad {}+ \cdots + (2000! - 1984!), \end{aligned}$ con $62$ grupos entre paréntesis $(32j + 16)! - (32j)!$ para $j = 1, \ldots, 62$ .

El grupo para $j$ aporta los dígitos en base factorial $f_i = i$ para $32j \le i \le 32j + 15$ , y el $16!$ solitario aporta $f_{16} = 1$ ; todos los demás dígitos son $0$ . Cada dígito satisface $0 \le f_i \le i$ , así que por unicidad esta es la expansión en base factorial.

En la suma alternada, $f_{16} = 1$ está en un índice par y aporta $-1$ . El rango de cada grupo empieza en un índice par y tiene longitud $16$ , así que se divide en $8$ parejas consecutivas, cada una aportando $-i + (i + 1) = 1$ , para $+8$ por grupo. El total es $62 \cdot 8 - 1 = 495$ .

Since $(i+1)! - i! = i \cdot i!,$ telescoping gives $a! - b! = \sum_{i=b}^{a-1} i \cdot i!$ for $a \gt b.$ Group the given number as $\begin{aligned} &16! + (48! - 32!) + (80! - 64!) \\ &\quad {}+ \cdots + (2000! - 1984!), \end{aligned}$ with $62$ parenthesized groups $(32j + 16)! - (32j)!$ for $j = 1, \ldots, 62.$

The group for $j$ contributes factorial-base digits $f_i = i$ for $32j \le i \le 32j + 15,$ and the lone $16!$ contributes $f_{16} = 1;$ all other digits are $0.$ Every digit satisfies $0 \le f_i \le i,$ so by uniqueness this is the factorial base expansion.

In the alternating sum, $f_{16} = 1$ sits at an even index and contributes $-1.$ Each group's range starts at an even index and has length $16,$ so it splits into $8$ consecutive pairs, each contributing $-i + (i + 1) = 1,$ for $+8$ per group. The total is $62 \cdot 8 - 1 = 495.$

15.

Halla el menor entero positivo $n$ tal que $\begin{aligned} &\frac{1}{\sin 45^\circ \sin 46^\circ} + \frac{1}{\sin 47^\circ \sin 48^\circ} \\ &\quad {}+ \cdots + \frac{1}{\sin 133^\circ \sin 134^\circ} \\ &= \frac{1}{\sin n^\circ}. \end{aligned}$

Find the least positive integer $n$ such that $\begin{aligned} &\frac{1}{\sin 45^\circ \sin 46^\circ} + \frac{1}{\sin 47^\circ \sin 48^\circ} \\ &\quad {}+ \cdots + \frac{1}{\sin 133^\circ \sin 134^\circ} \\ &= \frac{1}{\sin n^\circ}. \end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 1

Conceptos:identidad trigonométrica telescópica

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Como $\sin 1^\circ = \sin\big((k+1)^\circ - k^\circ\big)$ $= \sin(k+1)^\circ \cos k^\circ$ $- \cos(k+1)^\circ \sin k^\circ$ , dividiendo entre $\sin k^\circ \sin(k+1)^\circ$ se obtiene $\begin{aligned} \small \frac{1}{\sin k^\circ \sin(k+1)^\circ} \\ &\scriptsize = \frac{\cot k^\circ - \cot(k+1)^\circ}{\sin 1^\circ}. \end{aligned}$ Así la suma multiplicada por $\sin 1^\circ$ es igual a $\cot 45^\circ - \cot 46^\circ + \cot 47^\circ$ $- \cot 48^\circ$ $+ \cdots + \cot 133^\circ - \cot 134^\circ$ , con signos $+$ en los argumentos impares y signos $-$ en los pares.

Como $\cot(180^\circ - x) = -\cot x$ y aquí los argumentos suplementarios tienen la misma paridad, los términos se cancelan por parejas suplementarias: $+\cot 133^\circ$ cancela $+\cot 47^\circ$ , $-\cot 134^\circ$ cancela $-\cot 46^\circ$ , y así sucesivamente para cada par de argumentos que suman $180^\circ$ . Los únicos sobrevivientes son $\cot 45^\circ = 1$ (su pareja $135^\circ$ queda fuera de rango) y $-\cot 90^\circ = 0$ .

Por tanto la suma es igual a $\frac{\cot 45^\circ}{\sin 1^\circ} = \frac{1}{\sin 1^\circ}$ , así que el menor $n$ tal es $1$ .

Since $\sin 1^\circ = \sin\big((k+1)^\circ - k^\circ\big)$ $= \sin(k+1)^\circ \cos k^\circ$ $- \cos(k+1)^\circ \sin k^\circ,$ dividing by $\sin k^\circ \sin(k+1)^\circ$ gives $\begin{aligned} \small \frac{1}{\sin k^\circ \sin(k+1)^\circ} \\ &\scriptsize = \frac{\cot k^\circ - \cot(k+1)^\circ}{\sin 1^\circ}. \end{aligned}$ So the sum times $\sin 1^\circ$ equals $\cot 45^\circ - \cot 46^\circ + \cot 47^\circ$ $- \cot 48^\circ$ $+ \cdots + \cot 133^\circ - \cot 134^\circ,$ with $+$ signs on odd arguments and $-$ signs on even arguments.

Because $\cot(180^\circ - x) = -\cot x$ and supplementary arguments here have the same parity, the terms cancel in supplementary pairs: $+\cot 133^\circ$ cancels $+\cot 47^\circ,$ $-\cot 134^\circ$ cancels $-\cot 46^\circ,$ and so on for every pair of arguments summing to $180^\circ.$ The only survivors are $\cot 45^\circ = 1$ (its partner $135^\circ$ is out of range) and $-\cot 90^\circ = 0.$

Hence the sum equals $\frac{\cot 45^\circ}{\sin 1^\circ} = \frac{1}{\sin 1^\circ},$ so the least such $n$ is $1.$

Problemas del 2000 AIME II

Respuesta: 7

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