Question

Halla el menor entero positivo $n$ tal que $\begin{aligned} &\frac{1}{\sin 45^\circ \sin 46^\circ} + \frac{1}{\sin 47^\circ \sin 48^\circ} \\ &\quad {}+ \cdots + \frac{1}{\sin 133^\circ \sin 134^\circ} \\ &= \frac{1}{\sin n^\circ}. \end{aligned}$

Find the least positive integer $n$ such that $\begin{aligned} &\frac{1}{\sin 45^\circ \sin 46^\circ} + \frac{1}{\sin 47^\circ \sin 48^\circ} \\ &\quad {}+ \cdots + \frac{1}{\sin 133^\circ \sin 134^\circ} \\ &= \frac{1}{\sin n^\circ}. \end{aligned}$

Respuesta

Solución:

Como $\sin 1^\circ = \sin\big((k+1)^\circ - k^\circ\big)$ $= \sin(k+1)^\circ \cos k^\circ$ $- \cos(k+1)^\circ \sin k^\circ$ , dividiendo entre $\sin k^\circ \sin(k+1)^\circ$ se obtiene $\begin{aligned} \small \frac{1}{\sin k^\circ \sin(k+1)^\circ} \\ &\scriptsize = \frac{\cot k^\circ - \cot(k+1)^\circ}{\sin 1^\circ}. \end{aligned}$ Así la suma multiplicada por $\sin 1^\circ$ es igual a $\cot 45^\circ - \cot 46^\circ + \cot 47^\circ$ $- \cot 48^\circ$ $+ \cdots + \cot 133^\circ - \cot 134^\circ$ , con signos $+$ en los argumentos impares y signos $-$ en los pares.

Como $\cot(180^\circ - x) = -\cot x$ y aquí los argumentos suplementarios tienen la misma paridad, los términos se cancelan por parejas suplementarias: $+\cot 133^\circ$ cancela $+\cot 47^\circ$ , $-\cot 134^\circ$ cancela $-\cot 46^\circ$ , y así sucesivamente para cada par de argumentos que suman $180^\circ$ . Los únicos sobrevivientes son $\cot 45^\circ = 1$ (su pareja $135^\circ$ queda fuera de rango) y $-\cot 90^\circ = 0$ .

Por tanto la suma es igual a $\frac{\cot 45^\circ}{\sin 1^\circ} = \frac{1}{\sin 1^\circ}$ , así que el menor $n$ tal es $1$ .

Since $\sin 1^\circ = \sin\big((k+1)^\circ - k^\circ\big)$ $= \sin(k+1)^\circ \cos k^\circ$ $- \cos(k+1)^\circ \sin k^\circ,$ dividing by $\sin k^\circ \sin(k+1)^\circ$ gives $\begin{aligned} \small \frac{1}{\sin k^\circ \sin(k+1)^\circ} \\ &\scriptsize = \frac{\cot k^\circ - \cot(k+1)^\circ}{\sin 1^\circ}. \end{aligned}$ So the sum times $\sin 1^\circ$ equals $\cot 45^\circ - \cot 46^\circ + \cot 47^\circ$ $- \cot 48^\circ$ $+ \cdots + \cot 133^\circ - \cot 134^\circ,$ with $+$ signs on odd arguments and $-$ signs on even arguments.

Because $\cot(180^\circ - x) = -\cot x$ and supplementary arguments here have the same parity, the terms cancel in supplementary pairs: $+\cot 133^\circ$ cancels $+\cot 47^\circ,$ $-\cot 134^\circ$ cancels $-\cot 46^\circ,$ and so on for every pair of arguments summing to $180^\circ.$ The only survivors are $\cot 45^\circ = 1$ (its partner $135^\circ$ is out of range) and $-\cot 90^\circ = 0.$

Hence the sum equals $\frac{\cot 45^\circ}{\sin 1^\circ} = \frac{1}{\sin 1^\circ},$ so the least such $n$ is $1.$

2000 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años