Question

Sea $P(x) = x^2 - 3x - 9.$ Se elige al azar un número real $x$ del intervalo $5 \le x \le 15.$ La probabilidad de que $\left\lfloor \sqrt{P(x)} \right\rfloor = \sqrt{P(\lfloor x \rfloor)}$ es igual a $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - d}{e},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ son enteros positivos. Halla $a + b + c + d + e.$

Let $P(x) = x^2 - 3x - 9.$ A real number $x$ is chosen at random from the interval $5 \le x \le 15.$ The probability that $\left\lfloor \sqrt{P(x)} \right\rfloor = \sqrt{P(\lfloor x \rfloor)}$ is equal to $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - d}{e},$ where $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ are positive integers. Find $a + b + c + d + e.$

Respuesta

Solución:

Para $x \in [n, n + 1)$ el lado derecho es $\sqrt{P(n)},$ que debe ser entero, así que $P(n) = n^2 - 3n - 9$ debe ser un cuadrado perfecto. Para $n = 5, 6, \ldots, 14$ los valores son $1, 9, 19, 31, 45,$ $61, 79, 99, 121, 145:$ solo $n = 5, 6, 13$ dan cuadrados, con $\sqrt{P(n)} = 1, 3, 11$ respectivamente.

$P$ es creciente en $[5, 15],$ así que para $x \in [n, n + 1)$ tenemos automáticamente $\sqrt{P(x)} \ge \sqrt{P(n)},$ y $\left\lfloor \sqrt{P(x)} \right\rfloor = \sqrt{P(n)} = m$ se cumple exactamente cuando $P(x) \lt (m + 1)^2,$ es decir $x \lt \frac{3 + \sqrt{45 + 4(m+1)^2}}{2}.$ Para $m = 1, 3, 11$ los cortes son $\frac{3 + \sqrt{61}}{2},$ $\frac{3 + \sqrt{109}}{2},$ $\frac{3 + \sqrt{621}}{2},$ cada uno dentro del intervalo unitario correspondiente, así que los subintervalos exitosos tienen longitudes $\frac{\sqrt{61} - 7}{2},$ $\frac{\sqrt{109} - 9}{2},$ $\frac{\sqrt{621} - 23}{2}.$

El intervalo $[5, 15]$ tiene longitud $10,$ así que la probabilidad es $\begin{aligned} &\frac{1}{10} \\ &\quad {}\cdot \frac{\sqrt{61} + \sqrt{109} + \sqrt{621} - 39}{2} \\ &= \frac{\sqrt{61} + \sqrt{109} + \sqrt{621} - 39}{20}, \end{aligned}$ dando $a + b + c + d + e =$ $61 + 109 + 621 + 39 + 20 =$ $850.$

For $x \in [n, n + 1)$ the right-hand side is $\sqrt{P(n)},$ which must be an integer, so $P(n) = n^2 - 3n - 9$ must be a perfect square. For $n = 5, 6, \ldots, 14$ the values are $1, 9, 19, 31, 45,$ $61, 79, 99, 121, 145:$ only $n = 5, 6, 13$ give squares, with $\sqrt{P(n)} = 1, 3, 11$ respectively.

$P$ is increasing on $[5, 15],$ so for $x \in [n, n + 1)$ we automatically have $\sqrt{P(x)} \ge \sqrt{P(n)},$ and $\left\lfloor \sqrt{P(x)} \right\rfloor = \sqrt{P(n)} = m$ holds exactly when $P(x) \lt (m + 1)^2,$ i.e. $x \lt \frac{3 + \sqrt{45 + 4(m+1)^2}}{2}.$ For $m = 1, 3, 11$ the cutoffs are $\frac{3 + \sqrt{61}}{2},$ $\frac{3 + \sqrt{109}}{2},$ $\frac{3 + \sqrt{621}}{2},$ each lying inside the corresponding unit interval, so the successful subintervals have lengths $\frac{\sqrt{61} - 7}{2},$ $\frac{\sqrt{109} - 9}{2},$ $\frac{\sqrt{621} - 23}{2}.$

The interval $[5, 15]$ has length $10,$ so the probability is $\begin{aligned} &\frac{1}{10} \\ &\quad {}\cdot \frac{\sqrt{61} + \sqrt{109} + \sqrt{621} - 39}{2} \\ &= \frac{\sqrt{61} + \sqrt{109} + \sqrt{621} - 39}{20}, \end{aligned}$ giving $a + b + c + d + e =$ $61 + 109 + 621 + 39 + 20 =$ $850.$

2011 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años