Question

Sea $ABC$ un triángulo equilátero, y sean $D$ y $F$ puntos sobre los lados $BC$ y $AB,$ respectivamente, con $FA = 5$ y $CD = 2.$ El punto $E$ está sobre el lado $CA$ de modo que $\angle DEF = 60^\circ.$ El área del triángulo $DEF$ es $14\sqrt{3}.$ Los dos valores posibles de la longitud del lado $AB$ son $p \pm q\sqrt{r},$ donde $p$ y $q$ son racionales, y $r$ es un entero no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $r.$

Let $ABC$ be an equilateral triangle, and let $D$ and $F$ be points on sides $BC$ and $AB,$ respectively, with $FA = 5$ and $CD = 2.$ Point $E$ lies on side $CA$ such that $\angle DEF = 60^\circ.$ The area of triangle $DEF$ is $14\sqrt{3}.$ The two possible values of the length of side $AB$ are $p \pm q\sqrt{r},$ where $p$ and $q$ are rational, and $r$ is an integer not divisible by the square of a prime. Find $r.$

Respuesta

Solución:

Sea $s = AB$ y $t = AE.$ Usando los ángulos de $60^\circ$ en $A,$ $B,$ $C$ y la fórmula del área $\frac{1}{2}xy\sin 60^\circ:$ $[AEF] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5t,$ $[BFD] = \frac{\sqrt{3}}{4}(s-5)(s-2),$ y $[CDE] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2(s-t).$ Restando las tres de $[ABC] = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ y simplificando, $\begin{aligned} [DEF] &= \frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(5(s - t) + 2t - 10\bigr) \\ &= 14\sqrt{3}, \end{aligned}$ así que $5(s - t) + 2t = 66.$

En $E,$ los ángulos $\angle AEF$ y $\angle CED$ suman $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ,$ mientras que en el triángulo $AEF$ los ángulos $\angle AEF$ y $\angle AFE$ también suman $120^\circ.$ Por tanto $\angle AFE = \angle CED,$ y como $\angle A = \angle C = 60^\circ,$ los triángulos $AEF$ y $CDE$ son semejantes. Entonces $\frac{AE}{AF} = \frac{CD}{CE}$ da $\frac{t}{5} = \frac{2}{s - t},$ así que $t(s - t) = 10.$

Sustituyendo $s - t = \frac{10}{t}$ en $5(s - t) + 2t = 66$ da $\frac{50}{t} + 2t = 66,$ o sea $t^2 - 33t + 25 = 0,$ así que $t = \frac{33 \pm \sqrt{989}}{2}.$ De $\frac{25}{t} = 33 - t$ obtenemos $\frac{10}{t} = \frac{2}{5}(33 - t),$ así que $s = t + \frac{10}{t} = \frac{3t + 66}{5} = \frac{231 \pm 3\sqrt{989}}{10}.$ Ambos valores dan configuraciones válidas, así que $r = 989.$

Let $s = AB$ and $t = AE.$ Using the $60^\circ$ angles at $A,$ $B,$ $C$ and the area formula $\frac{1}{2}xy\sin 60^\circ:$ $[AEF] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5t,$ $[BFD] = \frac{\sqrt{3}}{4}(s-5)(s-2),$ and $[CDE] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2(s-t).$ Subtracting all three from $[ABC] = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ and simplifying, $\begin{aligned} [DEF] &= \frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(5(s - t) + 2t - 10\bigr) \\ &= 14\sqrt{3}, \end{aligned}$ so $5(s - t) + 2t = 66.$

At $E,$ the angles $\angle AEF$ and $\angle CED$ sum to $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ,$ while in triangle $AEF$ the angles $\angle AEF$ and $\angle AFE$ also sum to $120^\circ.$ Hence $\angle AFE = \angle CED,$ and since $\angle A = \angle C = 60^\circ,$ triangles $AEF$ and $CDE$ are similar. Then $\frac{AE}{AF} = \frac{CD}{CE}$ gives $\frac{t}{5} = \frac{2}{s - t},$ so $t(s - t) = 10.$

Substituting $s - t = \frac{10}{t}$ into $5(s - t) + 2t = 66$ gives $\frac{50}{t} + 2t = 66,$ or $t^2 - 33t + 25 = 0,$ so $t = \frac{33 \pm \sqrt{989}}{2}.$ From $\frac{25}{t} = 33 - t$ we get $\frac{10}{t} = \frac{2}{5}(33 - t),$ so $s = t + \frac{10}{t} = \frac{3t + 66}{5} = \frac{231 \pm 3\sqrt{989}}{10}.$ Both values yield valid configurations, so $r = 989.$

2007 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años