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2007 AIME I Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2007 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Sea ABCABC un triángulo equilátero, y sean DD y FF puntos sobre los lados BCBC y AB,AB, respectivamente, con FA=5FA = 5 y CD=2.CD = 2. El punto EE está sobre el lado CACA de modo que ∠DEF=60∘.\angle DEF = 60^\circ. El área del triángulo DEFDEF es 143.14\sqrt{3}. Los dos valores posibles de la longitud del lado ABAB son p±qr,p \pm q\sqrt{r}, donde pp y qq son racionales, y rr es un entero no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla r.r.
Let ABCABC be an equilateral triangle, and let DD and FF be points on sides BCBC and AB,AB, respectively, with FA=5FA = 5 and CD=2.CD = 2. Point EE lies on side CACA such that ∠DEF=60∘.\angle DEF = 60^\circ. The area of triangle DEFDEF is 143.14\sqrt{3}. The two possible values of the length of side ABAB are p±qr,p \pm q\sqrt{r}, where pp and qq are rational, and rr is an integer not divisible by the square of a prime. Find r.r.
Respuesta: 989
Conceptos:triángulo equiláterosemejanzaárea del triángulocuadrática
Nivel de dificultad: 3370
Pista pequeña:
Sea AB=sAB = s y AE=t,AE = t, y resta los tres triángulos de las esquinas de [ABC][ABC] para obtener 5(s−t)+2t=665(s-t) + 2t = 66
Let AB=sAB = s and AE=t,AE = t, and subtract the three corner triangles from [ABC][ABC] to get 5(s−t)+2t=665(s-t) + 2t = 66
Pista grande:
∠DEF=60∘\angle DEF = 60^\circ obliga a △AEF∼△CDE,\triangle AEF \sim \triangle CDE, así que t(s−t)=10t(s - t) = 10
∠DEF=60∘\angle DEF = 60^\circ forces △AEF∼△CDE,\triangle AEF \sim \triangle CDE, so t(s−t)=10t(s - t) = 10
Solución:
Sea s=ABs = AB y t=AE.t = AE. Usando los ángulos de 60∘60^\circ en A,A, B,B, CC y la fórmula del área 12xysin⁡60∘:\frac{1}{2}xy\sin 60^\circ: [AEF]=34⋅5t,[AEF] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5t, [BFD]=34(s−5)(s−2),[BFD] = \frac{\sqrt{3}}{4}(s-5)(s-2), y [CDE]=34⋅2(s−t).[CDE] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2(s-t). Restando las tres de [ABC]=34s2[ABC] = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2 y simplificando, [DEF]=34(5(s−t)+2t−10)=143,\begin{aligned} [DEF] &= \frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(5(s - t) + 2t - 10\bigr) \\ &= 14\sqrt{3}, \end{aligned} así que 5(s−t)+2t=66.5(s - t) + 2t = 66.
En E,E, los ángulos ∠AEF\angle AEF y ∠CED\angle CED suman 180∘−60∘=120∘,180^\circ - 60^\circ = 120^\circ, mientras que en el triángulo AEFAEF los ángulos ∠AEF\angle AEF y ∠AFE\angle AFE también suman 120∘.120^\circ. Por tanto ∠AFE=∠CED,\angle AFE = \angle CED, y como ∠A=∠C=60∘,\angle A = \angle C = 60^\circ, los triángulos AEFAEF y CDECDE son semejantes. Entonces AEAF=CDCE\frac{AE}{AF} = \frac{CD}{CE} da t5=2s−t,\frac{t}{5} = \frac{2}{s - t}, así que t(s−t)=10.t(s - t) = 10.
Sustituyendo s−t=10ts - t = \frac{10}{t} en 5(s−t)+2t=665(s - t) + 2t = 66 da 50t+2t=66,\frac{50}{t} + 2t = 66, o sea t2−33t+25=0,t^2 - 33t + 25 = 0, así que t=33±9892.t = \frac{33 \pm \sqrt{989}}{2}. De 25t=33−t\frac{25}{t} = 33 - t obtenemos 10t=25(33−t),\frac{10}{t} = \frac{2}{5}(33 - t), así que s=t+10t=3t+665=231±398910.s = t + \frac{10}{t} = \frac{3t + 66}{5} = \frac{231 \pm 3\sqrt{989}}{10}. Ambos valores dan configuraciones válidas, así que r=989.r = 989.
Let s=ABs = AB and t=AE.t = AE. Using the 60∘60^\circ angles at A,A, B,B, CC and the area formula 12xysin⁡60∘:\frac{1}{2}xy\sin 60^\circ: [AEF]=34⋅5t,[AEF] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5t, [BFD]=34(s−5)(s−2),[BFD] = \frac{\sqrt{3}}{4}(s-5)(s-2), and [CDE]=34⋅2(s−t).[CDE] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2(s-t). Subtracting all three from [ABC]=34s2[ABC] = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2 and simplifying, [DEF]=34(5(s−t)+2t−10)=143,\begin{aligned} [DEF] &= \frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(5(s - t) + 2t - 10\bigr) \\ &= 14\sqrt{3}, \end{aligned} so 5(s−t)+2t=66.5(s - t) + 2t = 66.
At E,E, the angles ∠AEF\angle AEF and ∠CED\angle CED sum to 180∘−60∘=120∘,180^\circ - 60^\circ = 120^\circ, while in triangle AEFAEF the angles ∠AEF\angle AEF and ∠AFE\angle AFE also sum to 120∘.120^\circ. Hence ∠AFE=∠CED,\angle AFE = \angle CED, and since ∠A=∠C=60∘,\angle A = \angle C = 60^\circ, triangles AEFAEF and CDECDE are similar. Then AEAF=CDCE\frac{AE}{AF} = \frac{CD}{CE} gives t5=2s−t,\frac{t}{5} = \frac{2}{s - t}, so t(s−t)=10.t(s - t) = 10.
Substituting s−t=10ts - t = \frac{10}{t} into 5(s−t)+2t=665(s - t) + 2t = 66 gives 50t+2t=66,\frac{50}{t} + 2t = 66, or t2−33t+25=0,t^2 - 33t + 25 = 0, so t=33±9892.t = \frac{33 \pm \sqrt{989}}{2}. From 25t=33−t\frac{25}{t} = 33 - t we get 10t=25(33−t),\frac{10}{t} = \frac{2}{5}(33 - t), so s=t+10t=3t+665=231±398910.s = t + \frac{10}{t} = \frac{3t + 66}{5} = \frac{231 \pm 3\sqrt{989}}{10}. Both values yield valid configurations, so r=989.r = 989.
Problema 14#14
Examen completo

El Problema 15 en otros años

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