Solución:

Trabaja hacia atrás: $f(z') = z$ para $z' = 10z$ (siempre) y para $z' = z - 1$ (siempre que $z - 1$ no sea múltiplo de $10$ y $z - 1 \ne 1,$ es decir, $z$ no termine en $1$ y $z \ne 2$). Así que los enteros con $d(x) = n$ forman la columna $n$ de un árbol con raíz en $1:$ las columnas empiezan $\{1\},$ $\{10\},$ $\{9, 100\},$ $\{8, 90, 99, 1000\},$ y cada vértice tiene dos hijos excepto $2$ y los vértices que terminan en $1,$ que tienen solo el hijo $10z.$

Localiza esos vértices con un solo hijo. Como $2 \to 3 \to \cdots \to 10 \to 1,$ el vértice $2$ está en la columna $10.$ Un vértice que termina en $1$ se alcanza restando $1$ nueve veces desde un vértice que termina en $0,$ así que tales vértices están $9$ columnas después de los múltiplos de $10$ en el árbol. Las columnas $2$ a $10$ se duplican perfectamente (no aparecen vértices con un solo hijo tan pronto), así que la columna $j$ tiene $2^{j-2}$ vértices, de los cuales los múltiplos de $10$, los hijos $10z$ de la columna $j - 1$, suman $2^{j-3}.$ Por lo tanto, para $12 \le k \le 19,$ la columna $k$ contiene $2^{k-12}$ vértices que terminan en $1$ (la columna $11$ no tiene ninguno, porque el múltiplo de $10$ en la columna $2$ es $10$ mismo, cuyo descendiente $1$ está excluido, y esa exclusión es exactamente el hijo faltante de $2$).

Un vértice con un solo hijo en la columna $k$ quita $2^{19-k}$ de los potenciales $2^{18}$ vértices de la columna $20.$ Por lo tanto $$\begin{aligned} m &= 2^{18} - 2^{9} \\ &\quad {}- \sum_{k=12}^{19} 2^{k-12} \cdot 2^{19-k} \\ &= 2^{18} - 2^9 - 8 \cdot 2^7 \\ &= 2^9(2^9 - 1 - 2) \\ &= 2^9 \cdot 509. \end{aligned}$$ Como $509$ es primo, la suma de los distintos factores primos de $m$ es $2 + 509 = 511.$