Question

Sea $\mathcal{B}$ el conjunto de las cajas rectangulares con área de superficie $54$ y volumen $23.$ Sea $r$ el radio de la menor esfera que puede contener cada una de las cajas rectangulares que son elementos de $\mathcal{B}.$ El valor de $r^2$ se puede escribir como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Let $\mathcal{B}$ be the set of rectangular boxes with surface area $54$ and volume $23.$ Let $r$ be the radius of the smallest sphere that can contain each of the rectangular boxes that are elements of $\mathcal{B}.$ The value of $r^2$ can be written as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Para una caja con dimensiones $a, b, c,$ las condiciones son $2(ab + bc + ca) = 54$ y $abc = 23,$ así que $ab + bc + ca = 27.$ La menor esfera que contiene una caja tiene la diagonal espacial de la caja como diámetro, así que $\begin{aligned} &r^2 = \max_{\mathcal{B}} \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} \\ &= \max_{\mathcal{B}} \frac{(a + b + c)^2 - 54}{4}. \end{aligned}$

Con $ab + bc + ca$ y $abc$ fijos, $s = a + b + c$ recorre un intervalo, y en un extremo la cúbica $t^3 - st^2 + 27t - 23$ tiene una raíz doble, lo que significa que dos dimensiones coinciden. Tomando $b = c:$ $2ab + b^2 = 27$ y $ab^2 = 23,$ así que eliminando $a$ se obtiene $\frac{b(27 - b^2)}{2} = 23,$ es decir $b^3 - 27b + 46 = 0,$ que se factoriza como $(b - 2)(b^2 + 2b - 23) = 0.$ Las raíces son $b = 2$ y $b = 2\sqrt{6} - 1.$

Para $b = 2,$ $a = \frac{23}{4}$ y $s = \frac{23}{4} + 4 = \frac{39}{4} = 9.75;$ para $b = 2\sqrt{6} - 1,$ $s \approx 9.31$ es menor. Así que el máximo de $a^2 + b^2 + c^2$ es $\left(\frac{39}{4}\right)^2 - 54 = \frac{657}{16},$ lo que da $r^2 = \frac{657}{64}$ y $p + q = 657 + 64 = 721.$

For a box with dimensions $a, b, c,$ the conditions are $2(ab + bc + ca) = 54$ and $abc = 23,$ so $ab + bc + ca = 27.$ The smallest sphere containing a box has the box's space diagonal as a diameter, so $\begin{aligned} &r^2 = \max_{\mathcal{B}} \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} \\ &= \max_{\mathcal{B}} \frac{(a + b + c)^2 - 54}{4}. \end{aligned}$

With $ab + bc + ca$ and $abc$ fixed, $s = a + b + c$ ranges over an interval, and at an endpoint the cubic $t^3 - st^2 + 27t - 23$ has a double root, meaning two dimensions coincide. Setting $b = c:$ $2ab + b^2 = 27$ and $ab^2 = 23,$ so eliminating $a$ gives $\frac{b(27 - b^2)}{2} = 23,$ i.e. $b^3 - 27b + 46 = 0,$ which factors as $(b - 2)(b^2 + 2b - 23) = 0.$ The roots are $b = 2$ and $b = 2\sqrt{6} - 1.$

For $b = 2,$ $a = \frac{23}{4}$ and $s = \frac{23}{4} + 4 = \frac{39}{4} = 9.75;$ for $b = 2\sqrt{6} - 1,$ $s \approx 9.31$ is smaller. So the maximum of $a^2 + b^2 + c^2$ is $\left(\frac{39}{4}\right)^2 - 54 = \frac{657}{16},$ giving $r^2 = \frac{657}{64}$ and $p + q = 657 + 64 = 721.$

2024 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años