Respuesta: 38

Pista pequeña:

Sea $M$ el punto medio de $\overline{AB}.$ Calcule la potencia de $M$ y de $C$ respecto al incírculo: ambas resultan $\frac{2}{9}CM^2.$

Pista grande:

Potencias iguales dan longitudes de tangente iguales desde $M$ y $C,$ lo que fuerza $AC = AM = 10;$ luego combine $MT = \frac{BC - 10}{2}$ con la fórmula de la longitud de la mediana

Solución:

Sea $M$ el punto medio de $\overline{AB}.$ Si es necesario, intercambie las etiquetas $A$ y $B$ para que el punto de tangencia del incírculo con $\overline{AB}$ esté en $\overline{AM}.$ El incírculo corta la mediana $\overline{CM}$ en $S$ y $N,$ con $CS = SN = NM = \frac{1}{3}CM,$ y toca $\overline{AB}$ en $T$ y $\overline{AC}$ en $R.$ Por la potencia de un punto, $$\begin{aligned} MT^2 &= MN \cdot MS \\ &= \frac{CM}{3} \cdot \frac{2\,CM}{3} \\ &= \frac{2}{9}CM^2, \\ CR^2 &= CS \cdot CN \\ &= \frac{2}{9}CM^2, \end{aligned}$$ así que $MT = CR.$ Como $AR = AT$ (tangentes desde $A$), obtenemos $$\begin{aligned} AC &= AR + RC \\ &= AT + TM \\ &= AM = 10. \end{aligned}$$

Escriba $a = BC$ y $s = \frac{20 + a + 10}{2} = 15 + \frac{a}{2}.$ La fórmula usual para la longitud de una tangente da $AT = s - a,$ así que $$\begin{aligned} MT &= AM - AT \\ &= 10 - \left(15 - \frac{a}{2}\right) \\ &= \frac{a - 10}{2}, \end{aligned}$$ mientras que la fórmula de la longitud de la mediana da $CM^2 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2a^2 - 20^2}{4} = \frac{a^2 - 100}{2}.$ Por la desigualdad triangular, $a \gt 20 - 10 = 10,$ así que $a - 10$ no es cero. Sustituyendo en $MT^2 = \frac{2}{9}CM^2:$ $$\begin{aligned} \frac{(a - 10)^2}{4} &= \frac{a^2 - 100}{9} \\ &\quad\Longrightarrow\quad 9(a - 10) \\ &= 4(a + 10) \\ &\quad\Longrightarrow\quad a = 26. \end{aligned}$$

Entonces los lados son $20,$ $26,$ $10$ con $s = 28,$ y la fórmula de Herón da $$\begin{aligned} [ABC] &= \sqrt{28 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 18} \\ &= \sqrt{8064} = 24\sqrt{14}, \end{aligned}$$ así que $m + n = 24 + 14 = 38.$