Question

El poliedro $ABCDEFG$ tiene seis caras. La cara $ABCD$ es un cuadrado con $AB = 12;$ la cara $ABFG$ es un trapecio con $\overline{AB}$ paralelo a $\overline{GF},$ $BF = AG = 8,$ y $GF = 6;$ y la cara $CDE$ cumple $CE = DE = 14.$ Las otras tres caras son $ADEG,$ $BCEF,$ y $EFG.$ La distancia de $E$ a la cara $ABCD$ es $12.$ Dado que $EG^2 = p - q\sqrt{r},$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son enteros positivos y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halle $p + q + r.$

Polyhedron $ABCDEFG$ has six faces. Face $ABCD$ is a square with $AB = 12;$ face $ABFG$ is a trapezoid with $\overline{AB}$ parallel to $\overline{GF},$ $BF = AG = 8,$ and $GF = 6;$ and face $CDE$ has $CE = DE = 14.$ The other three faces are $ADEG,$ $BCEF,$ and $EFG.$ The distance from $E$ to face $ABCD$ is $12.$ Given that $EG^2 = p - q\sqrt{r},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers and $r$ is not divisible by the square of any prime, find $p + q + r.$

Respuesta

Solución:

Coloque $D = (0, 0, 0),$ $C = (12, 0, 0),$ $B = (12, 12, 0),$ $A = (0, 12, 0),$ y $E = (x, y, 12),$ usando la distancia dada de $E$ a la cara $ABCD.$ De $CE = DE$ obtenemos $x = 6,$ y luego $DE = 14$ da $36 + y^2 + 144 = 196,$ así que $y = 4$ y $E = (6, 4, 12).$

En el trapecio $ABFG,$ $\overline{GF}$ es paralelo a $\overline{AB}$ con $GF = 6$ y $AG = BF,$ así que $G$ y $F$ son simétricos respecto al plano $x = 6:$ $G = (3, y_2, z_2)$ y $F = (9, y_2, z_2).$ La cara $ADEG$ es plana, y el plano que pasa por $A,$ $D,$ $E$ contiene toda la dirección del eje $y$ (tanto $A$ como $D$ tienen $x = z = 0$ ), así que es el plano $z = 2x,$ que en efecto contiene a $E.$ Por tanto $z_2 = 6.$ Ahora $AG = 8$ da $3^2 + (y_2 - 12)^2 + 6^2 = 64,$ así que $y_2 = 12 \pm \sqrt{19}.$

Entonces $\begin{aligned} EG^2 &= 3^2 + (y_2 - 4)^2 + 6^2 \\ &= 45 + \left(8 \pm \sqrt{19}\right)^2 \\ &= 128 \pm 16\sqrt{19}, \end{aligned}$ y la forma dada $p - q\sqrt{r}$ corresponde a $128 - 16\sqrt{19}.$ Así $p + q + r$ $= 128 + 16 + 19$ $= 163.$

Place $D = (0, 0, 0),$ $C = (12, 0, 0),$ $B = (12, 12, 0),$ $A = (0, 12, 0),$ and $E = (x, y, 12),$ using the given distance from $E$ to face $ABCD.$ From $CE = DE$ we get $x = 6,$ and then $DE = 14$ gives $36 + y^2 + 144 = 196,$ so $y = 4$ and $E = (6, 4, 12).$

In trapezoid $ABFG,$ $\overline{GF}$ is parallel to $\overline{AB}$ with $GF = 6$ and $AG = BF,$ so $G$ and $F$ are symmetric about the plane $x = 6:$ $G = (3, y_2, z_2)$ and $F = (9, y_2, z_2).$ Face $ADEG$ is planar, and the plane through $A,$ $D,$ $E$ contains the entire $y$ -axis direction (both $A$ and $D$ have $x = z = 0$ ), so it is the plane $z = 2x,$ which indeed contains $E.$ Hence $z_2 = 6.$ Now $AG = 8$ gives $3^2 + (y_2 - 12)^2 + 6^2 = 64,$ so $y_2 = 12 \pm \sqrt{19}.$

Then $\begin{aligned} EG^2 &= 3^2 + (y_2 - 4)^2 + 6^2 \\ &= 45 + \left(8 \pm \sqrt{19}\right)^2 \\ &= 128 \pm 16\sqrt{19}, \end{aligned}$ and the stated form $p - q\sqrt{r}$ corresponds to $128 - 16\sqrt{19}.$ Thus $p + q + r$ $= 128 + 16 + 19$ $= 163.$

2002 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años