Question

Sea

\begin{aligned} &P(x) = 24x^{24} \\ &\quad {}+ \sum_{j=1}^{23} (24 - j)\left(x^{24-j} + x^{24+j}\right). \end{aligned}

Sean

z_1,

z_2,

\ldots,

z_r

los ceros distintos de

P(x),

y sea

z_k^2 = a_k + b_k i

para

k = 1,

2,

\ldots,

r,

donde

i = \sqrt{-1},

y

a_k

y

b_k

son números reales. Sea

\sum_{k=1}^{r} |b_k| = m + n\sqrt{p},

donde

m,

n,

y

p

son enteros y

p

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

m + n + p.

Let

\begin{aligned} &P(x) = 24x^{24} \\ &\quad {}+ \sum_{j=1}^{23} (24 - j)\left(x^{24-j} + x^{24+j}\right). \end{aligned}

Let

z_1,

z_2,

\ldots,

z_r

be the distinct zeros of

P(x),

and let

z_k^2 = a_k + b_k i

for

k = 1,

2,

\ldots,

r,

where

i = \sqrt{-1},

and

a_k

and

b_k

are real numbers. Let

\sum_{k=1}^{r} |b_k| = m + n\sqrt{p},

where

m,

n,

and

p

are integers and

p

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n + p.

Respuesta

Respuesta: 15

Conceptos:raíces de la unidad telescópica Teorema de De Moivre

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Multiplica por

1 - x:

los coeficientes se telescopian, dejando

(x + x^2 + \cdots + x^{24})(1 - x^{24})

Multiply by

1 - x:

the coefficients telescope, leaving

(x + x^2 + \cdots + x^{24})(1 - x^{24})

Pista grande:

Los ceros distintos son

0

y las raíces

24

-ésimas de la unidad distintas de

1,

así que cada cuadrado es

\cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ

y

|b_k| = |\sin 30k^\circ|

The distinct zeros are

0

and the

24

th roots of unity other than

1,

so each square is

\cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ

and

|b_k| = |\sin 30k^\circ|

Solución:

El coeficiente de

x^k

en

P(x)

es

24 - |24 - k|

para

1 \le k \le 47,

y los coeficientes consecutivos difieren en

+1

hasta

x^{24}

y en

-1

después. Por lo tanto, al multiplicar por

1 - x,

los términos se cancelan telescópicamente:

\begin{aligned} &(1 - x)P(x) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}- (x^{25} + \cdots + x^{48}) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}\cdot (1 - x^{24}), \end{aligned}

así que para

x \ne 1,

P(x) = x\left(\frac{x^{24} - 1}{x - 1}\right)^2.

Por lo tanto, los ceros distintos de

P

son

0

junto con las raíces

24

-ésimas de la unidad distintas de

1:

z_k = \cos 15k^\circ + i \sin 15k^\circ

para

k = 1, \ldots, 23.

El cero

0

no aporta nada, y

z_k^2 = \cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ,

así que

|b_k| = |\sin 30k^\circ|.

A medida que

k

va de

1

a

12,

los valores

|\sin 30k^\circ|

son

\frac{1}{2},

\frac{\sqrt{3}}{2},

1,

\frac{\sqrt{3}}{2},

\frac{1}{2},

0

repetidos dos veces, sumando

4 + 2\sqrt{3};

los términos para

k = 13, \ldots, 23

repiten los de

k = 1, \ldots, 11

y añaden otro

4 + 2\sqrt{3}.

El total es

8 + 4\sqrt{3},

así que

m + n + p = 8 + 4 + 3 = 15.

The coefficient of

x^k

in

P(x)

is

24 - |24 - k|

for

1 \le k \le 47,

and consecutive coefficients differ by

+1

up through

x^{24}

and by

-1

afterwards. Multiplying by

1 - x

therefore telescopes:

\begin{aligned} &(1 - x)P(x) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}- (x^{25} + \cdots + x^{48}) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}\cdot (1 - x^{24}), \end{aligned}

so for

x \ne 1,

P(x) = x\left(\frac{x^{24} - 1}{x - 1}\right)^2.

The distinct zeros of

P

are therefore

0

together with the

24

th roots of unity other than

1:

z_k = \cos 15k^\circ + i \sin 15k^\circ

for

k = 1, \ldots, 23.

The zero

0

contributes nothing, and

z_k^2 = \cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ,

so

|b_k| = |\sin 30k^\circ|.

As

k

runs from

1

to

12,

the values

|\sin 30k^\circ|

are

\frac{1}{2},

\frac{\sqrt{3}}{2},

1,

\frac{\sqrt{3}}{2},

\frac{1}{2},

0

repeated twice, summing to

4 + 2\sqrt{3};

the terms for

k = 13, \ldots, 23

repeat those for

k = 1, \ldots, 11

and add another

4 + 2\sqrt{3}.

The total is

8 + 4\sqrt{3},

so

m + n + p = 8 + 4 + 3 = 15.

2003 AIME II Problema 15

Respuesta: 15

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años