Question

Sea $\begin{aligned} &P(x) = 24x^{24} \\ &\quad {}+ \sum_{j=1}^{23} (24 - j)\left(x^{24-j} + x^{24+j}\right). \end{aligned}$ Sean $z_1, z_2, \ldots, z_r$ los ceros distintos de $P(x),$ y sea $z_k^2 = a_k + b_k i$ para $k = 1, 2, \ldots, r,$ donde $i = \sqrt{-1},$ y $a_k$ y $b_k$ son números reales. Sea $\sum_{k=1}^{r} |b_k| = m + n\sqrt{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + p.$

Let $\begin{aligned} &P(x) = 24x^{24} \\ &\quad {}+ \sum_{j=1}^{23} (24 - j)\left(x^{24-j} + x^{24+j}\right). \end{aligned}$ Let $z_1, z_2, \ldots, z_r$ be the distinct zeros of $P(x),$ and let $z_k^2 = a_k + b_k i$ for $k = 1, 2, \ldots, r,$ where $i = \sqrt{-1},$ and $a_k$ and $b_k$ are real numbers. Let $\sum_{k=1}^{r} |b_k| = m + n\sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Solución:

El coeficiente de $x^k$ en $P(x)$ es $24 - |24 - k|$ para $1 \le k \le 47,$ y los coeficientes consecutivos difieren en $+1$ hasta $x^{24}$ y en $-1$ después. Por lo tanto, multiplicar por $1 - x$ se telescopia: $\begin{aligned} &(1 - x)P(x) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}- (x^{25} + \cdots + x^{48}) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}\cdot (1 - x^{24}), \end{aligned}$ así que para $x \ne 1,$ $P(x) = x\left(\frac{x^{24} - 1}{x - 1}\right)^2.$

Por lo tanto, los ceros distintos de $P$ son $0$ junto con las raíces $24$ -ésimas de la unidad distintas de $1:$ $z_k = \cos 15k^\circ + i \sin 15k^\circ$ para $k = 1, \ldots, 23.$ El cero $0$ no aporta nada, y $z_k^2 = \cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ,$ así que $|b_k| = |\sin 30k^\circ|.$

A medida que $k$ va de $1$ a $12,$ los valores $|\sin 30k^\circ|$ son $\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0$ repetidos dos veces, sumando $4 + 2\sqrt{3};$ los términos para $k = 13, \ldots, 23$ repiten los de $k = 1, \ldots, 11$ y añaden otro $4 + 2\sqrt{3}.$ El total es $8 + 4\sqrt{3},$ así que $m + n + p = 8 + 4 + 3 = 15.$

The coefficient of $x^k$ in $P(x)$ is $24 - |24 - k|$ for $1 \le k \le 47,$ and consecutive coefficients differ by $+1$ up through $x^{24}$ and by $-1$ afterwards. Multiplying by $1 - x$ therefore telescopes: $\begin{aligned} &(1 - x)P(x) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}- (x^{25} + \cdots + x^{48}) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}\cdot (1 - x^{24}), \end{aligned}$ so for $x \ne 1,$ $P(x) = x\left(\frac{x^{24} - 1}{x - 1}\right)^2.$

The distinct zeros of $P$ are therefore $0$ together with the $24$ th roots of unity other than $1:$ $z_k = \cos 15k^\circ + i \sin 15k^\circ$ for $k = 1, \ldots, 23.$ The zero $0$ contributes nothing, and $z_k^2 = \cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ,$ so $|b_k| = |\sin 30k^\circ|.$

As $k$ runs from $1$ to $12,$ the values $|\sin 30k^\circ|$ are $\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0$ repeated twice, summing to $4 + 2\sqrt{3};$ the terms for $k = 13, \ldots, 23$ repeat those for $k = 1, \ldots, 11$ and add another $4 + 2\sqrt{3}.$ The total is $8 + 4\sqrt{3},$ so $m + n + p = 8 + 4 + 3 = 15.$

2003 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años