Question

Una hoja de papel cuadrada tiene lados de longitud $100.$ De cada esquina se corta una cuña de la siguiente manera: en cada esquina, los dos cortes de la cuña comienzan cada uno a distancia $\sqrt{17}$ de la esquina, y se encuentran sobre la diagonal formando un ángulo de $60^\circ$ (ver la figura de abajo). Luego el papel se pliega hacia arriba a lo largo de las líneas que unen los vértices de cortes adyacentes. Cuando los dos bordes de un corte se encuentran, se pegan con cinta. El resultado es una bandeja de papel cuyos lados no forman ángulos rectos con la base. La altura de la bandeja, es decir, la distancia perpendicular entre el plano de la base y el plano formado por los bordes superiores, puede escribirse en la forma $\sqrt[n]{m},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, $m \lt 1000,$ y $m$ no es divisible por la $n$ -ésima potencia de ningún primo. Halla $m + n.$

A square piece of paper has sides of length $100.$ From each corner a wedge is cut in the following manner: at each corner, the two cuts for the wedge each start at distance $\sqrt{17}$ from the corner, and they meet on the diagonal at an angle of $60^\circ$ (see the figure below). The paper is then folded up along the lines joining the vertices of adjacent cuts. When the two edges of a cut meet, they are taped together. The result is a paper tray whose sides are not at right angles to the base. The height of the tray, that is, the perpendicular distance between the plane of the base and the plane formed by the upper edges, can be written in the form $\sqrt[n]{m},$ where $m$ and $n$ are positive integers, $m \lt 1000,$ and $m$ is not divisible by the $n$ th power of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloca la esquina en el origen $O$ con los dos lados a lo largo de los ejes positivos, y escribe $a = \sqrt{17}.$ El corte sobre el borde inferior comienza en $P = (a, 0),$ y los dos cortes se encuentran en $R$ sobre la diagonal $y = x,$ formando cada uno un ángulo de $30^\circ$ con la diagonal. En el triángulo $OPR,$ $\angle ROP = 45^\circ$ y $\angle ORP = 30^\circ,$ así que la ley de los senos da $PR = \frac{OP\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = a\sqrt{2}.$ Las líneas de pliegue son las líneas horizontal y vertical que pasan por $R.$ Sea $S$ el punto de la línea de pliegue horizontal directamente encima de $P,$ y $T = (a, a)$ el punto donde la línea vertical que pasa por $P$ corta la diagonal. Como $\angle OPR = 105^\circ,$ el segmento $PR$ forma un ángulo de $75^\circ$ con el borde inferior, así que $\begin{aligned} SP &= PR\sin 75^\circ \\ &= a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ &= a\,\frac{\sqrt{3} + 1}{2}, \\ ST &= SP - PT \\ &= a\,\frac{\sqrt{3} + 1}{2} - a \\ &= a\,\frac{\sqrt{3} - 1}{2}. \end{aligned}$

Cuando la tira inferior se pliega hacia arriba a lo largo de la línea horizontal que pasa por $R,$ el punto $P$ se mantiene a distancia $SP$ de $S,$ moviéndose en el plano vertical que pasa por $P$ perpendicular a esa línea de pliegue. Por simetría, los dos bordes de corte pegados se encuentran por encima de la diagonal, así que $P$ aterriza en un punto $P'$ directamente encima de $T,$ y $P'T$ es la altura de la bandeja. Por el teorema de Pitágoras, $\begin{aligned} P'T^2 &= P'S^2 - ST^2 \\ &= a^2\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{2}\right)^2 \\ &\quad {}- a^2\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right)^2 \\ &= a^2\sqrt{3}. \end{aligned}$

Así que la altura es $a \cdot 3^{1/4}$ $= \sqrt{17} \cdot \sqrt[4]{3}$ $= \sqrt[4]{17^2 \cdot 3}$ $= \sqrt[4]{867},$ y $m + n = 867 + 4 = 871.$

Put the corner at the origin $O$ with the two sides along the positive axes, and write $a = \sqrt{17}.$ The cut on the bottom edge starts at $P = (a, 0),$ and the two cuts meet at $R$ on the diagonal $y = x,$ each making a $30^\circ$ angle with the diagonal. In triangle $OPR,$ $\angle ROP = 45^\circ$ and $\angle ORP = 30^\circ,$ so the Law of Sines gives $PR = \frac{OP\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = a\sqrt{2}.$ The fold lines are the horizontal and vertical lines through $R.$ Let $S$ be the point of the horizontal fold line directly above $P,$ and $T = (a, a)$ the point where the vertical line through $P$ meets the diagonal. Since $\angle OPR = 105^\circ,$ segment $PR$ makes a $75^\circ$ angle with the bottom edge, so $\begin{aligned} SP &= PR\sin 75^\circ \\ &= a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ &= a\,\frac{\sqrt{3} + 1}{2}, \\ ST &= SP - PT \\ &= a\,\frac{\sqrt{3} + 1}{2} - a \\ &= a\,\frac{\sqrt{3} - 1}{2}. \end{aligned}$

When the bottom strip folds up along the horizontal line through $R,$ point $P$ stays at distance $SP$ from $S,$ moving in the vertical plane through $P$ perpendicular to that fold line. By symmetry the two taped cut edges meet above the diagonal, so $P$ lands at a point $P'$ directly above $T,$ and $P'T$ is the height of the tray. By the Pythagorean theorem, $\begin{aligned} P'T^2 &= P'S^2 - ST^2 \\ &= a^2\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{2}\right)^2 \\ &\quad {}- a^2\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right)^2 \\ &= a^2\sqrt{3}. \end{aligned}$

So the height is $a \cdot 3^{1/4}$ $= \sqrt{17} \cdot \sqrt[4]{3}$ $= \sqrt[4]{17^2 \cdot 3}$ $= \sqrt[4]{867},$ and $m + n = 867 + 4 = 871.$

2008 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años