Question

Sean

\omega_1

y

\omega_2

los círculos

x^2 + y^2 + 10x - 24y - 87 = 0

y

x^2 + y^2 - 10x - 24y + 153 = 0,

respectivamente. Sea

m

el menor valor positivo de

a

para el cual la recta

y = ax

contiene el centro de un círculo que es tangente interiormente a

\omega_1

y tangente exteriormente a

\omega_2.

Dado que

m^2 = \frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí, halla

p + q.

Let

\omega_1

and

\omega_2

denote the circles

x^2 + y^2 + 10x - 24y - 87 = 0

and

x^2 + y^2 - 10x - 24y + 153 = 0,

respectively. Let

m

be the smallest positive value of

a

for which the line

y = ax

contains the center of a circle that is internally tangent to

\omega_1

and externally tangent to

\omega_2.

Given that

m^2 = \frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers, find

p + q.

Respuesta

Respuesta: 169

Conceptos:elipse circunferencias tangentes completar el cuadrado cuadrática

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Completa el cuadrado: los círculos tienen centros

(-5, 12)

y

(5, 12)

con radios

16

y

4.

Suma las dos condiciones de distancia de tangencia.

Complete the square: the circles have centers

(-5, 12)

and

(5, 12)

with radii

16

and

4.

Add the two tangency distance conditions.

Pista grande:

Los centros describen una elipse con focos

(\pm 5, 12);

sustituye

y = ax

y exige que el discriminante sea no negativo.

The centers trace an ellipse with foci

(\pm 5, 12);

substitute

y = ax

and require the discriminant to be nonnegative

Solución:

Completar el cuadrado da

\omega_1\colon (x+5)^2 + (y-12)^2 = 256

y

\omega_2\colon (x-5)^2 + (y-12)^2 = 16,

con centros

F_1 = (-5, 12)

y

F_2 = (5, 12)

y radios

16

y

4.

Si un círculo con centro

P

y radio

r

es tangente interiormente a

\omega_1

y tangente exteriormente a

\omega_2,

entonces

PF_1 = 16 - r

y

PF_2 = 4 + r,

así que

PF_1 + PF_2 = 20.

Por lo tanto

P

está sobre la elipse con focos

F_1

y

F_2

y eje mayor

20:

el semieje mayor es

10,

la distancia del centro al foco es

5,

así que el cuadrado del semieje menor es

100 - 25 = 75,

lo que da

\frac{x^2}{100} + \frac{(y - 12)^2}{75} = 1,

es decir,

3x^2 + 4y^2 - 96y + 576 = 300.

Sustituir

y = ax

da

(3 + 4a^2)x^2 - 96ax + 276 = 0.

La recta

y = ax

contiene un centro así exactamente cuando esta ecuación cuadrática tiene una raíz real, es decir,

(96a)^2 - 4 \cdot 276\,(3 + 4a^2) \ge 0,

lo que se simplifica a

4800a^2 \ge 3312,

así que

a^2 \ge \frac{69}{100}.

El menor valor positivo de

a

que cumple esto tiene

m^2 = \frac{69}{100},

y

p + q = 69 + 100 = 169.

Completing the square gives

\omega_1\colon (x+5)^2 + (y-12)^2 = 256

and

\omega_2\colon (x-5)^2 + (y-12)^2 = 16,

with centers

F_1 = (-5, 12)

and

F_2 = (5, 12)

and radii

16

and

4.

If a circle with center

P

and radius

r

is internally tangent to

\omega_1

and externally tangent to

\omega_2,

then

PF_1 = 16 - r

and

PF_2 = 4 + r,

so

PF_1 + PF_2 = 20.

Thus

P

lies on the ellipse with foci

F_1

and

F_2

and major axis

20:

the semimajor axis is

10,

the center-to-focus distance is

5,

so the semiminor axis squared is

100 - 25 = 75,

giving

\frac{x^2}{100} + \frac{(y - 12)^2}{75} = 1,

i.e.

3x^2 + 4y^2 - 96y + 576 = 300.

Substituting

y = ax

yields

(3 + 4a^2)x^2 - 96ax + 276 = 0.

The line

y = ax

contains such a center exactly when this quadratic has a real root, i.e.

(96a)^2 - 4 \cdot 276\,(3 + 4a^2) \ge 0,

which simplifies to

4800a^2 \ge 3312,

so

a^2 \ge \frac{69}{100}.

The smallest positive such

a

has

m^2 = \frac{69}{100},

and

p + q = 69 + 100 = 169.

2005 AIME II Problema 15

Respuesta: 169

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años