Question

Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ los círculos $x^2 + y^2 + 10x - 24y - 87 = 0$ y $x^2 + y^2 - 10x - 24y + 153 = 0$ , respectivamente. Sea $m$ el menor valor positivo de $a$ para el cual la recta $y = ax$ contiene el centro de un círculo que es tangente interiormente a $\omega_1$ y tangente exteriormente a $\omega_2$ . Dado que $m^2 = \frac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí, halla $p + q$ .

Let $\omega_1$ and $\omega_2$ denote the circles $x^2 + y^2 + 10x - 24y - 87 = 0$ and $x^2 + y^2 - 10x - 24y + 153 = 0,$ respectively. Let $m$ be the smallest positive value of $a$ for which the line $y = ax$ contains the center of a circle that is internally tangent to $\omega_1$ and externally tangent to $\omega_2.$ Given that $m^2 = \frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers, find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Completar el cuadrado da $\omega_1\colon (x+5)^2 + (y-12)^2 = 256$ y $\omega_2\colon (x-5)^2 + (y-12)^2 = 16$ , con centros $F_1 = (-5, 12)$ y $F_2 = (5, 12)$ y radios $16$ y $4$ . Si un círculo con centro $P$ y radio $r$ es tangente interiormente a $\omega_1$ y tangente exteriormente a $\omega_2$ , entonces $PF_1 = 16 - r$ y $PF_2 = 4 + r$ , así que $PF_1 + PF_2 = 20$ .

Por lo tanto $P$ está sobre la elipse con focos $F_1$ y $F_2$ y eje mayor $20$ : el semieje mayor es $10$ , la distancia del centro al foco es $5$ , así que el cuadrado del semieje menor es $100 - 25 = 75$ , lo que da $\frac{x^2}{100} + \frac{(y - 12)^2}{75} = 1,$ es decir, $3x^2 + 4y^2 - 96y + 576 = 300$ . Sustituir $y = ax$ da $(3 + 4a^2)x^2 - 96ax + 276 = 0$ .

La recta $y = ax$ contiene un centro así exactamente cuando esta cuadrática tiene una raíz real, es decir, $(96a)^2 - 4 \cdot 276\,(3 + 4a^2) \ge 0$ , lo que se simplifica a $4800a^2 \ge 3312$ , así que $a^2 \ge \frac{69}{100}$ . El menor $a$ positivo así tiene $m^2 = \frac{69}{100}$ , y $p + q = 69 + 100 = 169$ .

Completing the square gives $\omega_1\colon (x+5)^2 + (y-12)^2 = 256$ and $\omega_2\colon (x-5)^2 + (y-12)^2 = 16,$ with centers $F_1 = (-5, 12)$ and $F_2 = (5, 12)$ and radii $16$ and $4.$ If a circle with center $P$ and radius $r$ is internally tangent to $\omega_1$ and externally tangent to $\omega_2,$ then $PF_1 = 16 - r$ and $PF_2 = 4 + r,$ so $PF_1 + PF_2 = 20.$

Thus $P$ lies on the ellipse with foci $F_1$ and $F_2$ and major axis $20:$ the semimajor axis is $10,$ the center-to-focus distance is $5,$ so the semiminor axis squared is $100 - 25 = 75,$ giving $\frac{x^2}{100} + \frac{(y - 12)^2}{75} = 1,$ i.e. $3x^2 + 4y^2 - 96y + 576 = 300.$ Substituting $y = ax$ yields $(3 + 4a^2)x^2 - 96ax + 276 = 0.$

The line $y = ax$ contains such a center exactly when this quadratic has a real root, i.e. $(96a)^2 - 4 \cdot 276\,(3 + 4a^2) \ge 0,$ which simplifies to $4800a^2 \ge 3312,$ so $a^2 \ge \frac{69}{100}.$ The smallest positive such $a$ has $m^2 = \frac{69}{100},$ and $p + q = 69 + 100 = 169.$

2005 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años