Question

El tetraedro $ABCD$ tiene $AD = BC = 28,$ $AC = BD = 44,$ y $AB = CD = 52.$ Para cualquier punto $X$ en el espacio, defina $f(X) = AX + BX$ $+ CX + DX.$ El menor valor posible de $f(X)$ puede expresarse como $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

Tetrahedron $ABCD$ has $AD = BC = 28,$ $AC = BD = 44,$ and $AB = CD = 52.$ For any point $X$ in space, define $f(X) = AX + BX$ $+ CX + DX.$ The least possible value of $f(X)$ can be expressed as $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{CD}.$ Las medianas desde $C$ y desde $D$ hacia $\overline{AB}$ son iguales, ya que los triángulos $ABC$ y $BAD$ son congruentes por $SSS;$ por la fórmula de la longitud de la mediana, $4MD^2 = 2 \cdot 28^2 + 2 \cdot 44^2$ $- 52^2$ $= 2736,$ así que $MC^2 = MD^2 = 684.$ Igualmente $NA = NB.$ Entonces $MN,$ como mediana de los triángulos isósceles $MCD$ y $NAB,$ es perpendicular tanto a $\overline{AB}$ como a $\overline{CD},$ así que la rotación de $180^\circ$ alrededor de la recta $MN$ intercambia $A \leftrightarrow B$ y $C \leftrightarrow D.$ Además $MN^2 = MD^2 - ND^2$ $= 684 - 26^2$ $= 8.$

Para cualquier punto $X,$ sea $X'$ su imagen bajo esta rotación, y sea $Q$ el punto medio de $\overline{XX'},$ que está sobre la recta $MN.$ Entonces $BX = AX'$ y $CX = DX',$ así que $\begin{aligned} &f(X) = (AX + AX') \\ &{}+ (DX + DX') \\ &\ge 2AQ + 2DQ = f(Q), \end{aligned}$ porque una mediana de un triángulo es a lo sumo la mitad de la suma de los dos lados adyacentes. Así que basta con minimizar $f(Q) = 2(AQ + DQ)$ sobre los puntos $Q$ de la recta $MN.$

Rote $D$ alrededor de la recta $MN$ hacia el plano de $A$ y la recta $MN,$ al lado opuesto de $MN$ respecto de $A,$ cayendo en $D'$ con $ND' = ND = 26.$ Para $Q$ sobre la recta $MN,$ $AQ + DQ = AQ + D'Q \ge AD',$ con igualdad donde el segmento $\overline{AD'}$ cruza $MN.$ Como $AM \perp MN$ y $D'N \perp MN$ con $AM = 26$ y $ND' = 26,$ $\begin{aligned} &AD'^2 = (AM + ND')^2 + MN^2 \\ &= 52^2 + 8 = 2712 \\ &= 4 \cdot 678. \end{aligned}$ Por lo tanto el mínimo de $f$ es $2AD' = 4\sqrt{678},$ y como $678 = 2 \cdot 3 \cdot 113$ no tiene factores cuadrados, $m + n = 4 + 678 = 682.$

Let $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{AB}$ and $\overline{CD}.$ The medians from $C$ and from $D$ to $\overline{AB}$ are equal, since triangles $ABC$ and $BAD$ are congruent by $SSS;$ by the median length formula, $4MD^2 = 2 \cdot 28^2 + 2 \cdot 44^2$ $- 52^2$ $= 2736,$ so $MC^2 = MD^2 = 684.$ Likewise $NA = NB.$ Then $MN,$ as a median of the isosceles triangles $MCD$ and $NAB,$ is perpendicular to both $\overline{AB}$ and $\overline{CD},$ so the $180^\circ$ rotation about line $MN$ swaps $A \leftrightarrow B$ and $C \leftrightarrow D.$ Also $MN^2 = MD^2 - ND^2$ $= 684 - 26^2$ $= 8.$

For any point $X,$ let $X'$ be its image under this rotation, and let $Q$ be the midpoint of $\overline{XX'},$ which lies on line $MN.$ Then $BX = AX'$ and $CX = DX',$ so $\begin{aligned} &f(X) = (AX + AX') \\ &{}+ (DX + DX') \\ &\ge 2AQ + 2DQ = f(Q), \end{aligned}$ because a median of a triangle is at most half the sum of the two adjacent sides. So it suffices to minimize $f(Q) = 2(AQ + DQ)$ over points $Q$ on line $MN.$

Rotate $D$ about line $MN$ into the plane of $A$ and line $MN,$ on the opposite side of $MN$ from $A,$ landing at $D'$ with $ND' = ND = 26.$ For $Q$ on line $MN,$ $AQ + DQ = AQ + D'Q \ge AD',$ with equality where segment $\overline{AD'}$ crosses $MN.$ Since $AM \perp MN$ and $D'N \perp MN$ with $AM = 26$ and $ND' = 26,$ $\begin{aligned} &AD'^2 = (AM + ND')^2 + MN^2 \\ &= 52^2 + 8 = 2712 \\ &= 4 \cdot 678. \end{aligned}$ Hence the minimum of $f$ is $2AD' = 4\sqrt{678},$ and since $678 = 2 \cdot 3 \cdot 113$ is squarefree, $m + n = 4 + 678 = 682.$

2017 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años