Question

En el triángulo $ABC,$ $AC = 13,$ $BC = 14,$ y $AB = 15.$ Los puntos $M$ y $D$ están en $\overline{AC}$ con $AM = MC$ y $\angle ABD = \angle DBC.$ Los puntos $N$ y $E$ están en $\overline{AB}$ con $AN = NB$ y $\angle ACE = \angle ECB.$ Sea $P$ el otro punto de intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle AMN$ y $\triangle ADE.$ El rayo $AP$ corta a $\overline{BC}$ en $Q.$ La razón $\frac{BQ}{CQ}$ se puede escribir en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m - n.$

In triangle $ABC,$ $AC = 13,$ $BC = 14,$ and $AB = 15.$ Points $M$ and $D$ lie on $\overline{AC}$ with $AM = MC$ and $\angle ABD = \angle DBC.$ Points $N$ and $E$ lie on $\overline{AB}$ with $AN = NB$ and $\angle ACE = \angle ECB.$ Let $P$ be the other point of intersection of the circumcircles of $\triangle AMN$ and $\triangle ADE.$ Ray $AP$ meets $\overline{BC}$ at $Q.$ The ratio $\frac{BQ}{CQ}$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m - n.$

Respuesta

Solución:

Por el teorema de la bisectriz, $AE = \frac{13}{27} \cdot 15$ y $CD = \frac{14}{29} \cdot 13,$ así que $E$ está en $\overline{AN}$ y $D$ está en $\overline{MC},$ con $\begin{aligned} NE &= AN - AE = \frac{15}{2} - \frac{65}{9} \\ &= \frac{5}{18}, \\ MD &= CM - CD = \frac{13}{2} - \frac{182}{29} \\ &= \frac{13}{58}. \end{aligned}$

Como $AMPN$ es cíclico, $\angle ENP = \angle ANP$ $= 180^\circ - \angle AMP$ $= \angle DMP,$ y como $AEPD$ es cíclico, $\angle NEP = 180^\circ - \angle AEP$ $= \angle ADP$ $= \angle MDP.$ Por tanto los triángulos $ENP$ y $DMP$ son semejantes, así que $\frac{NP}{MP} = \frac{NE}{MD}.$ Por la ley de los senos en los triángulos $ANP$ y $AMP,$ cuyos ángulos $\angle ANP$ y $\angle AMP$ son suplementarios, $\begin{aligned} \frac{\sin\angle BAQ}{\sin\angle CAQ} &= \frac{\sin\angle NAP}{\sin\angle MAP} \\ &= \frac{NP}{MP} = \frac{5/18}{13/58} \\ &= \frac{145}{117}. \end{aligned}$

Comparando las áreas de los triángulos $ABQ$ y $ACQ,$ que comparten la ceviana $\overline{AQ},$ $\begin{aligned} \frac{BQ}{CQ} &= \frac{[ABQ]}{[ACQ]} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAQ}{AC \sin\angle CAQ} \\ &= \frac{15}{13} \cdot \frac{145}{117} = \frac{725}{507}, \end{aligned}$ que está en su mínima expresión ya que $507 = 3 \cdot 13^2$ y $725 = 5^2 \cdot 29.$ Por tanto $m - n = 725 - 507 = 218.$

By the angle bisector theorem, $AE = \frac{13}{27} \cdot 15$ and $CD = \frac{14}{29} \cdot 13,$ so $E$ lies on $\overline{AN}$ and $D$ lies on $\overline{MC},$ with $\begin{aligned} NE &= AN - AE = \frac{15}{2} - \frac{65}{9} \\ &= \frac{5}{18}, \\ MD &= CM - CD = \frac{13}{2} - \frac{182}{29} \\ &= \frac{13}{58}. \end{aligned}$

Since $AMPN$ is cyclic, $\angle ENP = \angle ANP$ $= 180^\circ - \angle AMP$ $= \angle DMP,$ and since $AEPD$ is cyclic, $\angle NEP = 180^\circ - \angle AEP$ $= \angle ADP$ $= \angle MDP.$ Hence triangles $ENP$ and $DMP$ are similar, so $\frac{NP}{MP} = \frac{NE}{MD}.$ By the law of sines in triangles $ANP$ and $AMP,$ whose angles $\angle ANP$ and $\angle AMP$ are supplementary, $\begin{aligned} \frac{\sin\angle BAQ}{\sin\angle CAQ} &= \frac{\sin\angle NAP}{\sin\angle MAP} \\ &= \frac{NP}{MP} = \frac{5/18}{13/58} \\ &= \frac{145}{117}. \end{aligned}$

Comparing the areas of triangles $ABQ$ and $ACQ,$ which share the cevian $\overline{AQ},$ $\begin{aligned} \frac{BQ}{CQ} &= \frac{[ABQ]}{[ACQ]} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAQ}{AC \sin\angle CAQ} \\ &= \frac{15}{13} \cdot \frac{145}{117} = \frac{725}{507}, \end{aligned}$ which is in lowest terms since $507 = 3 \cdot 13^2$ and $725 = 5^2 \cdot 29.$ Thus $m - n = 725 - 507 = 218.$

2010 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años