Respuesta: 240

Pista pequeña:

El valor mínimo $c$ se alcanza dos veces exactamente cuando $(x-18)(x-72)(x-98)(x-k)$ $- cx$ es un cuadrado perfecto $(x^2 - Sx + P)^2$

Pista grande:

Iguala coeficientes: $2S = 188 + k$ y $P^2 = 18 \cdot 72 \cdot 98 \cdot k;$ sustituir $k = 2t^2$ produce una cuártica en $t$ con tres raíces positivas

Solución:

Para $x \gt 0,$ $f(x) \to +\infty$ tanto cuando $x \to 0^+$ (el numerador tiende a $18 \cdot 72 \cdot 98 \cdot k \gt 0$) como cuando $x \to \infty,$ así que $f$ alcanza un valor mínimo global $c$ en $(0, \infty).$ Se alcanza en exactamente dos puntos precisamente cuando $f(x) - c \ge 0$ con dos raíces dobles positivas distintas, es decir, $$\begin{gathered} (x - 18)(x - 72) \\ \quad {}\cdot (x - 98)(x - k) - cx \\ = (x^2 - Sx + P)^2. \end{gathered}$$ Las raíces de $x^2 - Sx + P$ son positivas y distintas (así que $S, P \gt 0$).

Igualando los coeficientes de $x^3,$ $x^2,$ y el término constante (el coeficiente de $x$ solo determina $c$) se obtiene $$2S = 188 + k,$$ $$S^2 + 2P = 10116 + 188k,$$ $$\begin{gathered} P^2 = 18 \cdot 72 \cdot 98 \cdot k \\ = 127008k. \end{gathered}$$ Sustituye $k = 2t^2$ con $t \gt 0:$ entonces $S = 94 + t^2$ y $P = 504t.$ La ecuación del medio se convierte en $(94 + t^2)^2 + 1008t$ $= 10116 + 376t^2,$ es decir, $$t^4 - 188t^2 + 1008t - 1280 = 0,$$ que se factoriza como $(t - 2)(t - 4)(t + 16)$ $(t - 10) = 0.$

Las raíces positivas $t = 2, 4, 10$ dan $k = 2t^2 = 8, 32, 200$ (cada una da en efecto $S^2 \gt 4P,$ coincidiendo con la promesa del problema de exactamente tres valores). La suma es $8 + 32 + 200 = 240.$