Question

En el triángulo acutángulo

ABC,

los puntos

P

y

Q

son los pies de las perpendiculares desde

C

a

\overline{AB}

y desde

B

a

\overline{AC},

respectivamente. La recta

PQ

corta la circunferencia circunscrita de

\triangle ABC

en dos puntos distintos,

X

e

Y.

Suponga que

XP = 10,

PQ = 25,

y

QY = 15.

El valor de

AB \cdot AC

puede escribirse en la forma

m\sqrt{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos, y

n

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle

m + n.

In acute triangle

ABC,

points

P

and

Q

are the feet of the perpendiculars from

C

to

\overline{AB}

and from

B

to

\overline{AC},

respectively. Line

PQ

intersects the circumcircle of

\triangle ABC

in two distinct points,

X

and

Y.

Suppose

XP = 10,

PQ = 25,

and

QY = 15.

The value of

AB \cdot AC

can be written in the form

m\sqrt{n},

where

m

and

n

are positive integers, and

n

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 574

Conceptos:potencia de un punto semejanza ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Calcule las potencias de

P

y

Q

respecto a la circunferencia circunscrita:

XP \cdot PY = AP \cdot PB

y

YQ \cdot QX = AQ \cdot QC

Compute the powers of

P

and

Q

with respect to the circumcircle:

XP \cdot PY = AP \cdot PB

and

YQ \cdot QX = AQ \cdot QC

Pista grande:

AP = AC\cos A,

AQ = AB\cos A,

y

PQ = BC\cos A;

combine las dos ecuaciones de potencia con la ley de cosenos para despejar

AB \cdot AC

y

\cos A

AP = AC\cos A,

AQ = AB\cos A,

and

PQ = BC\cos A;

combine the two power equations with the law of cosines to solve for

AB \cdot AC

and

\cos A

Solución:

Escriba

b = AC,

c = AB,

a = BC,

y

k = \cos A.

Los triángulos rectángulos

APC

y

AQB

dan

AP = bk

y

AQ = ck,

así que el triángulo

APQ

es semejante al triángulo

ACB

con razón

k,

de donde

PQ = ak = 25.

Los puntos sobre la recta aparecen en el orden

X, P, Q, Y,

así que la potencia de

P

da

XP \cdot PY = 10 \cdot 40 = 400

= AP \cdot PB,

y la potencia de

Q

da

YQ \cdot QX = 15 \cdot 35 = 525

= AQ \cdot QC.

Con

u = bk

y

v = ck

estas ecuaciones son

\begin{aligned} &u(c - u) = 400, \\ &\qquad v(b - v) = 525, \end{aligned}

es decir,

w - u^2 = 400

y

w - v^2 = 525,

donde

w = \frac{uv}{k} = bck.

Por la ley de cosenos,

a^2 = b^2 + c^2 - 2bck,

así que

a^2k^2 = u^2 + v^2 - 2uvk = 625.

Sustituyendo

u^2 = w - 400

y

v^2 = w - 525,

y

uv = wk,

se obtiene

2w - 925 - 2wk^2 = 625,

así que

wk^2 = w - 775.

Entonces

\begin{aligned} (uv)^2 &= w^2k^2 \\ &= w(w - 775) \\ &= (w - 400)(w - 525), \end{aligned}

que se simplifica a

150w = 210000,

así que

w = 1400

y

k^2 = \frac{1400 - 775}{1400} = \frac{25}{56}.

Así

k = \frac{5}{2\sqrt{14}}

y

\begin{aligned} bc = \frac{w}{k} &= 1400 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{5} \\ &= 560\sqrt{14}, \end{aligned}

así que

m + n = 560 + 14 = 574.

Write

b = AC,

c = AB,

a = BC,

and

k = \cos A.

Right triangles

APC

and

AQB

give

AP = bk

and

AQ = ck,

so triangle

APQ

is similar to triangle

ACB

with ratio

k,

whence

PQ = ak = 25.

The points on the line occur in the order

X, P, Q, Y,

so the power of

P

gives

XP \cdot PY = 10 \cdot 40 = 400

= AP \cdot PB,

and the power of

Q

gives

YQ \cdot QX = 15 \cdot 35 = 525

= AQ \cdot QC.

With

u = bk

and

v = ck

these read

\begin{aligned} &u(c - u) = 400, \\ &\qquad v(b - v) = 525, \end{aligned}

that is,

w - u^2 = 400

and

w - v^2 = 525,

where

w = \frac{uv}{k} = bck.

By the law of cosines,

a^2 = b^2 + c^2 - 2bck,

so

a^2k^2 = u^2 + v^2 - 2uvk = 625.

Substituting

u^2 = w - 400

and

v^2 = w - 525,

and

uv = wk,

gives

2w - 925 - 2wk^2 = 625,

so

wk^2 = w - 775.

Then

\begin{aligned} (uv)^2 &= w^2k^2 \\ &= w(w - 775) \\ &= (w - 400)(w - 525), \end{aligned}

which simplifies to

150w = 210000,

so

w = 1400

and

k^2 = \frac{1400 - 775}{1400} = \frac{25}{56}.

Thus

k = \frac{5}{2\sqrt{14}}

and

\begin{aligned} bc = \frac{w}{k} &= 1400 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{5} \\ &= 560\sqrt{14}, \end{aligned}

so

m + n = 560 + 14 = 574.

2019 AIME II Problema 15

Respuesta: 574

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años