Question

En el triángulo acutángulo $ABC,$ los puntos $P$ y $Q$ son los pies de las perpendiculares desde $C$ a $\overline{AB}$ y desde $B$ a $\overline{AC},$ respectivamente. La recta $PQ$ corta la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en dos puntos distintos, $X$ e $Y.$ Suponga que $XP = 10,$ $PQ = 25,$ y $QY = 15.$ El valor de $AB \cdot AC$ puede escribirse en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

In acute triangle $ABC,$ points $P$ and $Q$ are the feet of the perpendiculars from $C$ to $\overline{AB}$ and from $B$ to $\overline{AC},$ respectively. Line $PQ$ intersects the circumcircle of $\triangle ABC$ in two distinct points, $X$ and $Y.$ Suppose $XP = 10,$ $PQ = 25,$ and $QY = 15.$ The value of $AB \cdot AC$ can be written in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Escriba $b = AC,$ $c = AB,$ $a = BC,$ y $k = \cos A.$ Los triángulos rectángulos $APC$ y $AQB$ dan $AP = bk$ y $AQ = ck,$ así que el triángulo $APQ$ es semejante al triángulo $ACB$ con razón $k,$ de donde $PQ = ak = 25.$ Los puntos sobre la recta aparecen en el orden $X, P, Q, Y,$ así que la potencia de $P$ da $XP \cdot PY = 10 \cdot 40 = 400$ $= AP \cdot PB,$ y la potencia de $Q$ da $YQ \cdot QX = 15 \cdot 35 = 525$ $= AQ \cdot QC.$ Con $u = bk$ y $v = ck$ estas dicen $\begin{aligned} &u(c - u) = 400, \\ &\qquad v(b - v) = 525, \end{aligned}$ es decir, $w - u^2 = 400$ y $w - v^2 = 525,$ donde $w = \frac{uv}{k} = bck.$

Por la ley de cosenos, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bck,$ así que $a^2k^2 = u^2 + v^2 - 2uvk = 625.$ Sustituyendo $u^2 = w - 400$ y $v^2 = w - 525,$ y $uv = wk,$ se obtiene $2w - 925 - 2wk^2 = 625,$ así que $wk^2 = w - 775.$ Entonces $\begin{aligned} (uv)^2 &= w^2k^2 \\ &= w(w - 775) \\ &= (w - 400)(w - 525), \end{aligned}$ que se simplifica a $150w = 210000,$ así que $w = 1400$ y $k^2 = \frac{1400 - 775}{1400} = \frac{25}{56}.$

Así $k = \frac{5}{2\sqrt{14}}$ y $\begin{aligned} bc = \frac{w}{k} &= 1400 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{5} \\ &= 560\sqrt{14}, \end{aligned}$ así que $m + n = 560 + 14 = 574.$

Write $b = AC,$ $c = AB,$ $a = BC,$ and $k = \cos A.$ Right triangles $APC$ and $AQB$ give $AP = bk$ and $AQ = ck,$ so triangle $APQ$ is similar to triangle $ACB$ with ratio $k,$ whence $PQ = ak = 25.$ The points on the line occur in the order $X, P, Q, Y,$ so the power of $P$ gives $XP \cdot PY = 10 \cdot 40 = 400$ $= AP \cdot PB,$ and the power of $Q$ gives $YQ \cdot QX = 15 \cdot 35 = 525$ $= AQ \cdot QC.$ With $u = bk$ and $v = ck$ these read $\begin{aligned} &u(c - u) = 400, \\ &\qquad v(b - v) = 525, \end{aligned}$ that is, $w - u^2 = 400$ and $w - v^2 = 525,$ where $w = \frac{uv}{k} = bck.$

By the law of cosines, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bck,$ so $a^2k^2 = u^2 + v^2 - 2uvk = 625.$ Substituting $u^2 = w - 400$ and $v^2 = w - 525,$ and $uv = wk,$ gives $2w - 925 - 2wk^2 = 625,$ so $wk^2 = w - 775.$ Then $\begin{aligned} (uv)^2 &= w^2k^2 \\ &= w(w - 775) \\ &= (w - 400)(w - 525), \end{aligned}$ which simplifies to $150w = 210000,$ so $w = 1400$ and $k^2 = \frac{1400 - 775}{1400} = \frac{25}{56}.$

Thus $k = \frac{5}{2\sqrt{14}}$ and $\begin{aligned} bc = \frac{w}{k} &= 1400 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{5} \\ &= 560\sqrt{14}, \end{aligned}$ so $m + n = 560 + 14 = 574.$

2019 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años