Question

Considera el triángulo de papel cuyos vértices son $(0, 0),$ $(34, 0),$ y $(16, 24).$ Los vértices de su triángulo medial son los puntos medios de sus lados. Se forma una pirámide triangular doblando el triángulo a lo largo de los lados de su triángulo medial. ¿Cuál es el volumen de esta pirámide?

Consider the paper triangle whose vertices are $(0, 0),$ $(34, 0),$ and $(16, 24).$ The vertices of its midpoint triangle are the midpoints of its sides. A triangular pyramid is formed by folding the triangle along the sides of its midpoint triangle. What is the volume of this pyramid?

Respuesta

Solución:

Los puntos medios son $M_1 = (17, 0),$ $M_2 = (25, 12),$ y $M_3 = (8, 12).$ Al doblar hacia arriba los tres triángulos de las esquinas a lo largo de los lados del triángulo medial, las esquinas se juntan en un único vértice $Q$ (cada par de semilados pegados tiene igual longitud). El vértice conserva sus distancias tras el doblado: $QM_1 = 17$ (la mitad del lado de longitud $34$ que $M_1$ biseca), $QM_2 = 15$ (la mitad de $30$ ), y $QM_3 = 4\sqrt{13}$ (la mitad de $\sqrt{16^2 + 24^2} = 8\sqrt{13}$ ).

Mantén el triángulo medial en el plano $z = 0$ y sea $Q = (x, y, z).$ Restando $|Q - M_3|^2 = 208$ de $|Q - M_2|^2 = 225$ se obtiene $(x - 25)^2 - (x - 8)^2 = 17,$ así que $x = 16;$ restando $|Q - M_2|^2 = 225$ de $|Q - M_1|^2 = 289$ se obtiene $2x + 3y = 68,$ así que $y = 12.$ Entonces $z^2$ $= 289 - (16 - 17)^2$ $- 12^2$ $= 144,$ de modo que el vértice está a la altura $z = 12.$

La base es el triángulo medial, con área igual a un cuarto de la del triángulo original $\frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 24 = 408,$ es decir $102.$ El volumen es $\frac{1}{3} \cdot 102 \cdot 12 = 408.$

The midpoints are $M_1 = (17, 0),$ $M_2 = (25, 12),$ and $M_3 = (8, 12).$ Folding the three corner triangles up along the sides of the midpoint triangle brings the corners together at one apex $Q$ (each pair of glued half-sides has equal length). The apex keeps its folded distances: $QM_1 = 17$ (half of the side of length $34$ that $M_1$ bisects), $QM_2 = 15$ (half of $30$ ), and $QM_3 = 4\sqrt{13}$ (half of $\sqrt{16^2 + 24^2} = 8\sqrt{13}$ ).

Keep the midpoint triangle in the plane $z = 0$ and let $Q = (x, y, z).$ Subtracting $|Q - M_3|^2 = 208$ from $|Q - M_2|^2 = 225$ gives $(x - 25)^2 - (x - 8)^2 = 17,$ so $x = 16;$ subtracting $|Q - M_2|^2 = 225$ from $|Q - M_1|^2 = 289$ gives $2x + 3y = 68,$ so $y = 12.$ Then $z^2$ $= 289 - (16 - 17)^2$ $- 12^2$ $= 144,$ so the apex is at height $z = 12.$

The base is the midpoint triangle, with area one quarter of the original triangle's $\frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 24 = 408,$ i.e. $102.$ The volume is $\frac{1}{3} \cdot 102 \cdot 12 = 408.$

1999 AIME Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años