Question

Dos circunferencias tangentes externamente $\omega_1$ y $\omega_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2,$ respectivamente. Una tercera circunferencia $\Omega$ que pasa por $O_1$ y $O_2$ corta a $\omega_1$ en $B$ y $C$ y a $\omega_2$ en $A$ y $D,$ como se muestra. Supón que $AB = 2,$ $O_1O_2 = 15,$ $CD = 16,$ y $ABO_1CDO_2$ es un hexágono convexo. Halla el área de este hexágono.

Two externally tangent circles $\omega_1$ and $\omega_2$ have centers $O_1$ and $O_2,$ respectively. A third circle $\Omega$ passing through $O_1$ and $O_2$ intersects $\omega_1$ at $B$ and $C$ and $\omega_2$ at $A$ and $D,$ as shown. Suppose that $AB = 2,$ $O_1O_2 = 15,$ $CD = 16,$ and $ABO_1CDO_2$ is a convex hexagon. Find the area of this hexagon.

Respuesta

Solución:

Los seis vértices del hexágono están sobre $\Omega:$ $O_1$ y $O_2$ por hipótesis, y $A, B, C, D$ como puntos de intersección con $\Omega.$ Sea $R$ el radio de $\Omega,$ y sean los arcos determinados por los lados $AB,$ $BO_1,$ $O_1C,$ $CD,$ $DO_2,$ $O_2A$ iguales a $2\alpha, 2\beta, 2\beta, 2\gamma, 2\delta, 2\delta$ (los dos $\beta$ porque las cuerdas $BO_1 = O_1C = r_1,$ el radio de $\omega_1,$ e igualmente $O_2A = O_2D = r_2$ ), de modo que $\alpha + 2\beta + \gamma + 2\delta = \pi.$ Cada cuerda es igual a $2R\sin(\text{half its arc}):$ $2R\sin\alpha = 2,$ $2R\sin\gamma = 16,$ y la cuerda $\overline{O_1O_2}$ subtiende $2\beta + 2\gamma + 2\delta,$ dando $2R\sin(\alpha + \sigma) = 15$ donde $\sigma = \beta + \delta.$ La tangencia externa da una segunda ecuación que vale $15:$ $r_1 + r_2 = 2R(\sin\beta + \sin\delta) = 15.$

Como $\gamma = \pi - \alpha - 2\sigma,$ tenemos $\sin\gamma = \sin(\alpha + 2\sigma).$ La transformación de suma a producto da entonces $\begin{aligned} 18 &= 2R\left[\sin(\alpha + 2\sigma) + \sin\alpha\right] \\ &= 4R\sin(\alpha + \sigma)\cos\sigma \\ &= 30\cos\sigma, \end{aligned}$ así que $\cos\sigma = \frac{3}{5},$ y de forma similar $14 = 4R\cos(\alpha + \sigma)\sin\sigma$ da $R\cos(\alpha + \sigma) = \frac{35}{8}.$ Combinando con $2R\sin(\alpha + \sigma) = 15$ se obtiene $4R^2 = 225 + \frac{1225}{16},$ así que $R^2 = \frac{4825}{64}.$ Además $15 = 2R(\sin\beta + \sin\delta)$ $= 4R\sin\frac{\sigma}{2}\cos\frac{\beta - \delta}{2}$ con $\sin\frac{\sigma}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}},$ así que $\cos\frac{\beta - \delta}{2} = \frac{15\sqrt{5}}{4R}$ y $\cos(\beta - \delta) = \frac{1125}{8R^2} - 1.$

Uniendo el centro de $\Omega$ con los seis vértices se divide el hexágono en seis triángulos, así que su área es $\frac{1}{2}R^2$ ${}\cdot \small \left[\sin 2\alpha + 2\sin 2\beta + 2\sin 2\delta + \sin 2\gamma\right].$ Ahora $R^2(\sin 2\beta + \sin 2\delta)$ $= 2R^2 \sin\sigma\cos(\beta - \delta)$ $= \frac{8}{5}\left(\frac{1125}{8} - R^2\right)$ $= \frac{835}{8},$ mientras que $\sin 2\alpha + \sin 2\gamma$ $= -2\sin 2\sigma \cos\bigl(2(\alpha + \sigma)\bigr)$ $= -2 \cdot \frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{95}{193}\right)$ ya que $\cos\bigl(2(\alpha+\sigma)\bigr) = 1 - \frac{2 \cdot 225}{4R^2}$ $= -\frac{95}{193},$ así que $\frac{1}{2}R^2(\sin 2\alpha + \sin 2\gamma)$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{4825}{64} \cdot \frac{912}{965}$ $= \frac{285}{8}.$ El área es $\frac{835}{8} + \frac{285}{8} = 140.$

All six hexagon vertices lie on $\Omega:$ $O_1$ and $O_2$ by hypothesis, and $A, B, C, D$ as intersection points with $\Omega.$ Let $R$ be the radius of $\Omega,$ and let the arcs cut off by the sides $AB,$ $BO_1,$ $O_1C,$ $CD,$ $DO_2,$ $O_2A$ be $2\alpha, 2\beta, 2\beta, 2\gamma, 2\delta, 2\delta$ (the two $\beta$ 's because chords $BO_1 = O_1C = r_1,$ the radius of $\omega_1,$ and likewise $O_2A = O_2D = r_2$ ), so $\alpha + 2\beta + \gamma + 2\delta = \pi.$ Each chord equals $2R\sin(\text{half its arc}):$ $2R\sin\alpha = 2,$ $2R\sin\gamma = 16,$ and the chord $\overline{O_1O_2}$ subtends $2\beta + 2\gamma + 2\delta,$ giving $2R\sin(\alpha + \sigma) = 15$ where $\sigma = \beta + \delta.$ External tangency gives a second equation worth $15:$ $r_1 + r_2 = 2R(\sin\beta + \sin\delta) = 15.$

Since $\gamma = \pi - \alpha - 2\sigma,$ we have $\sin\gamma = \sin(\alpha + 2\sigma).$ Sum-to-product then gives $\begin{aligned} 18 &= 2R\left[\sin(\alpha + 2\sigma) + \sin\alpha\right] \\ &= 4R\sin(\alpha + \sigma)\cos\sigma \\ &= 30\cos\sigma, \end{aligned}$ so $\cos\sigma = \frac{3}{5},$ and similarly $14 = 4R\cos(\alpha + \sigma)\sin\sigma$ gives $R\cos(\alpha + \sigma) = \frac{35}{8}.$ Combining with $2R\sin(\alpha + \sigma) = 15$ yields $4R^2 = 225 + \frac{1225}{16},$ so $R^2 = \frac{4825}{64}.$ Also $15 = 2R(\sin\beta + \sin\delta)$ $= 4R\sin\frac{\sigma}{2}\cos\frac{\beta - \delta}{2}$ with $\sin\frac{\sigma}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}},$ so $\cos\frac{\beta - \delta}{2} = \frac{15\sqrt{5}}{4R}$ and $\cos(\beta - \delta) = \frac{1125}{8R^2} - 1.$

Joining the center of $\Omega$ to the six vertices splits the hexagon into six triangles, so its area is $\frac{1}{2}R^2$ ${}\cdot \small \left[\sin 2\alpha + 2\sin 2\beta + 2\sin 2\delta + \sin 2\gamma\right].$ Now $R^2(\sin 2\beta + \sin 2\delta)$ $= 2R^2 \sin\sigma\cos(\beta - \delta)$ $= \frac{8}{5}\left(\frac{1125}{8} - R^2\right)$ $= \frac{835}{8},$ while $\sin 2\alpha + \sin 2\gamma$ $= -2\sin 2\sigma \cos\bigl(2(\alpha + \sigma)\bigr)$ $= -2 \cdot \frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{95}{193}\right)$ since $\cos\bigl(2(\alpha+\sigma)\bigr) = 1 - \frac{2 \cdot 225}{4R^2}$ $= -\frac{95}{193},$ so $\frac{1}{2}R^2(\sin 2\alpha + \sin 2\gamma)$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{4825}{64} \cdot \frac{912}{965}$ $= \frac{285}{8}.$ The area is $\frac{835}{8} + \frac{285}{8} = 140.$

2022 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años