Question

Sea $\overline{MN}$ un diámetro de un círculo de diámetro $1.$ Sean $A$ y $B$ puntos en uno de los arcos semicirculares determinados por $\overline{MN}$ tales que $A$ es el punto medio del semicírculo y $MB = \frac{3}{5}.$ El punto $C$ está en el otro arco semicircular. Sea $d$ la longitud del segmento cuyos extremos son las intersecciones del diámetro $\overline{MN}$ con las cuerdas $\overline{AC}$ y $\overline{BC}.$ El mayor valor posible de $d$ se puede escribir en la forma $r - s\sqrt{t},$ donde $r,$ $s,$ y $t$ son enteros positivos y $t$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $r + s + t.$

Let $\overline{MN}$ be a diameter of a circle with diameter $1.$ Let $A$ and $B$ be points on one of the semicircular arcs determined by $\overline{MN}$ such that $A$ is the midpoint of the semicircle and $MB = \frac{3}{5}.$ Point $C$ lies on the other semicircular arc. Let $d$ be the length of the line segment whose endpoints are the intersections of diameter $\overline{MN}$ with the chords $\overline{AC}$ and $\overline{BC}.$ The largest possible value of $d$ can be written in the form $r - s\sqrt{t},$ where $r,$ $s,$ and $t$ are positive integers and $t$ is not divisible by the square of any prime. Find $r + s + t.$

Respuesta

Solución:

Que las cuerdas $BC$ y $AC$ corten a $\overline{MN}$ en $P$ y $Q,$ y pon $x = \frac{CM}{CN}.$ Como $\angle MBN = 90^\circ$ (ángulo inscrito en un semicírculo) y $MB = \frac{3}{5},$ obtenemos $BN = \frac{4}{5};$ además $AM = AN = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Como $P$ está tanto en $MN$ como en $BC,$ la razón $\frac{MP}{PN}$ es igual a la razón de las distancias de $M$ y $N$ a la recta $BC,$ es decir, $\frac{[BMC]}{[BNC]}.$ En el cuadrilátero cíclico $MBNC$ los ángulos $BMC$ y $BNC$ son suplementarios, así que sus senos son iguales y $\begin{aligned} \frac{MP}{PN} &= \frac{BM \cdot MC}{BN \cdot NC} = \frac{3x}{4}, \\ \frac{MQ}{QN} &= \frac{AM \cdot MC}{AN \cdot NC} = x. \end{aligned}$

Como $MN = 1,$ estas dan $MP = \frac{3x}{3x + 4}$ y $MQ = \frac{x}{x + 1},$ así que $\begin{aligned} &d = MQ - MP \\ &= \frac{x}{x + 1} - \frac{3x}{3x + 4} \\ &= \frac{x}{3x^2 + 7x + 4} \\ &= \frac{1}{3x + \frac{4}{x} + 7}. \end{aligned}$

A medida que $C$ recorre el semicírculo opuesto, $x$ toma todos los valores positivos. Por AM-GM, $3x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3},$ con igualdad en $x = \frac{2}{\sqrt{3}}.$ Por lo tanto, el mayor valor de $d$ es $\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3},$ ya que $(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 1.$ Entonces $r + s + t = 7 + 4 + 3 = 14.$

Let chords $BC$ and $AC$ meet $\overline{MN}$ at $P$ and $Q,$ and set $x = \frac{CM}{CN}.$ Since $\angle MBN = 90^\circ$ (angle in a semicircle) and $MB = \frac{3}{5},$ we get $BN = \frac{4}{5};$ also $AM = AN = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Because $P$ lies on both $MN$ and $BC,$ the ratio $\frac{MP}{PN}$ equals the ratio of the distances from $M$ and $N$ to line $BC,$ i.e. $\frac{[BMC]}{[BNC]}.$ In cyclic quadrilateral $MBNC$ the angles $BMC$ and $BNC$ are supplementary, so their sines are equal and $\begin{aligned} \frac{MP}{PN} &= \frac{BM \cdot MC}{BN \cdot NC} = \frac{3x}{4}, \\ \frac{MQ}{QN} &= \frac{AM \cdot MC}{AN \cdot NC} = x. \end{aligned}$

Since $MN = 1,$ these give $MP = \frac{3x}{3x + 4}$ and $MQ = \frac{x}{x + 1},$ so $\begin{aligned} &d = MQ - MP \\ &= \frac{x}{x + 1} - \frac{3x}{3x + 4} \\ &= \frac{x}{3x^2 + 7x + 4} \\ &= \frac{1}{3x + \frac{4}{x} + 7}. \end{aligned}$

As $C$ ranges over the far semicircle, $x$ takes every positive value. By AM-GM, $3x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3},$ with equality at $x = \frac{2}{\sqrt{3}}.$ Hence the largest value of $d$ is $\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3},$ since $(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 1.$ Then $r + s + t = 7 + 4 + 3 = 14.$

2009 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años