Question

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ y ortocentro $H.$ Suponga que la tangente a la circunferencia circunscrita del $\triangle HBC$ en $H$ corta a $\omega$ en los puntos $X$ y $Y$ con $HA = 3,$ $HX = 2,$ y $HY = 6.$ El área del $\triangle ABC$ puede escribirse como $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

Let $\triangle ABC$ be an acute triangle with circumcircle $\omega$ and orthocenter $H.$ Suppose the tangent to the circumcircle of $\triangle HBC$ at $H$ intersects $\omega$ at points $X$ and $Y$ with $HA = 3,$ $HX = 2,$ and $HY = 6.$ The area of $\triangle ABC$ can be written as $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 58

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio transformación vector

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

La circunferencia circunscrita de $HBC$ es la reflexión de $\omega$ respecto de $BC.$ Con el circuncentro $O$ en el origen, su centro es $B + C = H - A,$ así que la recta $XY$ es perpendicular a $OA.$

The circumcircle of $HBC$ is the reflection of $\omega$ over $BC.$ With circumcenter $O$ at the origin its center is $B + C = H - A,$ so line $XY$ is perpendicular to $OA.$

Pista grande:

Ponga $A = (0, R)$ para que $XY$ sea horizontal. Entonces la semicuerda es $4,$ $H$ está a $2$ del punto medio de la cuerda, y $HA = 3$ da $R - h = \sqrt{5},$ determinando $R.$

Put $A = (0, R)$ so $XY$ is horizontal. Then the half-chord is $4,$ $H$ is $2$ from the chord’s midpoint, and $HA = 3$ gives $R - h = \sqrt{5},$ determining $R.$

Solución:

Reflejar $H$ respecto de la recta $BC$ cae sobre $\omega,$ así que la circunferencia circunscrita de $HBC$ es la reflexión de $\omega$ respecto de $BC.$ Tome el circuncentro $O$ como el origen, de modo que $H = A + B + C$ como vectores. Si $M$ es el punto medio de $\overline{BC},$ entonces $OM \perp BC,$ así que el centro reflejado es $2M - O = B + C = H - A.$ La tangencia en $H$ significa que $XY$ es perpendicular al radio de $B + C$ a $H,$ que es el vector $A:$ la cuerda $XY$ es perpendicular a $OA.$

Coloque $A = (0, R)$ de modo que $XY$ sea horizontal a altura $h,$ con $H = (x_0, h).$ La longitud de la semicuerda es $\sqrt{R^2 - h^2},$ y $HX = 2,$ $HY = 6$ dan $\sqrt{R^2 - h^2} = 4$ con $|x_0| = 2.$ De $HA = 3:$ $4 + (R - h)^2 = 9,$ así que $R - h = \sqrt{5}.$ Entonces $\begin{aligned} 16 &= R^2 - h^2 \\ &= (R - h)(R + h) \\ &= \sqrt{5}\left(2R - \sqrt{5}\right), \end{aligned}$ dando $R = \frac{21}{2\sqrt{5}}.$

Ahora $B + C = H - A = (\pm 2, -\sqrt{5}),$ así que $M = \left(\pm 1, -\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ y $OM = \frac{3}{2},$ de donde $BC = 2\sqrt{R^2 - \frac{9}{4}} = 2\sqrt{\frac{99}{5}}.$ La distancia de $A$ a la recta $BC$ (que pasa por $M,$ perpendicular a $OM$ ) es $\frac{|A \cdot M - OM^2|}{OM} = \frac{\frac{21}{4} + \frac{9}{4}}{\frac{3}{2}} = 5,$ usando $A \cdot M = -\frac{\sqrt{5}R}{2} = -\frac{21}{4}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} [ABC] &= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{99}{5}} \cdot 5 \\ &= \sqrt{495} \\ &= 3\sqrt{55}, \end{aligned}$ y $m + n = 3 + 55 = 58.$

Reflecting $H$ over line $BC$ lands on $\omega,$ so the circumcircle of $HBC$ is the reflection of $\omega$ over $BC.$ Take the circumcenter $O$ as the origin, so that $H = A + B + C$ as vectors. If $M$ is the midpoint of $\overline{BC},$ then $OM \perp BC,$ so the reflected center is $2M - O = B + C = H - A.$ Tangency at $H$ means $XY$ is perpendicular to the radius from $B + C$ to $H,$ which is the vector $A:$ the chord $XY$ is perpendicular to $OA.$

Place $A = (0, R)$ so that $XY$ is horizontal at height $h,$ with $H = (x_0, h).$ The half-chord length is $\sqrt{R^2 - h^2},$ and $HX = 2,$ $HY = 6$ give $\sqrt{R^2 - h^2} = 4$ with $|x_0| = 2.$ From $HA = 3:$ $4 + (R - h)^2 = 9,$ so $R - h = \sqrt{5}.$ Then $\begin{aligned} 16 &= R^2 - h^2 \\ &= (R - h)(R + h) \\ &= \sqrt{5}\left(2R - \sqrt{5}\right), \end{aligned}$ giving $R = \frac{21}{2\sqrt{5}}.$

Now $B + C = H - A = (\pm 2, -\sqrt{5}),$ so $M = \left(\pm 1, -\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ and $OM = \frac{3}{2},$ whence $BC = 2\sqrt{R^2 - \frac{9}{4}} = 2\sqrt{\frac{99}{5}}.$ The distance from $A$ to line $BC$ (through $M,$ perpendicular to $OM$ ) is $\frac{|A \cdot M - OM^2|}{OM} = \frac{\frac{21}{4} + \frac{9}{4}}{\frac{3}{2}} = 5,$ using $A \cdot M = -\frac{\sqrt{5}R}{2} = -\frac{21}{4}.$ Hence $\begin{aligned} [ABC] &= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{99}{5}} \cdot 5 \\ &= \sqrt{495} \\ &= 3\sqrt{55}, \end{aligned}$ and $m + n = 3 + 55 = 58.$

2020 AIME I Problema 15

Respuesta: 58

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años