Question

Se dibujan cuatro circunferencias $\omega,$ $\omega_A,$ $\omega_B,$ y $\omega_C$ con el mismo radio en el interior del triángulo $ABC$ de modo que $\omega_A$ es tangente a los lados $AB$ y $AC,$ $\omega_B$ a $BC$ y $BA,$ $\omega_C$ a $CA$ y $CB,$ y $\omega$ es tangente externamente a $\omega_A,$ $\omega_B,$ y $\omega_C.$ Si los lados del triángulo $ABC$ son $13,$ $14,$ y $15,$ el radio de $\omega$ puede representarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Four circles $\omega,$ $\omega_A,$ $\omega_B,$ and $\omega_C$ with the same radius are drawn in the interior of triangle $ABC$ such that $\omega_A$ is tangent to sides $AB$ and $AC,$ $\omega_B$ to $BC$ and $BA,$ $\omega_C$ to $CA$ and $CB,$ and $\omega$ is externally tangent to $\omega_A,$ $\omega_B,$ and $\omega_C.$ If the sides of triangle $ABC$ are $13,$ $14,$ and $15,$ the radius of $\omega$ can be represented in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $x$ el radio común, y sean $O_A,$ $O_B,$ $O_C$ los centros de $\omega_A,$ $\omega_B,$ $\omega_C.$ Cada uno está a distancia $x$ de dos lados del triángulo, así que cada uno está sobre una bisectriz de ángulo, y los lados del triángulo $O_A O_B O_C$ son paralelos a los de $ABC$ a distancia $x.$ Por lo tanto $O_A O_B O_C$ es la imagen de $ABC$ bajo la homotecia centrada en el incentro $I$ con razón $\frac{r - x}{r},$ donde $r$ es el inradio; en particular su circunradio es $R \cdot \frac{r - x}{r},$ donde $R$ es el circunradio de $ABC.$

El centro de $\omega$ está a distancia $2x$ de cada uno de $O_A,$ $O_B,$ $O_C$ (circunferencias iguales tangentes externamente), así que es el circuncentro de $O_A O_B O_C$ y $2x = R \cdot \frac{r - x}{r}.$ Para el triángulo $13$ - $14$ - $15$ , $s = 21$ y la fórmula de Herón da el área $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ así que $r = \frac{84}{21} = 4$ y $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8}.$

Entonces $2x = \frac{65}{8} \cdot \frac{4 - x}{4}$ da $64x = 260 - 65x,$ así que $x = \frac{260}{129}.$ Como $129 = 3 \cdot 43$ no comparte factor con $260,$ la respuesta es $m + n = 260 + 129 = 389.$

Let $x$ be the common radius, and let $O_A,$ $O_B,$ $O_C$ be the centers of $\omega_A,$ $\omega_B,$ $\omega_C.$ Each is at distance $x$ from two sides of the triangle, so each lies on an angle bisector, and the sides of triangle $O_A O_B O_C$ are parallel to those of $ABC$ at distance $x.$ Hence $O_A O_B O_C$ is the image of $ABC$ under the homothety centered at the incenter $I$ with ratio $\frac{r - x}{r},$ where $r$ is the inradius; in particular its circumradius is $R \cdot \frac{r - x}{r},$ where $R$ is the circumradius of $ABC.$

The center of $\omega$ is at distance $2x$ from each of $O_A,$ $O_B,$ $O_C$ (externally tangent equal circles), so it is the circumcenter of $O_A O_B O_C$ and $2x = R \cdot \frac{r - x}{r}.$ For the $13$ - $14$ - $15$ triangle, $s = 21$ and Heron's formula gives area $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ so $r = \frac{84}{21} = 4$ and $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8}.$

Then $2x = \frac{65}{8} \cdot \frac{4 - x}{4}$ gives $64x = 260 - 65x,$ so $x = \frac{260}{129}.$ Since $129 = 3 \cdot 43$ shares no factor with $260,$ the answer is $m + n = 260 + 129 = 389.$

2007 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años